于外部原因而引起的运动。流体力学研究流体的平衡和运动,以及流体和固体的相互作用 而不研究流体分予的真实运动情况。因此,可以把流体看作是-种连续介质,即认为流体 完全充满它所占有的空间,而不形成任何空隙。这样,就可以把流体介质的力学特性,如 速度、压力和密度等看作是坐标和时间的函数。在解决流体力学的实际问题中,就可以应 用连续函数这门数学分析工具。把流体当作连续介质是合理的,因为分子与分子之间的平 均自由行程非常小,例如.空气在标准状态下,每一立方亳米的容积里含有2.7×101个 分子.分子间的平均自由行程仅有6×10厘米。同时研究流体运动的目的是要确定流体 的平均力学特性,而不是分子本身的特性。但在某些情况下,如在高空稀薄的空气中,由 于空气分子的平均自由行程很大,连续介质的假设就不适用了。 流动参数是说明流体运动特性的物理量。流体的运动速度C、加速度a、压力P和密 度P等都是流动参数。在同·时刻,各流体质点的速度可以是不同的,即速度c是空间坐 标x、y、z的函数。而且在同一空间点上,不同的时刻,流体质点的速度也可以是不同的, 即速度c也是时间t的函数。因流体是连续介质,故速度c是x、y、z和!的连续函数, 可表示为 C=c(x, y,z,t) (1-8) 或者写成速度分量的形式 c=c(x,y,2,扌) 式中cxc分别表示速度c在三个正交坐标方向的分量。 同样,压力p和密度ρ也是坐标x、y、2和时间t的函数,即 p=p(x, y,z, t) (1-9) pzp(x, y, 2, t) 式(1-8)和(1-9)反映了流动参数随空间坐标和时间而变化的关系。在给定的空间点上, 坐标x、y、2为常数,流动参数c、p和0是时间t的函数,即这些量是随时间而变化的。 这样的流体运动称为不稳定流动。 如果各空间点上的流动参数不随时间而变化,则这样的流体运动称为稳定流动,这时 =p(x,y,2) (1-10) 流体内部各空间点的速度、压力和密度的分布图形,分别称为速度场、压力场和密 度场 如果流体运动时,流动参数只是一个坐标和时间t的函数,则这种流体运动称为…元 不稳定流动。如果流动参数只是一个坐标的函数,而不随时间变化,则这种运动称为元 稳定流动。 如果位于某固定平面垂直线上的所有流体质点,都作平行于此固定平面的同样的运动, 则这种流体运动称为平面流动或二元流动。 气体在涡轮增压器中的流动是三元的不稳定流动,即流动参数随空间坐标x、y、z和
时间而变化 流体运动的加速度a是指流体质点的速度c在单位时间内的变化率,即 (1-11) 对于一元不稳定流动,设S代表流动方向的坐标,t为时间,则流动速度为 cs:c(S,t 当时间扌改变了dt,流体质点的位移为dS,则速度的变化就是 dea ac ds +.dc dt 因为 则式(1-12)变为 dc= dc cd+-d 将上式dc之值代入式(1-11)中,得 (1-13) 式(-13)右边第一项cs是流体质点位置的改变而引起的速度变化,称为位移加速 度,第二项是流体在固定的点上速度随时间的变化,称为当地加速度。 对于稳定流动 0 则一元稳定流动的加速度为 (1-14) §1-3流体运动的微分方程式 现在讨论理想可压缩流体在直角坐标系中运动的微分方程式。在某个给定的瞬间,从 运动着的流体中取出任一流体微团,其形状为微矩形,各边长度分别为dx、dy和d,如 图1-2所示。显然,当长度dx、dy、dz都趋近于零 时,则所取矩形体的极限就集屮为一点。 假如忽略重力的作用,对不计粘性的理想流体,其 作用在微元体上的外力则只有压力P。根据达朗伯原 理,压每一瞬间,作用在微元体上的外力应为惯性力所平 按照牛顿定律,惯性力是微元体的质量和加速度的 乘积。微元体的质量为 pdxdydz(其中P为密度),加速 度为a。加速度的三个分量为 d 惯性力的方向与加速度的方向相反,故惯性力的三个分 力为 图1-2推导运动微分方程用图
在x轴方向为 -dxd ydz 在y轴方向为 在z轴方向为 dxdvd 在理想流体中,压力与方向元关,因此通过同一点0的三个互相正交小面积上的压力 应桕等,即均等于P。其它三个微面积上的压力分别为 p p+21-d p 现分别写出x、y、z轴上的平衡方程。在x轴上为 p di dxdydz+pd yd2(+aa dx) ydz=o 化简后得 (1-154) 向理,在y轴上为 d (1-15b 在z轴上为 式(1-15a)、(1-15b)、(1-15c)是分量形式的运动微分方程组。如将上述式子 两边分别乘以x、y、z的单位向量J、,并将三个式子进行向量相加,则得到向量形 式的运动微分方程式 p grad p (1-16) 式中 Vp=-:+-了 p Vp是压力梯度( grad p),是一个向量。它的方向就是压力p在空间变化率最大的 方向 公式(1-15)和(1-16)被称为理想流体的欧拉运动微分方程式。它们既适用于不可压缩 流体,也适用于可压缩流体,其差别只在于密度是否变化上。若用于不可压缩流体,则 p为常数;而用可压缩流体(气休),则ρ是变数。 显然,对于理想流体一元稳定流动来说,速度、压力等均悬位置S的函数,则运动微 分方程为 dc a (1-17) dc ds d 故(1-17)式改写为
§1-4连续方程式 连续方程式是质量守恒定律的一种表达形式。在一元稳定流动中,连续方程说明,流 过通道各截面的重量流量是相等的。 为了筒明起见,我们考察一根流管,如图1-3所示。假定流动是稳定的,则流管的形 状不变。所以流动就和在真实管内完全一样。在 流管内取一微小流束,设其截面积分别为dF1和 dF2,两端的气流速度为c1和C,比重为Y1和Y2 根据物质守恒定律,单位时间内流过任一截面的 重量流量相等。不然的话,流管中这两截面之间 图t-3确定连方程用图 的气体质量势必不断增加,或者不断减少,这是与稳定流动的假定相违背的,因而是不可 于是流过截面的重量流量dG为 dG=y,c,dF,=YcdF. (1-18) 式(1-18)是微小流束的连续方程式。应注意,公式中速度和截面应是相互垂直的。 如果速度c和截面dF构成某一角度a,则在应用此公式时,应采用法向速度c= c sin a 来代替速度c。 对微小流束的连续方程(1-18)积分,就可得到整个流管的连续方程式,即 G Y,c,dF,= Y,C,dF, (1-19) 式中F1、F流管的两个截面积。 在一般情况下,气流速度和流通截面并不相互垂直,这时上式可改写为 Yc,,a 式中c1a=c:sina1,c2e=c2sina2 a1、a:—分别为气流速度c1、c:和截面F1、F的交角。 对于涡轮机或压气机的任意两流通截面,假定各截面上的气流参数均取平均值,则流 量连续方程式为 G=YCF,=Y2csaFt (1-21) 式中流量G的单位为公斤/秒,比重Y的单位为公斤/来3,速度c的单位为米/秒,面积单位 为米2。 §1-5能量守恒方程式 为了导出气体流过叶片机的能量守恒方程式,绘制了简图1-4。若!公斤气体的总能 量在截面1-1处以E、表示,在截而2-2处以E:表示。在截面1-1和截面2-2之间,1公 斤气体与外界交换的能量以E。表示。则根据能量守恒原理得 E,+Eon=Ea
1公斤气体的总能量包括内能T、动能和压力位能 (忽略位置势能) 因而 1公斤气体与外界交换的能量E。包括机c 械功Lm和热量Qa,即 Em=Low+Q。/A 因此,可写出能量守恒方程式 Q T,+ 图1-4导出能量守{方程用图 因为根据理想气体状态方程 P1=RT,, P2 -RT 定压比热c和定容比热c有下列关系 Cp=C,+AR 故能量守恒方程可改写为 Lm+gm=;-(7:-T)+R(T2-7,)+ (T-T1)+ c2-c2 式中L-1公斤气体与外界交换的机械功(公斤·米/公斤)。外界对气体作功取正号,气 体对外界作功取鱼号 Q--1公斤气体与外界交换的热量(千卡/公斤)外界对气体加热取正号,气体对 外界放热取鱼号; c——气体的定容比热千卡/公斤·度 c,——气体的定压比热千卡/公斤·度 T:、T2—分别为截面1-1和截面2-2处的气体绝对温度K R---气体常数公斤·来/公斤·度; A—-功热当量 千卡 427 分别为截面1-1和截面2-2处的气流速度米/种 p1、P2分别为截而1-1和截面2-2处的气体压力公斤/米 Y、Y:—分别为截面1-1和2-2处的气体比重公斤/米 因为气体的焓Ⅰ=cT,故 截面1-1处气体的始为l1=cT1 截面2-2处气体的为l2=cF72千卡/公斤 方程式(1-22)可表为另一种形式: