34平面对偶原理 引入归一化算子为N 其中,-是 欧几里德范数。即若u=(1l2 则l u+u+.+u 由此定义,在视平面上求两条直线的交点 Y 或过两个给定点的直线就可以由以下定理 计算。 图3.8直线l和的交点P的N矢量m 定理3.3视平面上N矢量为n的直线/与N矢量为n’的直线/’的交点P的N矢量为 m=Nn×n](3.10) 证明:由定义,n所决定的空间平面S过视点O和直线l,n′所决定的空间平面S过视点O 和直线l,因而两平面都通过视点O。又由已知,P点是1和’的交点,从而P点既 在S平面上,也在S平面上,由于0与P不共点,因此S平面与S平面的交线过点0 和P(如图3.8)。再由线的N矢量的几何意义有,1OP和0P,因而P的N矢量m的 方向为。考虑归一化运算即得(3.10)式的关系
O X Y Z x y o m n n' l l' P S' S 图3.8直线l和l' 的交点P的N矢量m 3.4平面对偶原理 引入归一化算子为 u u N[u] = 其中, · 是 欧几里德范数。即若u u u un t = ( ) 1 2 L , 则 2 2 2 2 1 n u = u + u +L+ u 。 由此定义，在视平面上求两条直线的交点 或过两个给定点的直线就可以由以下定理 计算。 定理3.3 视平面上N矢量为n的直线l与N矢量为n' 的直线l' 的交点P的N矢量为: m = N[n´ n'] (3.10) 证明：由定义，n所决定的空间平面S过视点O和直线l，n' 所决定的空间平面S' 过视点O 和直线l'，因而两平面都通过视点O。又由已知，P点是l和l' 的交点，从而P点既 在S平面上，也在S' 平面上，由于O与P不共点，因此S平面与S' 平面的交线过点O 和P(如图3.8)。再由线的N矢量的几何意义有，n^OP 和n'^OP ，因而P的N矢量m的 方向为n ´ n'。考虑归一化运算即得(3.10)式的关系
定理3.4视平面上由N矢量分别为m和 m的点P和P快定的直线的N矢量为 n=N[m×m] (3.11) 证明:由点的N矢量的几何意义知,m表示点P 的三维方向,m′表示点P′的三维方向。换 句话说,m表示直线OP的方向,m′表示直线 OP’的方向,因为OP和OP′都在S平面上(如 图39过点P和P的直线的N矢量 图39),从而有nLm和n⊥m,又0P与0p不 平行,由矢量积的关系有n=N[m×m] 证毕 从N矢量的角度看,点和直线的表达元素谓词是可以相互替换带入的,因而点和直线 为对偶关系。这种性质,在射影几何学中被称为平面对偶原理。 平面对偶原理:如果平面射影几何的一个定义存在,则其对偶定义也一定存在; 如果一个命题或定理成立,则其对偶命题或定理也一定成立
O X Y Z x y o n m' l P' P m S 图3.9 过点P和P' 的直线l的N矢量n 定理3.4 视平面上由N矢量分别为m和 m'的点P和P'决定的直线l的N矢量为 n = N[m´ m'] (3.11) 证明：由点的N矢量的几何意义知，m表示点P 的三维方向，m' 表示点P' 的三维方向。换 句话说，m表示直线OP的方向，m' 表示直线 OP' 的方向，因为OP和OP' 都在S平面上(如 图3.9)，从而有n^m 和n ^ m' ，又OP与OP' 不 平行，由矢量积的关系有n = N[m´m']。 [证毕] 从N矢量的角度看，点和直线的表达元素(谓词)是可以相互替换带入的，因而点和直线互 为对偶关系。这种性质，在射影几何学中被称为平面对偶原理。 平面对偶原理：如果平面射影几何的一个定义存在，则其对偶定义也一定存在； 如果一个命题或定理成立，则其对偶命题或定理也一定成立