最可几分布与宏观态 口近似最可几分布出现的总概率 分布N/2MN2+M:w(N-M.N+M)= N 2 (N/2-M)(N2+M) N!=(2N)(N/ 2 4M 1-2M/N 1+2M/N 1+x=e(forx<<1) 2M2(N+1) 4M2 e p /、2M -n到n之间总概率 P M.一+M tor M=-n 2M /2 dM n~10 -025 丌N x~14.14 050 2 e N/2
最可几分布与宏观态 近似最可几分布出现的总概率 • 分布(N/2-M,N/2+M): ( ) ( ) ! , 2 2 2 ! 2 ! N N N W M M N M N M − + = − + ( ) ( ) 1/2 ! 2 / N N N N e 1/2 ( 1 /2 ) 2 2 2 4 1 2 2 1 1 2 N M N M M N N N M N − + − − + 1 1 ( ) x + x e for x ( ) 2 2 2 2 2 ex 2 1 4 exp e px p M N M N N M N + − − • -n到n之间总概率: 1/2 2 2 2 exp n n M dM N N + − = − 1 , 2 2 M n tot M n N N P W M M W = + = − = − + ( ) ( ) 2 0 2 exp x y dy er x f = − = / 2 n x N = / 2 M y N = 24 13 ~ 10 ~ 10 ~ 14.14 N n x
最可几分布与宏观态 最可几分布出现的概率最大 ·最可几分布出现的绝对概率可以很小 非常接近最可几分布(近最可几分布)的其他分布出现的概率比最可 几分布小很多,随偏离指数衰减 ·最可几分布与近最可几分布出现的总概率非常接近1 近最可几分布对应的宏观状态与最可几分布对应的宏观状态近似相同 最可几分布与近最可几分布总概率非常接近1,可以代表实际上可观 测到的宏观态 · Boltzmann假定:热力学平衡对应的宏观状态是几率最大的宏观态 最可几分布对应的状态可以代表热力学平衡宏观状态
最可几分布与宏观态 • 最可几分布出现的概率最大 • 最可几分布出现的绝对概率可以很小 • 非常接近最可几分布（近最可几分布）的其他分布出现的概率比最可 几分布小很多，随偏离指数衰减 • 最可几分布与近最可几分布出现的总概率非常接近1 • 近最可几分布对应的宏观状态与最可几分布对应的宏观状态近似相同 • 最可几分布与近最可几分布总概率非常接近1，可以代表实际上可观 测到的宏观态 • Boltzmann假定：热力学平衡对应的宏观状态是几率最大的宏观态 最可几分布对应的状态可以代表热力学平衡宏观状态
Lecture2: Boltzmann分布
Lecture 2 : Boltzmann分布
问题提出 ◆N个可分辨‘经典’粒子,总能量为E,排列在 不同能级{E}上,最可几分布是什么? 热力学平衡态→几率最大宏观态→最可几分布 特定分布{n}出现的热力学几率为( Boltzmann统计) W(n)=M1∏I ·注意到分布n必须满足粒子数和能量守恒 条件极值 ∑n=N∑n=E 0注意体系总的微观状态数为:m ∑W({n}) }∑n=N∑=E
问题提出 ◆ N个可分辨‘经典’粒子，总能量为E，排列在 不同能级{εi }上，最可几分布是什么？ • 特定分布{ni }出现的热力学几率为(Boltzmann统计) ( ) ! ! i n i i i i g W n N n = • 注意到分布{ni }必须满足粒子数和能量守恒 i i n N= i i i n E = 条 件 极 值 ❶ 注意体系总的微观状态数为： ( ) { } , { } i i i i i i tot i n n N n E W n = = = 热力学平衡态→几率最大宏观态→最可几分布
最可几分布 最可几分布:W极大 n}→d(a)=∑/cmma=0xm0 aIn w an 约束条件:∑n=N→∑m=0 ∑=E→∑=0 Lagrange不定乘子法: aInw+a-bsi,=0 aIn +a-Bei=0 Stirling 公式:n(n)=nhn-n →M=(2zN)(N/e)
最可几分布 最可几分布: W极大 • 约束条件： i i n N= i i i n E = dni ( ) ln ln i i i W d W dn n = 0 i i dn = 0 i i i dn = • Lagrange 不定乘子法： =0 ln 0 i W n = ╳ ln 0 i i i i W dn n + − = ln 0 i i W n + − = • Stirling公式： ln ! ln (n n n n ) − ( ) ( ) 1/2 ! 2 / N N N N e