光照坐标系中歪斜角的计算 Y 令σL和τ分别为光照方向L的倾 斜角和歪斜角,则由L可定义一自然 光照坐标系S,其三个坐标轴为 X',Y,z',其中为光照方向L,A与 平面 L具有相同的歪斜角,为与垂直的 平面与图象平面的交线方向,如图54 所示。这里称平面为S平面,XY 平面为平面。 把表面上的小块区域近似为球状区 v平面 域,因此,当图象的辐照度变化时 用球面曲率特征来代替表面曲率特 图54图象坐标系与光照坐标系 征 考虑半径为R的球面,其方程为 z(x,y)=√R2-x2-y2,R>0,-R≤x,y≤R (5.11) 从而有 (5.12) T yR2-x2 其中
光照坐标系中歪斜角的计算 令sL 和t L 分别为光照方向 L 的倾 斜角和歪斜角，则由 L 可定义一自然 光照坐标系 S ，其三个坐标轴为 X ¢,Y¢,Z¢，其中Z¢ 为光照方向 L， X ¢ 与 L 具有相同的歪斜角，Y¢ 为与Z¢ 垂直的 平面与图象平面的交线方向，如图 5.4 所示。这里称X ¢Y¢ 平面为 - S 平面，XY 平面为V- 平面。 把表面上的小块区域近似为球状区 域，因此，当图象的辐照度变化时， 用球面曲率特征来代替表面曲率特 征。 考虑半径为 R 的球面，其方程为 Z (x, y) = R - x - y , R > 0,-R £ x, y £ R 2 2 2 (5.11) 从而有 ï ï î ï ï í ì = = - = = - - - 2 1 2 1 yT y Z Z xT x Z Z y x ¶ ¶ ¶ ¶ (5.12) 其中 T = R - x - y 2 2 2 。 X Y Z X' Y' Z' 平 面 平 面 V_ S_ 图5.4 图象坐标系与光照坐标系
又由于表面法向量N=(n,myn)在球坐标系中可表示为 R y (5.13) R R R 因此,对于 Lambert表面有 x/R(sin oL CoSTL I(x, y)=pN (=)=pl y/R -sin o, sint =P(xsin, COSTL-ysino sin TL R C/R COSOL (5.14) 从而 sino,cosτ,+ X Coso,T2 R (5.15) (- Sin g sinτ1+ yCOSOL T2) R 在上式中,若=0,则(n,1)代表了歪斜角的方向
又由于表面法向量N n n n x y z = ( , , ) 在球坐标系中可表示为 ï ï ï î ï ï ï í ì - - = = = = R R x y R z n R y n R x n z y x 2 2 2 (5.13) 因此，对于 Lambert 表面有 ( sin cos sin sin R = cos sin sin sin cos / / / ( , ) ( ) L L L L L L L L L x y z R y R x R I x y N z s t s t r s s t s t r r - - - ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - × ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = × - ¢ = (5.14) 从而 ï î ï í ì = - + × = - + × - - ( sin sin cos ) ( sin cos cos ) 2 1 2 1 y T R I x T R I y L L L x L L L s t s r s t s r (5.15) 在上式中，若sin = 0 s L ，则( , ) x y I I 代表了歪斜角的方向
COSO COST 定理5令 L cOSo SInT 则 arctan2是光照坐标系中表 SIn T 面法向量的歪斜角。 证明 sin t (sin o, coSt,+coso,. T 2)+cos, (sino, sinT,+ y coso, T 2) Coso, coSt,(sin o CoST,+coso, T 2)+coso, cost, (sino, sint, +ycoso T2) 1 x sint, coso,. T2+ yost, cOSo,. T 2 sIng cosτ1+ coS 0( X coso cost1·T2+ yCoSOL Sint·T2) xsint, +y CoStL sina1·72+coso(xcosτ+ysin1) (5.16) 又设表面法向量N=(n,n,n)在光照坐标系中为N=(mn,mn,mn),则有 nn COS OL COSTL COS OL SIn tL -sino nx N SIn L COST L nn sin OL COS TL SIn o SIn t COSOL/. 因此
定理5.1 令 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ y x L L L L L L y x I I II II t t s t s t sin cos cos cos cos sin ，则 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ x y II II arctan 是光照坐标系中表 面法向量的歪斜角。 证明： sin cos ( cos sin ) sin cos sin cos cos ( cos cos cos sin ) sin cos cos cos cos cos ( sin cos cos ) cos cos ( sin sin cos ) sin ( sin cos cos ) cos ( sin sin cos ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L x y T x y x y x T y T x T y T x T y T x T y T II II s s t t t t s t s s t s t t s t s s t s t s s t s t s t s t s t s t s - × + + - + = - + × + × - × + × = - + × + - + × - - + × + - + × = - - - - - - - - (5.16) 又设表面法向量 T x y z N = (n , n , n ) 在光照坐标系中为 T x y z N¢ = (nn , nn , nn ) ，则有 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ ¢ = z y x L L L L L L L L L L L L z y x n n n nn nn nn N s t s t s t t s t s t s sin cos sin sin cos sin cos 0 cos cos cos sin sin 因此
nnx - COSOL COSTL +Coso, sIntL R Sino1·T R nn Sinτ,+coST R R 而在光照坐标系中表面法向量的歪斜角表示为 xsin, t y COSOL nn sin o, cOSO (cost, +ysin o,)-T2sinOL nn 即 ,因此arnm"为光照坐标系中表面法向量的歪斜角 [证毕] 定理52令PQ为表面上的两个点,当且仅当在光照坐标系中P,Q之表面法向量相同时,P,C 生图象中具有相同的梯度方向
2 1 sin 1 cos cos cos sin - = + - ×T R R y R x nnx L L L L s L s t s t y L L R y R x nn = - sin t + cost 从而在光照坐标系中表面法向量的歪斜角表示为 L L L L L L L x y x y T x y nn nn s s t s s t s sin cos ( cos sin ) sin sin cos 2 1 - + - - + = (5.17) 即 x y x y nn nn II II = ，因此 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ x y II II arctan 为光照坐标系中表面法向量的歪斜角。 [证毕] 定理5.2 令P,Q为表面上的两个点，当且仅当在光照坐标系中P,Q之表面法向量相同时，P,Q 在图象中具有相同的梯度方向