◆4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异: 联系:(1)因子分析是主成分分析的推广,是主成分分析的逆问题。 (2)二者都是以降维′为目的,都是从协方差矩阵或相关系数矩阵 出发。 区别:(1)主成分分析模型是原始变量的线性组合,是将原始变量加 以综合、归纳,仅仅是变量变换;而因子分析是将原始变量加以分解 描述原始变量协方差矩阵结构的模型;只有当提取的公因子个数等于 原始变量个数时,因子分析才对应变量变换。(2)主成分分析,中每 个主成分对应的系数是唯一确定的;因子分析中每个因子的相应系数 即因子载荷不是唯一的。(3)因子分析中因子载荷的不唯一性有利于 对公因子进行有效解释;而主成分分析对提取的主成分的解释能力有 限。 2021/1/21
2021/1/21 6 cxt ❖ 4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异： 联系：（1）因子分析是主成分分析的推广，是主成分分析的逆问题。 （2）二者都是以‘降维’为目的，都是从协方差矩阵或相关系数矩阵 出发。 区别：（1）主成分分析模型是原始变量的线性组合，是将原始变量加 以综合、归纳，仅仅是变量变换；而因子分析是将原始变量加以分解， 描述原始变量协方差矩阵结构的模型；只有当提取的公因子个数等于 原始变量个数时，因子分析才对应变量变换。（2）主成分分析，中每 个主成分对应的系数是唯一确定的；因子分析中每个因子的相应系数 即因子载荷不是唯一的。（3）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于 对公因子进行有效解释；而主成分分析对提取的主成分的解释能力有 限
◆5、因子分析模型: 设X(i=1,2,个孪量,如果表示为 X1=4+anF1+…+anFn+6;(m≤p) X 12 lp F 或 +/=21c 22 2 或X-p=AF+E 2021/1/21 cXt
2021/1/21 7 cxt ❖ 5、因子分析模型： 设 Xi (i =1,2, 个变量 , p) p ，如果表示为 X a F a F i i i im m i = + + + + 1 1 (m p) 1 1 11 12 1 1 1 2 2 21 22 2 2 2 1 2 m m p p p p pm p m X F X F X F = + + 或 或X − = + μ AF
称为F,F2,…公因子,是不可观测的变量,他们 的系数称为因子载荷。是特殊因子,是不能被前m个 公共因子包含的部分。其中: (1)cov(F,)=0,F,E相互独立即不相关; (2) D(F)= 即F,F2不相关,方差为1。 2021/1/21
2021/1/21 8 cxt （1） （2） 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们 的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被前m个 公共因子包含的部分。其中： F F F m , , , 1 2 i cov( , ) 0, F = F, 相互独立即不相关； D F = I = 1 1 1 ( ) F F F m , , , 即 1 2 互不相关，方差为1
(3) D(E)= P 即互不相关,方差不一定相等n~N(0,a) 满足以上条件的,称为正交因子模型 如果(2)不成立,即DF公共因子之间不独立, 则因子分析模型为斜交因子模型 2021/1/21 cXt
2021/1/21 9 cxt （3） = 2 2 2 2 1 ( ) p D 即互不相关，方差不一定相等， 。 满足以上条件的，称为正交因子模型． 如果（２）不成立，即 各公共因子之间不独立， 则因子分析模型为斜交因子模型． ~ (0, ) 2 i N i D(F) I
因子分析案例 公因子F1公因子共同度特殊因子 6 x1-代数10.8960.3410.9190081 x=代数20.802049608890111 x3=几何05160.855 0.997 0.003 x4=三角0841044409040096 x5-解析几何083304340:8820118 特征值G31131479 4959 0409 方差贡献率62262958%9185% (变异量) F1体现逻辑思维和运算能力,F体现空间思维和推理能力
2021/1/21 10 cxt 公因子F1 公因子 F2 共同度 hi 特殊因子 δi x1=代数1 0.896 0.341 0.919 0.081 x2=代数2 0.802 0.496 0.889 0.111 x3=几何 0.516 0.855 0.997 0.003 x4=三角 0.841 0.444 0.904 0.096 x5=解析几何 0.833 0.434 0.882 0.118 特征值 G 3.113 1.479 4.959 0.409 方差贡献率 （变异量） 62.26 % 29.58% 91.85% 因子分析案例 F1 体现逻辑思维和运算能力，F2 体现空间思维和推理能力