第三章 计算机视觉中的空间关系
第三章 计算机视觉中的空间关系
3.1成象模型与视觉坐标系 成象模型——三维空间中的物体到视平 X 面的投影关系 P(XY,Z 小孔成象——理想的投影成象模型 Y 平面S为二维成象平面(即视平面),C为 pxy o 小孔的位置(光学中心)。S上的点是三维 空间中点在视平面上的投影(成象),f称 为该光学系统的焦距 图3.1小孔成象模型 二.透镜成象—实际的成象系统 (3.1) 般地由于u>f,于是v≈f,于是可用 图3.2透镜成象模型 小孔模型近似代替透镜成象模型
3.1 成象模型与视觉坐标系 平面S为二维成象平面(即视平面)，C为 小孔的位置(光学中心)。S上的点是三维 空间中点在视平面上的投影(成象)，f称 为该光学系统的焦距。 成象模型— — 三维空间中的物体到视平 面的投影关系 一. 小孔成象— — 理想的投影成象模型 o O X Y x y Z C P X Y Z ( , , ) p x y ( , ) f S 图3.1 小孔成象模型 二. 透镜成象— — 实际的成象系统 f u v 1 1 1 = + f u v 图3.2 透镜成象模型 (3.1) 一般地由于u>>f，于是v≈f，于是可用 小孔模型近似代替透镜成象模型
三.计算上的坐标系 X 为方便,取成正实象的投影变换坐标系, 即将视平面的位置与光心的位置对调,以 此作为常用的视觉坐标系。 卩(x Z 容易验证,在图3.3所示的视觉坐标系中, 视平面上的点p(x)与空间中对应点P(XY,Z 之间有如下的几何关系 X 图3.3视觉坐标系 (3.2) 视觉坐标系OYY也常被称为摄象机坐标系, 0 视点即是摄象机的光心。 32齐次坐标与N矢量 B 在图34中AB⊥1,4l2,当0→时,有BP→∞,AP→l,图34无穷远点 P为与2交点,称为无穷远点,原来直线上的无穷远点称为平 常点。 全体无穷远点构成无穷远直线。欧氏平面加上无穷远点和无 穷远直线构成射影平面
3.2 齐次坐标与N矢量 • 三. 计算上的坐标系 • 为方便，取成正实象的投影变换坐标系， 即将视平面的位置与光心的位置对调，以 此作为常用的视觉坐标系。 • 容易验证，在图3.3所示的视觉坐标系中， 视平面上的点p(x,y)与空间中对应点P(X,Y,Z) 之间有如下的几何关系 • (3.2) • 视觉坐标系OXYZ也常被称为摄象机坐标系， 视点即是摄象机的光心。 ï î ï í ì = = Z Y y f Z X x f O X Y Z P X Y Z x o y p x y ( , , ) ( , ) A B P l l 1 2 q 图3.3 视觉坐标系 在图3.4中 AB ^l 1 ,l 1 ||l 2，当q 图3.4无穷远点 p ® 2 时，有BP ® ¥ ，AP ® l 1 ， P¥ 为l 1 与l 2 交点，称为无穷远点，原来直线上的无穷远点称为平 常点。 全体无穷远点构成无穷远直线。欧氏平面加上无穷远点和无 穷远直线构成射影平面
二.齐次坐标 考虑1:ax+by+c1=0a+b≠0 1:ax+by+c2=0a2+b≠0 D D D D≠0时,l,交于P(xy),x=,y=,可写成== DDD 这时约定若,D2有一个为零,对应分子也为零 D.=0,则,P产生,可用过原点且平行于的直线ax+by=0指示方向 统一平常点和无穷远点,用坐标X,Y,2)表示,这里X,YZ不同时为零 对平常点Z≠0,x=,y 对无穷远点Z=0 XY Z D=D=D均成立 n维空间中的一个点用齐次n+1维空间中的一条直线来表示,称为齐次坐标系 对视平面而言,用三个实数构成的齐次坐标m,m,m)和(nn3n)来分别表记视 面上的点与直线,并约定
二. 齐次坐标 考虑 : 0 0 : 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + = + ¹ + + = + ¹ l a x b y c a b l a x b y c a b 2 2 1 1 3 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 a b a b D a c a c D b c b c D = = = D3 ¹ 0时， 1 2 l ,l 交于P(x, y) ， 3 2 3 1 , D D y D D x = = ，可写成 1 2 3 1 D D y D x = = 这时约定若D1 D2 , 有一个为零，对应分子也为零 D3 = 0，则 1 2 l || l ， P¥ 产生，可用过原点且平行于2 l 的直线 0 l a2 x + b2 y = 指示方向 统一平常点和无穷远点，用坐标(X ,Y,Z) 表示，这里X,Y,Z 不同时为零 对平常点 Z Y y Z X Z ¹ 0, x = , = 对无穷远点Z = 0 1 2 D3 Z D Y D X = = 均成立 n维空间中的一个点用齐次n+1维空间中的一条直线来表示，称为齐次坐标系 对视平面而言，用三个实数构成的齐次坐标( , , ) m1 m2 m3 和 ( , , ) 1 2 3 n n n 来分别表记视平 面上的点与直线，并约定：
1.当m≠0时,齐次坐标(m,m,m2)的点表示视平面上的点(m,m);当n,=0 时,齐次坐标(m1,m2m3)的点表示视平面上的一个无穷远点或不能出现的点; 2.当n1≠0或n2≠0时,齐次坐标nn2,n3)对应视平面上的直线nx+n2y+n=0;当 n1=n2=0时,齐次坐标n1n2n3)对应视平面上的一条无穷远直线,或不能在视 平面上出现的直线。 命题31视平面上点的坐标/m,/m)和直线方程x+n2+n=0所对应的齐次坐 标 (mnmn2m)和n,n,n)具有伸缩不变性。 证明:取任意实数≠0,A(m,mm是对原齐次坐标的伸缩变换,于是, k k 同理,对 k≠0 由 k(n x+n,y+n,f)=0 x+n,y+n,f=0 证毕] 规格化矢量N矢量) 齐次坐标具有伸缩不变性,为减少由于有效位有限而产生的溢出对计算精度 的影响,引入归一化齐次坐标,并用矢量形式标记,称之为N矢量
1. 当m3 ¹ 0 时，齐次坐标(m ,m ,m ) 1 2 3 的点表示视平面上的点( f , ) m m f m m 1 3 2 3 ；当m3 = 0 时，齐次坐标(m ,m ,m ) 1 2 3 的点表示视平面上的一个无穷远点或不能出现的点； 2. 当n1 ¹ 0或n2 ¹ 0时，齐次坐标(n ,n ,n ) 1 2 3 对应视平面上的直线n x n y n f 1 + 2 + 3 = 0 ；当 n1 = n2 = 0时，齐次坐标(n ,n ,n ) 1 2 3 对应视平面上的一条无穷远直线，或不能在视 平面上出现的直线。 命题3.1 视平面上点的坐标( f , ) m m f m m 1 3 2 3 和直线方程n x n y n f 1 + 2 + 3 = 0 所对应的齐次坐 标(m ,m ,m ) 1 2 3 和(n ,n ,n ) 1 2 3 具有伸缩不变性。 证明：取任意实数k ¹ 0 ， k (m ,m ,m ) 1 2 3 是对原齐次坐标的伸缩变换，于是， ( f , ) ( , ) km km f km km f m m f m m 1 3 2 3 1 3 2 3 = 同理，对k ¹ 0，由k (n x n y n f ) 1 + 2 + 3 = 0，得n x n y n f 1 + 2 + 3 = 0 。 [证毕] 三. 规格化矢量(N矢量) 齐次坐标具有伸缩不变性，为减少由于有效位有限而产生的溢出对计算精度 的影响，引入归一化齐次坐标，并用矢量形式标记，称之为N矢量