·似然比检验方法是可行的，但习惯上常使用方差分解的想法来 导出检验统计量. ·方差分析由上述分解，基于样本可以进行类似的分解： Ikj= 玉十（伍k-)十(xk与-Ek) 观测值=总的样本平均+估计的处理效应+残差 这等价于 -玉 (色一到 (工k-玉k) Overall variability Between-group var.Within-group var. 其中五=是∑k,k为μ的估计，n=∑knk,k=∑，rk, =(⑦k一)为k的估计，(xk-k)为ek的估计. Previous Next First Last Back Forward
• 似然比检验方法是可行的, 但习惯上常使用方差分解的想法来 导出检验统计量. • 方差分析 由上述分解, 基于样本可以进行类似的分解: xkj = x¯ + (¯xk − x¯) + (xkj − x¯k) 观测值 = 总的样本平均 + 估计的处理效应 + 残差 这等价于 xkj − x¯ | {z } Overall variability = (¯xk − x¯) | {z } Between-group var. + (xkj − x¯k) | {z } Within-group var. 其中 x¯ = 1 n ∑ k,j xkj 为 µ 的估计, n = ∑ k nk, x¯k = 1 nk ∑ j xkj , τˆk = (¯xk − x¯) 为 τk 的估计, (xkj − x¯k) 为 ekj 的估计. Previous Next First Last Back Forward 5
·对假设检验问题Ho:T1=··=Tk=0,通过评定处理效应相 对于残差对样本波动性的贡献程度来进行.波动性可以通过平 方和(SS,sum of squares)来度量，因此 SStoL SStr SSres ∑-到=∑n(-到}+∑e-) k, k.i ·从而当 F= SSur/(g-1) SSres/(n-g) >Fg-1.n-g(a) 时拒绝零假设Ho.计算上常表示为下面的方差分析表： Source Sum of Degree of of variation squares(SS) freedom(df) MS Treatments SSurt 9-1 SSir/(g-1) Residual SSres n-g SSres/(n-g) Total SStoL n-1 Previous Next First Last Back Forward 6
• 对假设检验问题 H0 : τ1 = · · · = τk = 0, 通过评定处理效应相 对于残差对样本波动性的贡献程度来进行. 波动性可以通过平 方和 (SS, sum of squares) 来度量, 因此 SStot = SStr + SSres ∑ k,j (xkj − x¯) 2 = ∑ k nk(¯xk − x¯) 2 + ∑ k,j (xkj − x¯k) 2 • 从而当 F = SStr/(g − 1) SSres/(n − g) > Fg−1,n−g(α) 时拒绝零假设 H0. 计算上常表示为下面的方差分析表: Source Sum of Degree of of variation squares(SS) freedom(df) MS Treatments SStrt g − 1 SStrt/(g − 1) Residual SSres n − g SSres/(n − g) Total SStot n − 1 Previous Next First Last Back Forward 6
多元方差分析(MANOVA)现在将前面讨论的Anova推广到观 测Xk,为p元向量场合，此时的方差分析方法即称为多元方差分析 法(MANOVA). 假设（完全随机化设计） ·第k组样本Xk1,Xk2,,Xknk i.i.d~Nn(k,),k=1,2,,g ·各组样本之间相互独立 。感兴趣的假设是H0:山1=…4g什H1:k卡L,s.t.k卡凸1 类似于一元场合，我们有 。总体模型可以表示为 Xk与=μ+Tk+ekj,其中ekis i.i..d心Nn(0,) 其中为保证参数识别性，假设∑kkTk=0或者其他约束 Previous Next First Last Back Forward
多元方差分析 (MANOVA) 现在将前面讨论的 Anova 推广到观 测 Xkj 为 p 元向量场合, 此时的方差分析方法即称为多元方差分析 法 (MANOVA). 假设(完全随机化设计) • 第 k 组样本 Xk1, Xk2, . . . , Xknk i.i.d ∼ Np(µk , Σ), k = 1, 2, . . . , g • 各组样本之间相互独立 • 感兴趣的假设是 H0 : µ1 = · · · µg ↔ H1 : ∃k ̸= l, s.t. µk ̸= µl 类似于一元场合, 我们有 • 总体模型可以表示为 Xkj = µ + τ k + ekj , 其中 e ′ kj s i.i.d ∼ Np(0, Σ) 其中为保证参数识别性, 假设 ∑ k nkτ k = 0 或者其他约束. Previous Next First Last Back Forward 7
·样本波动性分解 Xkj-x=(k)+(Xkj-Xk) 于是总平方和与交叉乘积 马K,-XX,-刘y-∑m(-x0x-xy B +∑(X-x)(Xk-X)1 k.j W ·相应的自由度 m-1=g-)+(-) Previous Next First Last Back Forward f
• 样本波动性分解 Xkj − X¯ = (X¯ k − X¯ ) + (Xkj − X¯ k) 于是总平方和与交叉乘积 ∑ k,j (Xkj − X¯ )(Xk,j − X¯ ) ′ | {z } T = ∑ k nk(X¯ k − X¯ )(X¯ k − X¯ ) ′ | {z } B + ∑ k,j (Xkj − X¯ k)(Xkj − X¯ k) ′ | {z } W • 相应的自由度 ∑g i=1 ni − 1 = (g − 1) + (∑g i=1 ni − g ) Previous Next First Last Back Forward 8
·从而对假设Ho:T1=…=Tg=0,Wk'sA*检验统计量( 和似然比检验等价) A*= W B+W ·从而当B相对于W比较“小”，则A将靠近1，否则△比较 小 ·因此当A*较小时候拒绝Ho, ·统计量△·的精确分布在一些特殊情况下可以得出，但对一般 场合难以得出 Previous Next First Last Back Forward 9
• 从而对假设 H0 : τ 1 = · · · = τ g = 0, Wilk’s Λ ∗检验统计量 ( 和似然比检验等价) Λ ∗ = |W| |B + W| • 从而当 B 相对于 W 比较 “小”, 则 Λ ∗ 将靠近 1, 否则 Λ ∗ 比较 小. • 因此当 Λ ∗ 较小时候拒绝 H0. • 统计量 Λ ∗ 的精确分布在一些特殊情况下可以得出, 但对一般 场合难以得出. Previous Next First Last Back Forward 9