(plP-lv）=p2(plw）=pw(p (plΨ(xlw〉=pV(x)x(xlw)dx rwclrXrww.w ep咖 由以上各式，得到动量表象中的薛定谔方程是如下积分、微分方程 )((dpp) p2 1 【1.8】粒子在势场V(x)=-V。(x)中运动，其中常数V。0,试证在动量表象归一化的波 函数是 2mV。a 【解】利用上题结果，有 (pFku =p海 薛定谔方程是 (p(P-Ep 求出 把上式对P积分，并令「w(P)p=c,则 【p冲-L点产受中- 两边消去常数c。对于束缚态E(0,令k2=-2mE,k=√-2mE代入上式，得
11 ( ) ( ') ' 2 1 ( ) ' ' ' 2 ( ) ( ) ( ); ( ') / / 2 2 2 e V x p dxdp V x x p p dxdp e p V x pV x x x dx p P p p p p i p p x h ipx h ψ π ψ π ψ ψ ψ ψ ψ ∫ ∫ ∫ − − − = = = = = h h 由以上各式，得到动量表象中的薛定谔方程是如下积分、微分方程 ( ) ( ') ' ( ) 2 1 ( ) 2 ( ') / 2 p e V x p dxdp E p m P i p p h ψ ψ π ψ + = ∫ − − × h 【1.8】粒子在势场 ( ) ( ) 0 V x = −V δ x 中运动，其中常数V0 〉0 ，试证在动量表象归一化的波 函数是 。 mV a p a mV a p h h 0 2 2 0 , 2 ( ) = + = π ψ 【解】利用上题结果，有 ∫ ∫ ∫ = − = − = − − × − − × p dp V e V x p dxdp p V x e V x p dxdp i p p h i p p h ( ) 2 ( ) ( ') ' 2 1 ( ) ( ') ' 2 1 ( ) 0 0 ( ') / ( ') / ψ π δ ψ π ψ π ψ h h h 薛定谔方程是 ∫ − ( ) = ( ) 2 ( ) 2 0 2 p dp E p V p m p ψ ψ π ψ h 求出 E m p V p dp p − = ∫ 2 ( ) 2 ( ) 2 0 ψ π ψ h 把上式对 P 积分，并令 ∫ψ ( p)dp = c ，则 dp c p mE V mc p dp c c = − = ∫ ∫ − ∞ ∞ − 2 2 2 ( ) 2 0 πh ψ 两边消去常数 c。对于束缚态 E 0 , k 2mE, k 2mE 2 〈 令 = − = − 代入上式，得
完成积分，得 ms-忠 -2mw 利用归一化条件(Pdp=1,求出常数c,因为 (egEjp-1 2mmVo c= 于是归一化的波涵数是 2m'。 m' yp)=市pr+(mo 【1.9】设空间平移变换算符U(@)由U(a)w(x)=(x+a确定，式中a平移位移.U(a)可 以表示为动量算符的指数函数U(a)=exp(iap/h),求证U(a)是么正算符在坐标表象的形 式是p=会 【证明】(1)把w(x+a)在x处展开成泰勒级数，得 U(awu(x)=w(x+a) -婴-j onv(a) 比较上式两边，有 12
12 0 2 2 p k mV c dp πh = + ∫−∞ 完成积分，得 0 1 k mV p arcg k πh = ∞ −∞ 即 h h h 0 2 2 0 0 , 2 2 2 mV k mE mV E mE mV = − == − = = − π π 利用归一化条件 ( ) 1 2 = ∫ψ p dp ，求出常数 c，因为 1 2 2 2 2 2 2 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∫−∞ DP p mE cV c m πh 则 h 0 2 mV c π = 于是归一化的波涵数是 2 0 2 2 0 0 ( ) 2 ( ) p mV mV mV p + = h h πh ψ 【1.9】设空间平移变换算符U(a) 由U(a)ψ (x) =ψ (x + a) 确定，式中 a 平移位移。U(a) 可 以表示为动量算符的指数函数U(a) = exp(iap / h); 求证U(a) 是么正算符在坐标表象的形 式是 x p i ∂ ∂ = − h 。 【证明】（1）把ψ (x + a) 在 x 处展开成泰勒级数，得 exp ( ) ( ) ! ( ) 1 ! ( ) ( ) ( ) 0 0 ap x i x iap dx n d x n a U a x x a n n n n n n ψ ψ ψ ψ ψ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = + ∑ ∑ ∞ = ∞ = h h 比较上式两边，有
Ua)-eno (2)由上式，可证U(a)是么正算符。 【1.l0】由一维线性谐振子产生d与消灭a算符定义一个算符U(a)=exp(-iaaa),这里 a是无量纲的常数，求证这个算符为么正算符：并证明UaU+=e,UaU=em,求证 系统的哈密顿算符在么正变换下变，并计算U)。 【证明】因为U(a)=exp(-iaa'a)=exp(-iaW) 因而 U(a)=exp(iaN) 则 U(a)U(a)=1 可见这是么正算符， 令A=-iaN,B=a,利用公式 e"Be=B+4.B]+4.[4.B+ +I4.[4.+ 给出 UaU-=a+(a)lN.a]+(-iay[w.[N.a] +j(-ia)W.[w.l.aI+. 己知 N,a]=[aa",a"]=a [N,a"]=[aa",a-]=a" 给出 )+(+ =e-ia* 3
13 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ap i U a h ( ) exp （2）由上式，可证U(a) 是幺正算符。 【1.10】由一维线性谐振子产生 a+ 与消灭 a 算符定义一个算符U(a) exp( iaa a) + = − ，这里 a 是无量纲的常数，求证这个算符为么正算符；并证明 iaa iaa Ua U = e UaU = e + + − + , ' ，求证 系统的哈密顿算符在幺正变换下变，并计算U n 。 【证明】因为U(a) = exp(−iaa a) = exp(−iaN) + 因而 U (a) = exp(iaN) + 则 ( ). ( ) =1 + U a U a 可见这是幺正算符。 令 , , + A = −iaN B = a 利用公式 [ ] [ ] [ ] + [ ] [ ] [ ] +L = + + + − A A A B e Be B A B A A B A A , , , 3! 1 , , 2! 1 , 1! 1 给出 [ ] [ [ ]] + − [ ] [ ] [ ] +L = + + − + + + + + + ia N N N a Ua U a ia N a ia N N a ( ) , , , 3! 1 ( ) , , 2! 1 ( ) , 2 2 已知 [N a ] = [aa a ] = a + + + , , [ ] [ ] + + + + N,a = aa ,a = a 给出 − + + + + + + + = = − + − + + e a Ua U a iaa ia a ia a ia 2 ( ) 3 L 3! 1 ( ) 2! 1
同理利用[N,d=-a,可得 UaU=e"a 因为哈米顿算符是H=h0(aa+=h0N+匀，显然有关系 U(a)HU(a)=H 对木征方程进行么正变换，我们有 UHn）=UHU*Un）=EUn) 因此得到 HUn）=EUn) 表明)与U）满足相同的薛定谔方程，系统具有么正不变性。直接计算得出 Un）=exp(-iaa'a)=exp(-inan） 可见么正变换后的本征态仅多了一个相因子。特别当n=0时的基态时有关系 U0)=exp(-iaa'a)=0) 解法2：设在么正变换时有结果 U(a)al'(a)=a(a) 两边对a计算微分得 名ale-lav+LVwa =iU(aa'a-a'aa)U*=ia(a) 利用了条件a,a]=1以及U,aa=0,这个方程的解是 a(a)ae" 利用了初条件a(a=0)=a,同理可以给出a(a)=aea。 也可以直接计算U(a)aU(a),因为
14 同理利用[ ] N, a = −a ，可得 UaU e aia = + 因为哈米顿算符是 ) 2 1 ) ( 2 1 = ( + = + + H hω a a hω N ，显然有关系 U a HU a = H + ( ) ( ) 对本征方程进行幺正变换，我们有 UH n UHU U n E U n = = n + 因此得到 HU n E U n = n 表明 n 与 U n 满足相同的薛定谔方程，系统具有幺正不变性。直接计算得出 U n = exp(−iaa a) = exp(−ina) n + 可见幺正变换后的本征态仅多了一个相因子。特别当 n=0 时的基态时有关系 0 = exp(− ) = 0 + U iaa a 解法 2：设在幺正变换时有结果 U(a)aU (a) = a(a) + 两边对 a 计算微分得 ( ) ( ) ( ) iU aa a a aa U ia a a a ia aUaU UaU a a da d = − = = − + + + + + + + + 利用了条件[ , ] = 1 [ , = 0] + + a a 以及U a a ，这个方程的解是 ia a(a) = ae 利用了初条件 a(a = 0) = a ，同理可以给出 ia a a a e + + − ( ) = 。 也可以直接计算U(a)aU (a) + ，因为
U(a)aU*(a)=>U(a)anynU(a) =>exp(-iaa'a)nn-Iyn(a) =∑exp(-in-l)a)Nmn-ln）exp(iam） =∑cxp(ia)Wnn-1以nl =∑exp(ia)a nn get 同理可以得到UaU=ea。 【111】求证一维线性谐振子坐标本征态x),动量本征态p〉可以表示为 -(“e器+a-a -”可品高， 提示：厄米多项式的母函数公式是 .(=on2m- 【证明】利用谐振子本征态完备条件∑n以=1，我们有 lx)=∑ln以nlx)=∑nw(x) 活（器r贾 上式中利用厄米多项式的母函数公式 ,国=c2a-） 并令1=a1W2,得到 同理可以计算
15 ia ae ia a n n ia n n n i n a n n n ian iaa a n n n U a U a aU a U a a n n U a = = = − = − − − = − − = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + + + + exp( ) exp( ) 1 exp( ( 1) ) 1 exp( ) exp( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 同理可以得到 + + − + Ua U = e aia 。 【1.11】求证一维线性谐振子坐标本征态 x ，动量本征态 p 可以表示为 。 a pa m i m p m p a xa m x m m x 0 2 2 ( ) 2 exp 1 0 , 2 2 ( ) 2 exp 2 2 1/ 4 2 2 1/ 4 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − + + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + + h h h h h h π ω ω ω ω ω π ω 提示：厄米多项式的母函数公式是 ( ) exp(2 ) ! 2 0 H x xt t n t n n n ∑ = − = 【证明】利用谐振子本征态完备条件∑ n n = 1，我们有 0 2 exp 2 ! 1 ! ( ) ( ) 2 0 4 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = ∑ ∑ ∑ = + x m x H m n n m a x n n x n x n n n n n h h h ω ω π ω ψ 上式中利用厄米多项式的母函数公式 ( ) exp(2 ) ! 2 0 H x xt t n t n n n ∑ = − = 并令 / 2 + t = a ，得到 0 2 2 2 exp 2 2 4 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ − − + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + + a xa m x m m x h h h ω ω π ω 同理可以计算