■当两个点电荷分别为q1和q2时,静电能为: 2=42012÷7 4E。n12 同样地, 91g2 21 W 兀C 可将两个点电荷的静电能记为W2,为方便写成: W2=(W12+W112(g2U12+qU2) 三个点电荷的静电能记为W3,便为 W3=(12+W21+W13+W+W23+W32)
◼ 当两个点电荷分别为q1和q2时, 静电能为： 同样地, 可将两个点电荷的静电能记为W2 ,为方便写成： ◼ 三个点电荷的静电能记为W3 ， 便为： 2 1 12 2 12 0 12 1 , 4 q q W q U r = = 1 2 21 1 21 12 0 12 , 4 q q W q U W r = = = 2 12 21 2 12 1 21 1 1 ( ) ( ), 2 2 W W W q U q U = + = + 3 12 21 13 31 23 32 1 ( ) 2 W W W W W W W = + + + + +
■于是可写成: W3=(W12+W21+W13+Wy31+W23+W32) 2 =(q2U12+qU21+q3U13+q1U31+qU2+q2U32) 29,其中U=2 ∑ 4兀E0j=1 ■U代入W: 33 gg 38兀E0j=1
■ 于是可写成： ■ U 代入W ： 3 3 3 0 1 1 1 , 8 j i i j j i ji q q W r = = = 3 12 21 13 31 23 32 2 12 1 21 3 13 1 31 3 23 2 32 3 3 1 1 3 0 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 , , 2 1 4 = = = = + + + + + = + + + + + = = 其中 = j i j i i i ji i j j i j ji W W W W W W W q U q U q U q U q U q U q r q U U U
对N个点电荷糸统 =∑q,其中U1=∑Un 480n ≠ U是除了q其它点电荷在q处产生的电势的和。 同理,将U代入W得: N 9i 9 8 J≠l ≠ 对N+1个点电荷糸统,可证(见书p68) 1、+、+q1q,记为1 gg N+18E 0=1i=1n 8兀E0j=1 ≠1 J≠l
对N个点电荷系统： 1 1 1 0 1 1 , 2 4 j i j i N N N j N i i i ji i j j ji i i i q W qU U U r U q q = = = = = = 其中 ， 是除了 其它点电荷在 处产生的电势的和。 同理，将U 代入W 得： 1 1 1 1 0 1 1 2 8 j i j i N N N N i j N i ji j i j i ji q q W q U r = = = = = = . 对N+1个点电荷系统，可证（见书p68）： 1 1 1 0 1 1 , 1 1 8 j i j i N N N i j i j N j i j i ji ji q q q q W r r + + + = = = = 记为 +1 0 1 = . 8
§32连续电荷分布的静电能 首先讨论空间只有自由电荷的情形,这 意味着电场空间中只允许导体和介电常量恒 等而的物体(包括真空)存在。 1.先考虑体电荷分布的情况,电荷密 度设为P(r)。将该体电荷无限分割并把每 小部分当作点电荷处理,则由前页结论可得: H=2(u,(a2) U(O表示除(r)V外其余所有电荷在r处 产生的电势
§3.2 连续电荷分布的静电能 首先讨论空间只有自由电荷的情形，这 意味着电场空间中只允许导体和介电常量恒 等于 的物体（包括真空）存在。 1. 先考虑体电荷分布的情况，电荷密 度设为 。将该体电荷无限分割并把每一 小部分当作点电荷处理，则由前页结论可得： 0 ( ) e r 1 1 ( ) ( ) , 2 e e V W U dV = r r U1(r)表示除 外其余所有电荷在r处 产生的电势。( ) e r dV (3.2.1)
■分析U(r)和总电势U(m)的关系。设为一球体 元,由第17节例1.11的结果(P28),取R1=0, R2=a。可求得电荷密度为P、半径为a的均匀带 电球体在球内产生的电势为: U〃=(3a 6 它在球心处取极大值Um=pa2/2a,故当a→0 时有Um→>0即⑦→0。于是,U()≈U( W=p(r)(r)d.(32)
■ 分析U1(r)和总电势U(r)的关系。设dV为一球体 元，由第1.7节例1.11的结果(P28)，取R1 = 0， R2 = a。可求得电荷密度为 、半径为a的均匀带 电球体在球内产生的电势为： e ( ) 2 2 0 3 , 6 = − e U a r 它在球心处取极大值 ，故当 时有 即 。于是， U1(r) ≈ U(r) 2 0 U a m e = / 2 a →0 0 Um → U → 0 1 ( ) ( ) . 2 e e V W U dV = r r (3.2.2)