622.1基于一阶梯度的方法 Horn和 Schunck所采用方法基本思想是在求解光流时,光流本身尽可能平滑, 即引入对光流的平滑性约束。设平滑性约束项为 E u +u+v+y (67) 由基本等式(66),显然要求 E。=+fy+)hy 6.8 于是由(67)和(68)可知,最后求得的光流应满足(6,9)式,即 mn,=2+2+2+2+1(m++)]o (69) 对形如(6.10)形式的形式变分问题 minI F(u, v,u,, u,,vx,v, )dxdy (6.10) 的解是对应 Euler方程(611)的解 aF OF aF OF 0 ax
6.2.2.1 基于一阶梯度的方法 Horn 和 Schunck 所采用方法基本思想是在求解光流时，光流本身尽可能平滑， 即引入对光流的平滑性约束。设平滑性约束项为 ( ) òò E = u + u + v + v dxdy s x y x y 2 2 2 2 (6.7) 由基本等式(6.6)，显然要求 ( ) òò E = f u + f v + f dxdy c x y t 2 (6.8) 于是由(6.7)和(6.8)可知，最后求得的光流应满足(6.9)式，即 { [ ( ) ] } òò E = u + u + v + v + f u + f v + f dxdy s x y x y x y t 2 2 2 2 2 min l (6.9) 对形如(6.10)形式的形式变分问题 { F u v u x u y vx v y dxdy} òò min ( , , , , , ) (6.10) 的解是对应 Euler 方程(6.11)的解 ï ï î ï ï í ì - - = - - = 0 0 y F x F F y F x F F x y y x v v v u u u ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ (6.11)
对于(69)式 F=2+n2+y2+n2+(,n+f+ (6.12 于是对应的Euer方程为 Vu=yf(u+f,v+f) V2v=,(,+f,+f) (6.13) 其中ˇ是 Laplace算子。 (69)式中λ反映对数据及约束的信度。当数据本身含有较多的噪声时,则原始 数据的可信度较低,更多地依赖对光滑性的约束,λ可以取较小的值,反之λ可以取 较大的值。 对于 Euler方程(613)进行研究不难发现对于以下几种情况难以定解: 当区域亮度梯度为零时,无法确定光流; 当物体沿某一边缘运动时,边缘上的光流无法确定; 图象的四周、角点梯度变化较快,计算的光流值有较大的偏差 解决的方法一内插
对于(6.9)式 ( ) 2 2 2 2 2 x y x y x y t F = u + u + v + v + l f u + f v + f (6.12) 于是对应的 Euler 方程为 ïî ï í ì Ñ = + + Ñ = + + ( ) ( ) 2 2 y x y t x x y t v f f u f v f u f f u f v f l l (6.13) 其中Ñ 2 是 Laplace 算子。 (6.9)式中l反映对数据及约束的信度。当数据本身含有较多的噪声时，则原始 数据的可信度较低，更多地依赖对光滑性的约束，l可以取较小的值，反之l可以取 较大的值。 对于 Euler 方程(6.13)进行研究不难发现对于以下几种情况难以定解： l 当区域亮度梯度为零时，无法确定光流； l 当物体沿某一边缘运动时，边缘上的光流无法确定； l 图象的四周、角点梯度变化较快，计算的光流值有较大的偏差。 解决的方法--内插
实际计算时由于计算的对象是离散化的图象,因此需要进行离散化处理。 离散化后光滑性约束变成 t(v 4 1)+( (Vi+1 而基本等式的约束变成 l21+f.:+ 于是极小化目标函数为 mine ∑∑(S+cn) (6.14) 对(614)求关于a和"k的偏导,并令其为零,整理后有 1+/2)ux+0ff,k=lk-2,f n fuk+(1+nf)vk (6.15) 其中、"k分别是和pk的四邻域平均 解(6.15得
实际计算时由于计算的对象是离散化的图象，因此需要进行离散化处理。 离散化后光滑性约束变成 s u u u u v v v v ij i j i j i j i j i j i j i j i j = - + - + - + - + + + + 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , 而基本等式的约束变成 ( ) 2 ij x ij y ij t c = f u + f v + f 于是极小化目标函数为 þ ý ü î í ì = åå + i j ij ij min e (s lc ) (6.14) 对(6.14)求关于ukl和vkl的偏导，并令其为零，整理后有 ïî ï í ì + + = - + + = - y x kl y kl kl y t x kl x y kl kl x t f f u f v v f f f u f f v u f f l l l l l l (1 ) (1 ) 2 2 (6.15) 其中ukl、vkl分别是ukl和vkl的四邻域平均 解(6.15)得
f,uk +f vk+f r 1+λ(x2+fy2) f uk +f vk+ f kl 1+λ(x+fy) 于是得到自然的迭代过程 f uk+f vk +f 1+(fx2+f2) (6.16) fuk +f =-1+(2+2)f 约束线 (P) 上述迭代过程如图64所示。 (utI, y fr,fi 图64迭代求解过程
ï ï î ï ï í ì + + + + = - + + + + = - y x y x kl y kl t kl kl x x y x kl y kl t kl kl f f f f u f v f v v f f f f u f v f u u 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 l l 于是得到自然的迭代过程 ï ï î ï ï í ì + + + + = - + + + + = - + + y x y t n y kl n n x kl kl n kl x x y t n y kl n n x kl kl n kl f f f f u f v f v v f f f f u f v f u u 1 ( ) 1 ( ) 2 2 1 2 2 1 l l (6.16) 上述迭代过程如图 6.4 所示。 v u f , f x y 约束线 ( ) u , v n n u , v n+1 n+1 ( ) 图6.4 迭代求解过程
心a2 .鸭部