两时期CAPM模型 模型假设 只有现在和未来两个时刻,现在是确定的,未来是不确定的; 假定市场中有n种风险资产,其未来价格是n个随机变量x1,x2…,xn; 第0种资产是无风险资产,其未来价格x是确定值; 假设n+1种资产的当前价格为p(x0),p(x1),p(x2)…,p(xn)。这n+1 种资产的投资组合可用n+1维向量O=(,,…,O)来表示。那么投资组 合的当前价格为 p=Bp(xo)+ep(x,+.+P(x,) 投资组合的未来价格为 y=B0x+B1x1+…+bnxn 假设有一个投资者,当前的财富禀赋为o°,未来的财富禀赋为o。投 资者在现在时刻还持有一个初始资产组合=(…,b)。他的效用是用 当前消费和未来消费的期望效用函数u(20,2)来衡量的。投资者可 以用禀赋购买金融资产,也可以卖掉初始的投资组合,构造新的投资组 合,从而跨期分配消费而达到效用最大化,因此,他面临的最优资产选 择问题如下:求当前消费和投资(持有)组合=(G1,2),使得 E[(=2,=)]达到最大。更确切地说,问题可表述为:求资产组合O,使 得 max elu(z St.==03-∑(O-e)p(x) k=0 (1.1) x 选编自史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲
―――――――――――――――――――――― 选编自 史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲。 1 两时期 CAPM 模型 一、模型假设 z 只有现在和未来两个时刻，现在是确定的，未来是不确定的； z 假定市场中有 n 种风险资产，其未来价格是 n 个随机变量 1 2 ,,, n x x x " ； z 第 0 种资产是无风险资产，其未来价格 0 x 是确定值； z 假设 n＋1 种资产的当前价格为 0 p( ) x ， 1 2 ( ), ( ), , ( ) p n x px px " 。这 n+1 种资产的投资组合可用 n+1 维向量 0 1 (,, , ) θ = θθ θ " n 来表示。那么投资组 合的当前价格为 0 0 11 () () () n n p px px px = + ++ θ θ θ " 投资组合的未来价格为 0 0 11 n n y = + ++ θ xx x θ θ " z 假设有一个投资者，当前的财富禀赋为 0 ω ，未来的财富禀赋为 1 ω 。投 资者在现在时刻还持有一个初始资产组合 000 1 (, ) θ = θ θ … n 。他的效用是用 当前消费 0 z 和未来消费 1 z 的期望效用函数 0 1 uz z (,)来衡量的。投资者可 以用禀赋购买金融资产，也可以卖掉初始的投资组合，构造新的投资组 合，从而跨期分配消费而达到效用最大化，因此，他面临的最优资产选 择问题如下：求当前消费 0 z 和投资（持有）组合 111 1 (, ) θ = θ θ … n ，使得 0 1 E uz z ⎡ ⎤ (,) ⎣ ⎦ 达到最大。更确切地说，问题可表述为：求资产组合θ ，使 得 ( ) ( ) 0 1 0 0 10 0 11 1 0 max , . . ( ) n kk k k n k k k Euz z St z p x z x ω θθ ω θ = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =− − = + ∑ ∑ （1.1）
这里第一个等式是确定量的等式,第二个等式是随机量的等式,由此出 发来推导著名的资本资产定价模型(CAPM)。 二、均值方差假设 ·为导出CAPM需要假定E[(=,=)=v(2,E[=]ar[=]),即效用 函数只与现在消费以及未来消费的均值和方差有关(均值方差形式)。 马科维茨在他的资产组合选择理论中( Markowitz,1952),开始时没有 使用期望效用函数,而仅以组合收益率的均值和方差来衡量组合收益的 优劣,即只提出所谓“均值-方差准则”托宾( Tobin,1958)发现在 以下两个假设下,都可使期望效用函数变为均值方差形式,即(1)运 用二次效用函数;(2)假定随机变量服众正态分布。 在这样的假定下,如果再假定a是常数,那么问题(1.1)可以表达为 均值方差效用的形式。由于 Ble 2=∑∑covx,x]=∑0Cox,x 这样,问题(11)变为:求资产组合O,使得 maX v S1==0+("-)p(x) k=0 H1=∑E[x] (12) ∑02cox,x] 为简化表述,记v=v(x,y,2),它对三个变量的偏导数分别记为v2,","2° 要求v>0,v>0,v.<0,它们分别意味着:“现在时刻消费越多效用越 大”;“未来时刻消费越多效用越大”;“未来消费的风险越小越好” 选编自史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲
―――――――――――――――――――――― 选编自 史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲。 2 这里第一个等式是确定量的等式，第二个等式是随机量的等式，由此出 发来推导著名的资本资产定价模型（CAPM）。 二、均值方差假设 z 为导出 CAPM，需要假定 ( ) ( ) 01 0 1 1 E u z z v z E z Var z ⎡ ⎤ , ,, = ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ，即效用 函数只与现在消费以及未来消费的均值和方差有关（均值-方差形式）。 马科维茨在他的资产组合选择理论中（Markowitz，1952），开始时没有 使用期望效用函数，而仅以组合收益率的均值和方差来衡量组合收益的 优劣，即只提出所谓“均值-方差准则”。托宾（Tobin，1958）发现在 以下两个假设下，都可使期望效用函数变为均值-方差形式，即（1）运 用二次效用函数；（2）假定随机变量服众正态分布。 z 在这样的假定下，如果再假定 1 ω 是常数，那么问题（1.1）可以表达为 均值方差效用的形式。由于 1 [ ] 1 0 n k k z k µ θ E x = = ∑ 1 2 11 11 1 1 ,1 , , nn n j k j k jk j k z j k jk σ θθ θθ Cov x x Cov x x == = = = ⎡ ⎤ ⎡⎤ ∑∑ ∑ ⎣ ⎦ ⎣⎦ 这样，问题（1.1）变为：求资产组合 1 θ ，使得 ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 0 2 0 0 01 0 1 0 2 11 , 1 max , , . . , z z n kk k k n k k z k n jk j k z j k v z St z p x E x Cov x x µ σ ω θθ µ θ σ θθ = = = =+ − = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ （1.2） 为简化表述，记v vxyz = (, ,) ，它对三个变量的偏导数分别记为 , , xyz vvv 。 要求 vvv xyz >>< 0, 0, 0 ,它们分别意味着：“现在时刻消费越多效用越 大”；“未来时刻消费越多效用越大”；“未来消费的风险越小越好
三、个体最优状态的性质 问题(1.2)的拉格朗日函数为 L=v,∑Exl∑0covx,x +(0+∑mx)-=2-∑以p(x) k=0 根据一阶条件,问题(12)的解(b1)满足以下条件(?? 70 (13) E/-6+2"(,H2,02) ∑p(x)cov,l=0,j=1…,n(1.4) 其中,=°,彐为对应O的=,z;…,n分别为各金融资产的收益率。 四、市场均衡时的资产组合 如果市场上共有I个“同质”的投资者,即他们各自有禀赋o°,资产组合b0 和效用函数v;每个投资者面临着金融资产的选择问题: maxv(2,u i,o, st ∑(e-b)p(x) ∑"E[x] ∑"co[ 投资者各自作出最优选择b,如果市场上资产价格使得资产的需求等于供给, 选编自史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲
―――――――――――――――――――――― 选编自 史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲。 3 三、个体最优状态的性质 问题（1.2）的拉格朗日函数为 0 1 11 0 ,1 00 01 0 0 ( , [ ], cov[ , ]) ( ( ) ( )) n n k k jk j k k jk n n k k kk k k L vz Ex x x p x z px θ θθ λω θ θ = = = = = + + −− ∑ ∑ ∑ ∑ 根据一阶条件，问题（1.2）的解（ 1 θ ）满足以下条件（？？）： 1 1 1 1 0 2 0 0 2 (, , ) (, , ) x z z y z z v z r v z µ σ µ σ = （1.3） 1 1 1 1 0 2 1 0 0 2 1 (, , ) [ ] 2 ( )cov[ , ] 0, 1,..., (, , ) n z z z j k k kj y k z z v z E r r px r r j n v z µ σ θ µ σ = −+ = = ∑ （1.4） 其中， 0 z ， 1 z 为对应 1 θ 的 0 z ， 1 z ； 1,..., n r r 分别为各金融资产的收益率。 四、市场均衡时的资产组合 如果市场上共有 I 个“同质”的投资者，即他们各自有禀赋 i0 ω ，资产组合 i0 θ 和效用函数 i v ；每个投资者面临着金融资产的选择问题： ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 1 1 0 2 0 0 01 0 1 0 2 11 , 1 max , , . . , i i i i i i z z n i i ii kk k k n i k k z k n i i jk j k z j k v z St z p x E x Cov x x µ σ ω θθ µ θ σ θθ = = = =+ − = = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑ （1.5） 投资者各自作出最优选择 i1 θ ，如果市场上资产价格使得资产的需求等于供给
即∑=∑k=0,,,n,那么称市场达到均衡。为简单起见,我们直 接假设在这种情况下均衡存在。 由式(1.4),可得 E]-6=4∑bp(x)cov,rlj (16) 其中,由式(13) A=-2 v!(=°,2,a2) 把式(16)写成矩阵形式,则可得 E[小]-e=AVbp(x) 其中 E il P np(xr Co jk=1,…,n 因此 ADp(x)=(E[小]-ne), 上式右端与i无关,从而可得 A8kP(k)=A0k P(xk=.=A'0kp(*k), k=1…,n(1:8) 令 0p(xk)∑P(x) 这是第i个投资者的最优组合中的第k种风险资产的价值在其持有资产总价值中 选编自史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲
―――――――――――――――――――――― 选编自 史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲。 4 即 0 1 1 1 , 0,1,..., I I i i k k i i θ θ k n = = ∑ ∑= = ，那么称市场达到均衡。为简单起见，我们直 接假设在这种情况下均衡存在。 由式（1.4），可得 1 0 1 ( )cov[ , ], 1, , n i i j k k kj k E r r A px r r j n θ = ⎡ ⎤ −= = ⎣ ⎦ ∑ " （1.6） 其中，由式（1.3）， 1 1 1 1 0 2 0 2 (, , ) 2 0 (, , ) i i z z z i y z z v z A v z µ σ µ σ =− > 把式（1.6）写成矩阵形式，则可得 [ ] ( ) 1 0 , 1, , i i E r re AV p x i I −= = θ " 其中 [] [ ] [ ] ( ) 1 , , 1, ,1 ( ) T T Er Er Er e = = " " n ( ( ) ( )) 11 1 1 1 () , , T ii i n n θθ θ px p x p x = " ( ) ( ) , 1, , , 1, , , jk j k jk n jk n V V Cov r r = = = = ⎡ ⎤ " ⎣ ⎦ " 因此 ( ) ( [ ] ) 1 1 0 , 1, , i i A θ p x V E r re i I − =−= " （1.7） 上式右端与 i 无关，从而可得 ( ) ( ) ( ) 11 21 1 1 2 , 1, , I I kk k A kk k θθ θ px A px A px k n = == = " " （1.8） 令 ( ) ( ) 1 1 1 / , 1, , n i i i k k kk k k ωθ θ px px k n = = = ∑ " 这是第 i 个投资者的最优组合中的第 k 种风险资产的价值在其持有资产总价值中
所占的比重。那么由式(16)可得 [-1=∑0P(x)o[ k=1 k=1 20: p(x)cor[au-r,] (19) 其中b Okk,由上式可得 ∑()=(n()(op 因为 o!er 」-b ∑o(Co,]=C()=rb] 由此即得 20: p()(E[ ]-no)/ar[o J 带入(19)我们有 Cov r E[]-6 E 对于固定的k,所有都相等,并且都等于市场组合相应的比例系数o。事 实上,由式(17),我们可得 k p(x k月O=-1 E 选编自史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲
―――――――――――――――――――――― 选编自 史树中教授的《金融经济学十讲》第七讲。 5 所占的比重。那么由式（1.6）可得 ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 , , i n n i i i k j k k kj k k n i i k k j k E r r A p x Cov r r A p x Cov r r θ θ ω θ = = = ⎡⎤ ⎡ ⎤ − = ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = ⎡ ⎤ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ （1.9） 其中 1 1 i n i k k k r r θ ω = = ∑ ，由上式可得 ( ) ( ) 1 1 0 1 11 , i n nn i ii i k jj k j j j kj E r r A p x Cov r r θ ω θω = == ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∑ ∑∑ 因为 ( ) 0 0 1 1 i n i j j j Er r Er r θ ω = ⎡ ⎤ − = − ⎡ ⎤ ∑ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 11 1 ( ) 1 , , i ii i n i j j j Cov r r Cov r r Var r θ θθ θ ω = ⎡ ⎤ ⎡⎤ = = ∑ ⎣ ⎦ ⎣⎦ 由此即得 ( 1 1 ) 1 0 1 () / i i n i i k k k A p x E r r Var r θ θ θ = ⎛ ⎞ = − ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎝ ⎠ ∑ 带入（1.9）我们有 ( ) 1 1 1 0 0 , i i i j j Cov r r Er r Er r Var r θ θ θ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ −= − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ 对于固定的 k，所有 i ωk 都相等，并且都等于市场组合相应的比例系数 M ωk 。事 实上，由式（1.7），我们可得 ( ) [ ] 1 1 0 1 ( ) , 1, , n i i i k k k A θ ω p x V E r re i I − = ⎛ ⎞ = −= ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑