a,和a,:通带最大衰减和阻带最小衰减 Ω和Ω:通带边界频率和阻带截止频率 101g Ha(Q,) 10lgH2(/2) g:3dB截止频率,即 3dB δ1和δ2:通带和阻带波纹幅度,有 an=-20g(1-) -201g 82 (2)逼近方法 根据给定后的滤波器技术指标,设计一个传输函数H(s),使其幅度平 方函数满足给定指标an和a1。具体地讲,设滤波器的单位冲击响应为实 数,则 H(n)=H(S)H1(-s)la=H()(p) 如果能由an、旦2、a,和9求出(2),那么就可求出所需要的 H 稳定性问题 2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法 ●巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|H(2)为
p 和 s ：通带最大衰减和阻带最小衰减 p 和 s ：通带边界频率和阻带截止频率 2 10lg p a p H j (2) 2 10lg s a s H j (3) c ：3dB 截止频率，即 20lg 3 H j dB a c 1 和 2 ：通带和阻带波纹幅度，有 p 20lg 1 1 (4) 2 20lg s (5) （2）逼近方法 根据给定后的滤波器技术指标，设计一个传输函数 H s a ，使其幅度平 方函数满足给定指标 p 和 s 。具体地讲，设滤波器的单位冲击响应为实 数，则 2 * H j H s H s H j H j a a a s j a a 如果能由 p 、 p 、 s 和 s 求出 2 H j a ，那么就可求出所需要的 H s a 。 稳定性问题 2、巴特沃斯低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数 2 H j a 为
其中,N称为滤波器的阶数。如图所示 图623巴特沃斯幅度特性和N的关系 讨论 (1)9=0和=9时,H(AO的值。 (2)|H(O与滤波阶数的关系 N=2 N 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与Ω和N的关系 将|H()改写成s的函数 H2(s)H2(-s) 1+ 此时表明幅度平方函数有2N个极点,极点SA可表示为 S4=(-1)2(2)=9e :2) k=01,2,…(2N-1) 2N个极点等间隔分布在半径为9的圆上,间隔为mad
2 2 1 1 a N c H j 其中，N 称为滤波器的阶数。如图所示： 图 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N 的关系 讨论： （1） 0 和 c 时， H j a 的值。 （2） H j a 与滤波阶数的关系。 巴特沃斯低通滤波器幅度特性与和 N 的关系 将 2 H j a 改写成 s 的函数： 2 1 1 a a N c H s H s s j 此时表明幅度平方函数有 2N 个极点，极点 k s 可表示为： 1 2 1 1 2 2 1 , 0,1,2, , 2 1 2 k j N N k c c s j e k N 2N 个极点等间隔分布在半径为 c 的圆上，间隔为 rad N
图624三阶巴特沃斯滤波器极点分布(N=3) (2)确定巴特沃斯滤波器的传输函数H2(s) 为形成稳定的滤波器,只取S平面左半面的N个板点构成H(s),右半面的 N个极点构成H(-s)。H(S)的表示式为 (s-S) 为使设计统一,将所有的频率对3dB截止频率Q归一化,得 H2(s) SK k=0 式中 S 令9,称为归一化频率:令P=,称为归一化复变量,这样归一化巴 特沃斯的传输函数为 H2(p) (P-P) 式中,p为归一化极点
图 6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布（N=3） （2）确定巴特沃斯滤波器的传输函数 H s a 为形成稳定的滤波器，只取 s 平面左半面的 N 个极点构成 H s a ，右半面的 N 个极点构成 H s a 。 H s a 的表示式为 1 0 N c a N k k H s s s 为使设计统一，将所有的频率对 3dB 截止频率 c 归一化，得 1 0 1 a N k k c H s s s 式中， c c s j 。 令 c ，称为归一化频率；令 p j ，称为归一化复变量，这样归一化巴 特沃斯的传输函数为 1 0 1 a N k k H p p p (1.6) 式中， k p 为归一化极点
Pk =e (2) 这样,只要根据技术指标求出阶数N,按照(1.7求出N个极点,再按照(16)得到 归一化的传输函数H(),若确定只,再去归一化,即将p=12=代入 H2(P)中,便得到实际的传输函数。 将极点表示式(17代入(16)可得 H2(p) (18) b+bP+…+b 归一化的传输函数H2(P)的系数bk=0.1…N-1,以及极点,可由表查得 (3)阶数N的确定方法 阶数N的大小主要影响幅度特性下降速度,它应该由技术指标an92a,和 Ω确定。 具体步骤如下 Step1:将Ω=,代入幅度平方函数 H2() (1.9) 然后,代入an=-10gH,(2),得 (1.10) ip将9=92代入(19),再将H(n)代入,a=-101gH(A),得 Q2 Step3:由(1.10)和(111)式可得
1 2 1 2 2 , 0,1, , 1 j N k p e k N (1.7) 这样，只要根据技术指标求出阶数 N，按照(1.7)求出 N 个极点，再按照(1.6)得到 归一化的传输函数 H p a ，若确定 c ，再去归一化，即将 c s p j ，代入 H p a 中，便得到实际的传输函数。 将极点表示式(1.7)代入(1.6)可得 1 0 1 1 1 a N N N H p b b p b p p (1.8) 归一化的传输函数 H p a 的系数 , 0,1, , 1 k b k N ，以及极点，可由表查得。 （3）阶数 N 的确定方法 阶数 N 的大小主要影响幅度特性下降速度，它应该由技术指标 p 、 p、 s 和 s 确定。 具体步骤如下： Step 1: 将 p 代入幅度平方函数 2 2 1 1 a N c H j (1.9) 然后，代入 2 10lg p a p H j ，得 2 10 1 10 p N a p c (1.10) Step 2: 将 s 代入(1.9)，再将 2 H j a s 代入， 2 10lg s a s H j ，得 2 10 1 10 s N a s c (1.11) Step 3: 由(1.10)和(1.11)式可得
1010-1 令 则 Ig k (1.12) lg 取大于等于N的最小整数。 Step4:若技术指标中未给出3dB截止频率g,可以按照(1.10)式或(1.11) 式求出。由(1.10)式可得 由(1.11)式可得 g2=92(101-1) (1.14) 若采用(1.13)式确定Ω,则阻带指标有富裕量;若采用(1.14)式确定Ω,则通 带指标有富裕量。 (4)低通巴特沃思滤波器设计步骤 Step1:根据技术指标∝n、Ω、a,和Ω,用(1.12)式求出滤波器的阶数N Step2:按照(1.7)式,求出归一化极点p,将p代入(1.6)式,得到归 化传输函数H(p)。也可以根据阶数N查表求极点P和归一化传输函数H(p)。 Step3:将H(p)去归一化。将p=s/9代入H2(p),得到实际的滤波器传 输函数H(s)。92若未给出,可按(1.13)式或(1.14)式求出 表6.2.1巴特沃思归一化低通滤波器参数
10 10 10 1 10 1 p s a N p a s 令 s sp p ， 10 10 10 1 10 1 p s a sp a k ，则 lg lg sp sp k N (1.12) 取大于等于 N 的最小整数。 Step 4: 若技术指标中未给出 3dB 截止频率 c ，可以按照(1.10)式或(1.11) 式求出。 由(1.10)式可得 1 0.1 2 10 1 p a N c p (1.13) 由(1.11)式可得 1 0.1 2 10 1 s a N c s (1.14) 若采用(1.13)式确定 c ，则阻带指标有富裕量；若采用(1.14)式确定 c ，则通 带指标有富裕量。 （4）低通巴特沃思滤波器设计步骤 Step 1: 根据技术指标 p 、 p、 s 和 s ，用(1.12)式求出滤波器的阶数 N； Step 2: 按照(1.7)式，求出归一化极点 k p ，将 k p 代入(1.6)式，得到归一 化传输函数 H p a 。也可以根据阶数 N 查表求极点 k p 和归一化传输函数 H p a 。 Step 3: 将 H p a 去归一化。将 / c p s 代入 H p a ，得到实际的滤波器传 输函数 H s a 。 c 若未给出，可按(1.13)式或(1.14)式求出。 表 6.2.1 巴特沃思归一化低通滤波器参数