e0(sm)+km20=C→0方程 sin e a 104()=C→中方程 Φ(φ)∞ 分别解三个常微分方程,将求得的解R(r)、(0)、Φ(v 连乘在一起,得: v(r,0,v)=R(r)()Φ(v)=R(r)Y(,v) 如氢原子的V1s= 2021/1/21
2021/1/21 11 + = 方程 k C 2 ) sin ( ) (sin ( ) sin = 方程 − C 2 2 ( ) ( ) 1 0 3 0 1 1 a r s e a − = 分别解三个常微分方程，将求得的解R(r)、Θ()、Φ(ψ) 连乘在一起，得： Ψ(r, , ψ)=R(r)Θ()Φ(ψ)=R(r)Y(, ψ) 如氢原子的
例1:试求氢原子1s态的平均半径 解:F=v e e o r sin 0drdedop 2r shr'eddro sin eden do na 2.2丌 T 注意: no-Br 0 n+1 2021/1/21
2021/1/21 12 0 4 0 3 0 0 2 0 0 2 3 3 0 2 3 0 3 0 1 1 2 3 2 2 ) 2 ( 1 3! sin 1 sin 1 1 ˆ 0 0 0 a a a r e dr d d a e r drd d a e r a r r d a r a r a r s s = = = = = − − − 1 0 ! + − = n n r n r e dr 例1：试求氢原子1s态的平均半径 解： 注意：
③Φ方程的解 1 0(0) 2 d-dp +m=0 Φ(p)p2 这是一个常系数二阶齐次线性方程,它有两个复函数形式的独 立的特解: Φn=Aexp[im],m=±|m (n=Aexp[-im]和Φn=Aexp[md]) 常数A可由归一化条件求得: b0,4b=1→2ep-mpmb=1 →A 2丌 2021/1/21
2021/1/21 13 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 + = = − m d d m ( exp[ ] exp[ ]) exp[ ], | | A im A im A im m m m m m = − = = = 和 2 1 1 exp[ ]exp[ ] 1 2 0 2 2 0 = = − = A m m d A im im d ③ Φ方程的解 这是一个常系数二阶齐次线性方程，它有两个复函数形式的独 立的特解： 常数A可由归一化条件求得：
则:Φ explimg (1) √2丌 上式是Φ方程的复数形式,为了符合波函数的合格条件,Φn应 是v的单值函数。 由于v是循环坐标,在v变化一周后,Φn值应保持不变,即: ①n()=①n(+2) exp imp= exp[im((+2T)=exp[imp]exp[im2T] exp[lm2π]=1 根据 Euler公式:exp[im]= cos mo+ isin mo cosm2x+isnm2丌=1 故:m取值应为m=0,±1,±2,∴,代入方程(1) 2021/1/21
2021/1/21 14 exp[ ] (1) 2 1 m = im exp[ 2 ] 1 exp[ ] exp[ ( 2 )] exp[ ]exp[ 2 ] ( ) ( 2 ) = = + = = + im im im im im m m cos 2 sin 2 1 exp[ ] cos sin + = = + m i m im m i m 则： 上式是Φ方程的复数形式，为了符合波函数的合格条件，Φm 应 是ψ的单值函数。 由于ψ是循环坐标，在ψ变化一周后，Φm 值应保持不变，即： 根据Euler公式： 故：m 取值应为m=0 ，1，2，…….，代入方程（1）
explin Icos(mo)+isin(mo)l 2丌 2丌 expl-imgl=2r cos(m)+i sIn(-m 2丌 将它们进行线性组合得实函数解: 2C COS ±m C(m+①m) cos 2丌 i2D ①=D(①m-①n) sIne 根据归一化条件可求出:C=,D、1 2021/1/21 15
2021/1/21 15 exp[ ] [cos( ) sin( )] m = i m = m + i m 2 1 2 1 则： exp[ ] [cos( ) sin( )] −m = −i m = −m + i −m 2 1 2 1 将它们进行线性组合得实函数解： m i D D m C C m m m m m m ( ) sin ( ) cos sin cos 2 2 2 2 = − = = + = − − 根据归一化条件可求出： 2 1 2 1 i C = , D =