决这些困难的途径，提出各种新的物理概念和方法，这才会有量子 论，继而有量子力学的出现，使人们的视野真正深入到原子世界中 去。 S1.2光量子和普朗克-爱因斯坦关系 经典物理学的许多困难可通过光量子假说解决。早在光量子 假说提出前，1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了能量 量子化的观念。他假定黑体相当于一组连续振动的谐振子，振子的 能量只能取最小能量单位e的整数倍的值。因此，黑体和辐射场交 换能量也只能以ε为单位吸收或发射。也就是说，黑体吸收或发射 电磁辐射能量的方式是不连续的，只能以发射或吸收“量子”的方 式进行，每个量子的能量是 E=hv (1.2.1) 重要的是，量子的能量是个与频率成正比的量，比例常数h称为 普嘲克常数。这和过去经典电动力学中电磁波的能量只与振幅有 关而与频率无关完全不同。而且能量的吸收和发射是量子化的，这 在经典电动力学中是无法理解的。 1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广。爱因 斯坦提出，不仅黑体和辐射场的能量交换是量子化的，而且辐射场 本身就由不连续的光量子组成。每一个光量子的能量ε与辐射场 频率y之间仍满足(1.2.1)式。爱因斯坦的光量子其实就是光子。 由于光子以光速运动，根据狭义相对论的质能关系式有 e2=mic+p2c2 (1.2.2) c是光速，m。是光子的静质量，为零。因此得到光子的能量和动量 的关系是 e=cp (1.2.3) 联立(1.2.1)和(1.2.3)式得 6
D=他=会=2产=k (1.2.4) 式中n是光子运动方向上的单位向量，方=h/2π=1.054573 X10-34J.s k=2要用 (1.2.5) 是波矢量。公式(1.2.1)和(1.2.4)称为普朗克-爱因斯坦 (Planck-Einstein)关亲式。 利用普朗克-爱因斯坦关系，可以解释下述实验结果： 1.黑体辐射 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量 v的过程就是发射或吸收光子的过程。因此光子数不守恒.相应 地光子的化学势为零。另外，光子是玻色子，自旋5为1。简并度 g=2s+1应等于3，但由于电磁场存在横波条件，满足一个约束 方程，所以实验上光子的自旋简并度g应取为2，在物理上就表现 为光子具有两个不同的偏振方向。根据爱因斯坦光量子假说，将辐 射场看成是光子气。利用玻色-爱因斯坦分布和(1.2.1)式，可得 光子气在频率间隔y→y十d中的能量密度是 p=流”p (1.2.6) 再利用(1.2.3)式，最后得 Adv (1.2.7) (1.2.7)式称为普朗克公式。可以证明，普朗克公式给出的场能密 度满足斯忒藩-玻耳兹曼定律，的确，由 E-八a- (1.2.8) 7
令y=行再注意到 心兴= 完成(1.2.8)式的积分后可得 E=aT (1.2.9) “=器 (1.2.10) (1.2.9)式和(1.2.10)式与实验相符。另外，利用普朗克公式可以 解释维恩位移律。由(1.2.7)式给出的p,对v的曲线与图1.1.1的 实验结果相符。 2.光电效应 当光子照射到金属的表面上时，能量为的光子被电子吸 收。根据能量守恒定律，这个能量部分用来克服金属的脱出功，使 电子能逸出金属表面；部分变为电子逸出金属后的动能，即有 之mu2=hv-W。 (1.2.11) 式中m是电子质量，v是电子逸出后的运动速度，W。是金属中电 子的脱出功。显然，临界频率。满足 o=Wo/h (1.2.12) 由(1.2.11)式可见，当y<%时，电子不能逸出金属表面，无光电 效应出现；当y>时，有光电效应发生。逸出的电子的动能。mu 与入射光的频率y有关。当入射光的强度增大时，入射的光子的数 目增多，发生光电效应的电子的数目也增多，从而使逸出的电子的 数目也增多，光电流的强度增大。这就相当完整地解释了所有光电 效应的实验结果。 P
3.康普顺效应 康普顿效应是光具有微粒性的进一步的实验证据。以X射线 入射到轻元素或原子质量很轻的物质中，对于这种物质，电子在原 子中的束缚能很小，可以略去。另外，碰撞前电子的速度也很小，可 近似视为静止。利用光子说，把X射线被电子散射的过程看成是光 子与电子的碰撞过程，再假定碰撞过程中能量和动量守恒，可解释 康普顿效应的实验结果：X射线被轻物质中的电子散射后的波长 将随撒射角的增加而变大，记碰撞前、后光子的能量分别为及 d,电子的静质量为m。,被光子碰撞后的速度为v,由能量守恒定 律，有 十m,2=加+个-72 ”c2 (1.2.13) 由垂直方向和水平方向的动量守恒又可得（图1.2.1）： 九，U 图1.2.1康普顿效应 方c=方 cos0+- mov -7元cos0 (1.2.14) 0=m0- m。” -7元sing (1.2.15) 0是散射角。联立(1.2.13、14)及(1.2.15)式，消去v和0，得 9
”-d=22wsin:号 (1.2.16) 由w=2y=2πc/A,可将(1.2.16)式改写为 X-A=2%sic:号 (1.2.17) 入=h/moc=2.43×10-nm (1.2.18) 入称为电子的康普顿波长。由(1.2.17)可见，当0增大时，'增大。 这就解释了康普顿和吴有训等人的实验结果。 由(1.2.17)式可见，电子的康普顿波长在数值上等于0为π/2 时入射波与散射波波长之差。它的物理意义是当入射光子的能量 与电子的静能相等时所对应的光子的波长，因为这时有 hy =moc2 h (1.2.19) 从(1.2.17)式还可得出，波长的变化△入=！一λ只与散射角 0有关，而与入射光原来的波长入无关.当0=π时， M=22=0.049nm (1.2.20) 这就是康普顿散射所能引起的入射光波长的最大变化。对于实际 观测，有兴趣的是△/A,显然只有对于入三0.1nm的X射线，△/a 的数值较大，易于被观测；对于A~10nm的可见光，4/入很小，难 于观测。这就解释了康普顿效应为什么选入射光是X射线的原因。 (1.2.17)式还表明：康普顿效应是一种量子效应，是普朗克 常数h起重要作用的量子现象。在经典极限下，h→0，能谱由分立 变为连续，由(1.2.17)式得△1→0。X射线被电子散射后波长不 变。康普顿效应不存在。 康普顿效应还证实：在微观的单个碰撞事件中，能量守恒定律 和动量守恒定律仍然成立。 10