基5.{N}表象6.产生算符和消灭寡符7.{Q} 表象。厄密多项式 .应用和各种性质 …460 8.本征函数()的生成函数9.海森伯方程的积 分10.经典和量子化的振子11.极小波包的运动 和经典极限12.处于热力学平衡的谐振子 l.多维各向同性谐振子…472 13,P维各向同性振子的一般处理14.两维各向同 性振子15.三维各向同性振子 附录A分布6“函数”和傅里叶变换…484 附录B.特殊函数和有关公式…503
第一部分公式体系及其解释 第一章量子论的起源 1.引言 直到二十世纪初，物理学家普遍信奉的仍然是经典学说， 根据这个学说，他们把一定数目的物理量或者说动力学变量 赋予他们想要描述其演变的物理系统。而且，每一个这样的 物理量在任一时刻都有一个完全确定的数值。一且指明了这 样一组数值，物理系统在该时刻的动力学状态便被确定。人 们还认为，一旦知道了物理系统在某一初始时刻的状态，那 么，该系统随时间的演变就能完全确定，这一条基本公理在 数学上被表示得更为严格，即这些动力学变量作为时间的函 数满足一组一阶微分方程。因此，经典理论物理学的工作程 序就是先列举出所研究系统的动力学变量，然后再找出能预 言该系统演变的运动方程，这种预言要与实验观测相一致. 从牛顿的理性力学*(Rational Mechanics)的建立直到十九 世纪末，这个经典工作程序都运用得非常成功，每一项新的 发现，或者是通过引人新的变量和新的方程，或者是通过修改 老的方程，都在理论方面找到了自己的归宿，从而使新观测到 的事实得以纳人原来的总框架，在这一时期，没有任何实验事 实，也没有任何发现引起人们对经典程序的可靠性产生怀疑。 相反，经典物理学一直在朝着更加简单和更加统一的方向不 ◆指牛顿力学的理论体系。一译者注 8710036
断取得进展.这种情况一直延续到1900年左右.后来，随着 我们对微观尺度的现象了解得更精确，经典物理学遇到了越 来越多的因难和矛盾，·人们不久就意识到，原子和亚原子尺 度的现象无法纳入经典学说的框架，它们必须依靠一些全新 的原理才能得到解释。这些新原理是在经过千辛万苦的摸索 之后才逐步发现的.只是到了1925年前后，随着量子力学的 建立，我们才有了一个协调一致的关于微观现象的理论.这 个理论的起源，就是本章要讨论的内容。 本章在对经典理论物理学的全貌作过概括介绍之后，将 接着讨论那些能说明放弃经典概念的必要性的主要现象，我 们假设读者是熟悉这些现象的”，所以我们只打算提一些它们 的要点，着重强调这些现象与经典物理学之间存在的矛盾，本 章结尾部分则专门用来扼要介绍为解释这些现象所作的那些 最初尝试，即所谓旧量子论， I.经典时代的终结 2.经典理论物理学 在经典时代结束以前，物理学的各个不同分支已经并合 成一个协调一致的总的理论结构，这个结构的一些要点如下， 人们在宇宙中已分清有两类客体，即物质和辐射。物质由遵 从理论力学牛顿定律的完全可以定域的微粒构成，而每一个 1)有必要对本书中常要用到的“微观和“宏观”两个词下一个定义。我们把 “微观”尺度定义为原子或亚原子现象的尺度，所涉及的长度最多只有几 埃(1埃=10-·厘米)数量级，“宏观”尺度则是用肉眼或普通显微镜能观 察到的现象的尺度，这且最佳分辨率是1微米(10÷厘米)， )参见论述原子物理学的著作， M.Born,Atomic Physics,6th.ed. (Blackic,,Ga5gow,1857)。在这些书中可以找到关于这些现象的详细时 论. ·2
微粒在任一时刻的状态则由它的位置和速度（或动量）总共六 个动力学变量确定，辐射遵从的是麦克斯韦电磁定律，它的动 力学变量是空间中每一点电场和磁场的分量，有无穷多个」 与物质不同，辐射不能被分割成可以在空间定域而且在其时 间演变过程中可以保持这种定域特性的微粒.相反，辐射表 现出具有类似波动的特性，特别在大家熟知的干沙和衍射现 象中，这种波动特性尤为明显。 物质的微粒说在整个十九世纪不断发展。起初，这种理 论只用来处理天体和具有宏观尺度的固体的力学，随后，就越 来越显示出，它也是制约微观尺度物质的演变的基本理论，乃 至化学家们提出的原子假说也为它所证实，由于不可能把分 子孤立出来，单独研究它们之间的相互作用而直接验证原子 假说，人们便通过由组成物体的分子的运动规律可以推导出 物体的宏观性质这件事来间接地证实它。在数学上，这样处 理的是二个非常复杂的问题。根据这个假说，事实上，宏观盘 是作为一个具有极大数目自由度”的系统的某些动力学变量 的平均值而出现的。·准确求解这样一个系统的演变方程是毫 无希望的，人们只能求助于统计的研究方法，于是一门新学 科，统计力学，便应运而生并发展起来。统计力学的成就，特 别是在气体研究方面（气体分子运动论）和热力学研究方面 (统计热力学)所取得的成就，使我们能够定性地，而且在几率 计算所规定的限度内还能定量地证实物质微粒说的基础.) 与此同时，辐射的波动说也牢固地建立起来了，十九世 1)我们知道，每摩尔的分子数目为N=6.02×10(阿伏伽德罗数).这个 N值是洛 密脱(189)首先根据全体分子运动论严格确定的. 2)必须指出，统计力学的所有推理都是以 种统计性质假说即分子的混为 性假说为基础的，只婴不放弃统计方法本身，就注定无法摆脱这个假说， 虽则这个假说从直觉看似乎是正确的，但它的严格论证（各态历经定理） 却非常敬妙，而且仍然存在考争议， 3.4
纪上半叶，在光学领域中，由于在波的传播问题的处理方面取 得了决定性进展（费涅耳），可以探究波动假说派生出来的所 有结论，由来已久的关于光的波动性和微粒性的争论终于暂 告结束.所有已知的光学现象，包括几何光学在内，全都以 建立在波动学说的基础之上了，在这期间，电和磁的现象的 研究也迅速发展。，1855年麦克斯韦建立起基本的电磁方程 组，是在这方面迈出的决定性的一步。基于这些方程，他预言 了电磁波的存在[这个预言最后为无线电波的发现（赫兹）所 证实]，并把光波当作一种特定类型的电磁波而完成了光学和 电学的统一。 ,到了十九世纪末，经典方案所取得的成就给人印象极为 深刻。所有已知的物理现象似乎都能在一个普遍的物质和辐 射的理论中找到它们的解释；倘若遇到无法解释的情况，人们 也有理由把失败全都归咎于求解这些问题时出现的数学困 难，而不去篷罪基本方程的形式.经典理论的一个引人注目的 特点，是它那高度的统一性.把科学的不同分支统一起来一直 是物理学家们的迫切愿望，而他们在这方面确实也取得了丰 硕成果.事实上，那个时代的物理学家赋予经典理论的统 性已超过了它实际具有的统一性。的确，波的传播并非是电 磁学特有的现象。人们研究振动，首先研究的是物质的振动 (振动弦，液面波，等等)，而且是在光的波动性之前早就发现 了声学现象的波动性。再者，物质内存在着波，这与微粒说 也决不矛盾，人们在这里处理的不过是一种不难从包括合适 的力的定律在内的某些微观定律导出的宏观现象，类似地， 经典物理学家们也赋予电磁波以一种承载结构，一种他们称 之为“以太”的物质流体，尽管它的结构和性质还有待具体化. 于是，物质被看成一种由牛顿理性力学原理所制约的基本实 体，这种实体遵从一些力的定律，以致在适当条件下能呈现各