Lec2:抽样分布 张伟平 2011年9月8日 1正态总体下样本均值和样本方差的分布 独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布： 定理1.设随机变量X1,…,Xn相互独立，且Xk心N(ak,o),k=1,…,n.c,c2,…,cn为 常数，记T=∑欢=1ckXk,则T~N(山，T2),其中μ=∑欢=1c以ak,r2=∑欢=1层2， 利用特征函数证明 利用多元正态的定义，可以有 定理2.设随机向量X~N(4,),A为p×p可逆矩阵，令Y=AX,则 Y~N(Au,AEA') 由正态分布随机变量的变换，可以得到新的分布随机变量： 定义1.设X1,X2,…,Xmi.i.d.~N(0,1),则称 =∑X9 i=1 是自由度为n的X变量，其分布称为自由度为n的X2分布，记为ξ~X品 的密度函数gn(x)为 g9n(x）= 2nn7万r/2-1e-/,x>0, 0 x≤0. 求密度方法：特征函数法，归纳法，元变换方法」 性质： (1)设r.v.飞~X品，则的c.f为p(t)=(1-2it)-; (2)r.v.的数学期望和方差分别为E()=n,D()=2n. (3)设Z1~X品，Z2~X品2，且Z和Z2独立，则Z1+Z2X品1+2 推广：非中心X分布
Lec2: ƒ©Ÿ ‹ï² 2011 c 9 8 F 1 oNe ˛ä⁄ ê ©Ÿ ’·ëÅC˛Ç5|‹E,—l©Ÿ: ½n 1. ëÅC˛X1, · · · , Xn Ép’·, ÖXk ∼ N(ak, σ2 k ), k = 1, · · · , n. c1, c2, · · · , cn è ~Í, PT = Pn k=1 ckXk, KT ∼ N(µ, τ 2 ),Ÿ•µ = Pn k=1 ckak, τ 2 = Pn k=1 c 2 kσ 2 k . |^AºÍy². |^ı½¬,å±k ½n 2. ëÅï˛X ∼ Np(µ, Σ), Aèp × på_› , -Y = AX, K Y ∼ N(Aµ, AΣA 0 ) d©ŸëÅC˛CÜ,å±#©ŸëÅC˛: ½¬ 1. X1, X2, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(0, 1),K° ξ = Xn i=1 X2 i ¥gd›ènχ 2C˛, Ÿ©Ÿ°ègd›ènχ 2©Ÿ, Pèξ ∼ χ 2 n . ξó›ºÍgn(x)è gn(x) = ( 1 2n/2Γ(n/2)x n/2−1 e −x/2 , x > 0, 0, x ≤ 0. ¶ó›ê{: AºÍ{,8B{,nCÜê{. 5ü: (1) r.v. ξ ∼ χ 2 n ,Kξc.f.èϕ(t) = (1 − 2it) − n 2 ; (2) r.v. ξÍÆœ"⁄ê ©OèE(ξ) = n, D(ξ) = 2n. (3) Z1 ∼ χ 2 n1 , Z2 ∼ χ 2 n2 ,ÖZ1⁄Z2’·, KZ1 + Z2 ∼ χ 2 n1+n2 . Ì2: ö•%χ 2©Ÿ 1
定义2.设随机变量X1,X2,·,Xn相互独立，X:心N(a,1),a:(i=1,·,n)不全为0.记Y= 三，剥种的分布为自由底”非中心参款为二 好的非中心X2分布，记为Y~X品。 1 特别当6=0时称为中心的X分布，即前面所述X分布 若Y~X品。，则其密度函数为 e-2/2 g(x) 言22阿e,>0, 0 x≤0 e-1p2@X2z,2i+m,x>0, 三0 (1.1) 0 x≤0. 此处X(x,2i+n)表示自由度为2i+n的X2密度函数. 非中心X2密度的计算方法： 令矩阵A为正交矩阵，其第一行元素为(a1/6…,an/).从而若Y=AX,则出=若∑1a:X:~ N(6,1) 非中心的X2变量具有下列性质： (1)若Y~X元.，则Y的c.f为(d)=(1-2it)-e器， (2)若Y~X元.：则E(Y)=n+2,D(Y)=2n+2, ③)若，相互独立，心X成i=1,2…,k则含心X2此处n=含 6=√++…+ 由正态分布和X分布可以构造一个t分布随机变量： 定义3.设r.u.X~N(0,1),Y~X品，且X和Y独立，则称 X T= VY/n 为自由为n的t变量，其分布称为由为n的t分布，记为T~tn 其密度函数为 tn()= () T()√n示 +) ,-00<x<00. (1.2) t变量具有下列的性质： (1)若r.v.T~tn,则E(T)只有当r<n(n>1)时存在，且 n岁r学) E(T (号)() 当r为偶数， 0 当r为奇数 特别当n≥2时，E(T)=0.当n≥3时，D(T)=22: (2)当n=1时t分布就是柯西分布，此时(1.2)变为 t1(z)= 1 π(1+x2)' -0<x<十∞ (3)当n→o时，t变量的极限分布为N(0,1): 非中心t分布： 2
½¬ 2. ëÅC˛X1, X2, · · · , XnÉp’·,Xi ∼ N(ai , 1), ai (i = 1, · · · , n)ÿ è0. PY = Pn i=1 X2 i , K°Y ©Ÿègd›n ö•%ÎÍèδ = s Pn i=1 a 2 iö•% χ 2©Ÿ , PèY ∼ χ 2 n,δ . AOδ = 0û°è•%χ 2©Ÿ, =c°§„χ 2 n©Ÿ. eY ∼ χ 2 n,δ,KŸó›ºÍè g(x) = e −δ 2/2 P∞ i=0 1 i! ( δ 2 2 ) i x i+n/2−1 2 i+n/2Γ(n/2+i) e −x/2 , x > 0, 0, x ≤ 0 = e −δ 2/2 P∞ i=0 (δ 2/2)i i! χ 2 (x, 2i + n), x > 0, 0, x ≤ 0. (1.1) d?χ 2 (x, 2i + n)L´gd›è2i + nχ 2ó›ºÍ. ö•%χ 2ó›Oéê{: -› Aè› ,Ÿ1ò1Éè(a1/δ, · · · , an/δ). l eY = AX,KY1 = 1 δ Pn i=1 aiXi ∼ N(δ, 1). ö•%χ 2C˛‰ke5üµ (1) eY ∼ χ 2 n,δ,KY c.f.èϕ(t) = (1 − 2it) − n 2 e iδ2t 1−2it , (2) eY ∼ χ 2 n,δ,KE(Y ) = n + δ 2 , D(Y ) = 2n + δ 2 , (3) eY1, · · · , YkÉp’·, Yi ∼ χ 2 ni,δi , i = 1, 2, · · · , k,K P k i=1 Yi ∼ χ 2 n,δ,d?n = P k i=1 ni , δ = p δ 2 1 + δ 2 2 + · · · + δ 2 k . d©Ÿ⁄χ 2©Ÿå±Eòát©ŸëÅC˛: ½¬ 3. r.v. X ∼ N(0, 1), Y ∼ χ 2 n , ÖX⁄Y ’·, K° T = X p Y /n ègdèntC˛, Ÿ©Ÿ°èdènt©Ÿ,PèT ∼ tn. Ÿó›ºÍè tn(x) = Γ( n+1 2 ) Γ( n 2 ) √ nπ 1 + x 2 n − n+1 2 , −∞ < x < ∞. (1.2) tC˛‰ke5üµ (1)er.v. T ∼ tn,KE(T r )êkr < n (n > 1)û3, Ö E(T r ) = n r 2 Γ( r+1 2 )Γ( n−r 2 ) Γ( n 2 )Γ( 1 2 ) , rèÛÍ, 0, rè¤Í. AOn ≥ 2û, E(T) = 0. n ≥ 3û, D(T) = n n−2 . (2)n = 1ût©Ÿ“¥Ö‹©Ÿ, dû(1.2)Cè t1(x) = 1 π(1 + x 2) , −∞ < x < +∞. (3)n → ∞û, tC˛4Å©ŸèN(0, 1). ö•%t©Ÿ: 2
定义4.设r.v.X~N(6,1),Y~X品，且X和Y独立，则称 √YIn 的分布服从自由度为n,非中心参数为6的非中心t分布，记为Z~tn,。.特别当t=0时的分布称为 中心的t分布，即前面所述的tn分布. 其密度函数为 nn/2 e-62/2 n6@=Vrn+)呼} =0 -0<x<0 (1.3) 密度函数(1.3)的推导方法也是利用求r..商的密度函数公式，经过较复杂的计算可求得. 非中心t分布的性质如下： (1)若Zn~tn,则Zn名N(6,1) (2)若Zn~tn,d,则有 B2)=(份)rY ）T() n≥2 D(Zn)= +-(}n2a n-2 X分布随机变量还可以构造F分布随机变量： 定义5.设r.U.X心X说，Y~X品，且X和Y独立，则称 F=X/m Y/n 为自由度分别是m和n的F变量，其分布称为由度分别是m和n的F分布，记为F~Fm,n 其密度函数为 I(mtn) fm,n(x）= 安式号m罗nx号-1(n+m)毕，x>0, (1.4) 0, 其它 F变量具有下列的性质： (1)若Z~Fm,n,则1/Z~Fn,m: (2)若Z心Fm.n,则对r>0有 B”=()》rI会t得，当<n T()r(受) 特别 E(X)= n-2:n>2. 3
½¬ 4. r.v. X ∼ N(δ, 1), Y ∼ χ 2 n , ÖX⁄Y ’·, K° Z = X p Y /n ©Ÿ—lgd›èn,ö•%ÎÍèδö•% t©Ÿ, PèZ ∼ tn,δ. AOt = 0û©Ÿ°è •%t©Ÿ,=c°§„tn©Ÿ. Ÿó›ºÍè tn,δ(x) = n n/2 √ πΓ(n/2) · e −δ 2/2 (n + x 2) n+1 2 X∞ i=0 Γ n + i + 1 2 (δx) i i! 2 n + x 2 i/2 , −∞ < x < ∞. (1.3) ó›ºÍ(1.3)Ìê{è¥|^¶r.v.˚ó›ºÍ˙™,²LE,Oéå¶. ö•% t©Ÿ5üXe: (1) eZn ∼ tn,δ, KZn L −→ N(δ, 1); (2) eZn ∼ tn,δ,Kk E(Zn) = δ n 2 1 2 Γ( n−1 2 ) Γ( n 2 ) , n ≥ 2; D(Zn) = n(1 + δ 2 ) n − 2 − δ 2n 2 Γ( n−1 2 ) Γ( n 2 ) 2 , n ≥ 3. χ 2©ŸëÅC˛Ñå±EF©ŸëÅC˛: ½¬ 5. r.v. X ∼ χ 2 m, Y ∼ χ 2 n ,ÖX⁄Y ’·,K° F = X/m Y /n ègd›©O¥m⁄nFC˛ßŸ©Ÿ°èd›©O¥m⁄nF©Ÿ, PèF ∼ Fm,n. Ÿó›ºÍè fm,n(x) = Γ( m+n 2 ) Γ( n 2 )Γ( m 2 )m m 2 n n 2 x m 2 −1 (n + mx) − m+n 2 , x > 0, 0, Ÿß. (1.4) FC˛‰ke5üµ (1) eZ ∼ Fm,n,K1/Z ∼ Fn,m. (2) eZ ∼ Fm,n,KÈr > 0k E(Xr ) = n m r Γ( m 2 + r)Γ( n 2 − r) Γ( n 2 )Γ( m 2 ) , 2r < n. AO E(X) = n n − 2 , n > 2. 3
D()- m2(m+n-2) (n-2)n-4,n>4 (3)若T心tn,则T2心Fin (4Fm,n(1-a）=1/Fn,m(a) 非中心F分布 定义6.设r..X~X品，Y~X后，且X和Y独立，则 Z=X/m Y/n 的分布称为自由度为m,n和非中心参数为6的非中心F分布，记为Z~Fm,n6.当6=0时，称Z的 分布为中心的F分布，即前面定义的Fm,n 若ZFm,n:d,则Z的密度函数为 「mn豐e-号x号-1月(r(坐+ 「（受） fm.n:6(c)= or(婴+mr+m)字学+，工>0， (1.5) 0, 其它 非中心F分布具有下列性质： (1)若X~tn,则X2心E,m6 (2)若乙n~Fmnd,n=1,2,…,6固定，则当n→0o时Zn名X品d (3)若Z~Fm,nd,则 (Z)=0鹄，对n>2. 2n2 D(Z)=mmm-l(m+62)2+(m-2m+262儿，n>4. 1.1正态总体下样本均值和样本方差的分布 对正态总体，我们有 定理3.设X1,X2,…,Xni.i.d.~N(a,o2),则 含()品 此处我们给出一个利用特征函数的证明方法 Proof.做变换：Y=,Y2=X2,·,Yn=Xn,因此由 E1=n1一2一··一yn 工2=2 In =Yn 以及 4
D(X) = 2n 2 (m + n − 2) m(n − 2)(n − 4), n > 4. (3) eT ∼ tn,KT 2 ∼ F1,n (4) Fm,n(1 − α) = 1/Fn,m(α) ö•%F©Ÿ ½¬ 6. r.v. X ∼ χ 2 m,δ, Y ∼ χ 2 n , ÖX⁄Y ’·, K Z = X/m Y /n ©Ÿ°ègd›èm, n⁄ö•%ÎÍèδö•% F©Ÿ, PèZ ∼ Fm,n;δ. δ = 0û, °Z ©Ÿè•%F©Ÿ,=c°½¬Fm,n. eZ ∼ Fm,n;δ, KZó›ºÍè fm,n;δ(x) = m n 2 n m2 Γ( n 2 ) e − δ 2 2 x m 2 −1 P∞ k=0 ( δ 2mx 2 ) kΓ( m+n 2 +k) k! Γ( m 2 +k)(mx+n) m+n 2 +k , x > 0, 0, Ÿß. (1.5) ö•% F©Ÿ‰ke5üµ (1)eX ∼ tn,δ, KX2 ∼ F1,n;δ. (2)eZn ∼ Fm,n;δ, n = 1, 2, · · · , δ½, Kn → ∞ûZn L −→ X2 m,δ. (3)eZ ∼ Fm,n;δ,K E(Z) = n(m+δ) m(n−2) , Èn > 2. D(Z) = 2n 2 m2(n−2)2(n−4) [(m + δ 2 ) 2 + (n − 2)(m + 2δ 2 )], n > 4. 1.1 oNe ˛ä⁄ ê ©Ÿ ÈoN, ·Çk ½n 3. X1, X2, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(a, σ2 ), K Pn i=1 Xi−a σ 2 ∼ χ 2 n . d?·Çâ—òá|^AºÍy²ê{. Proof. âCÜ: Y1 = X, Y ¯ 2 = X2, · · · , Yn = Xn, œdd x1 = ny1 − y2 − · · · − yn x2 = y2 . . . xn = yn ±9 4
-a--那+ne-r 可以得到Yi,…,Y的联合密度为 f(v;...,Un)=n(2m02)-nP2exp n1-2--n-n2_∑2（斯-h2_n-2 2o2 2σ2 2σ2 则由前已知，Yi~N(a,o2/n),因此，…，n在给定h的条件密度为 V元(2ro2)-(n-1/2ezp(-g/2a2) 其中q=(n1-2-…-n-1)2+∑2(-h)2. 注意到 m-1)s2=∑(x:-x2=(x---yn-y2+∑（出-y)2=Q 因此(n-1)S2在给定Y1=功的条件特征函数为 Eeuo1rm）=∫…Va2o2)a-em-1-2ija/2a2g…dwr exp{-(1-2it)q/202dy2...dyn =(1-2it)-n-1)/2 此即(n-1)S2/a2~X品-1·而且此条件分布和Y无关，因此S2和Y1相互独立. 口 定理4.设X1,X2,…,Xmii.d.~N(a,σ2)，则 T=X-@心n- 定理5.设X1,X2,…,Xmii.d.N(a1,o),Y,,…,Ynii.d.~N(a2,o),且假定o1= o吃=o2,合样本X1,X2,…,Xm与Y,Y2,…,Yn相互独立，则 T=--@1-2 mn(n+m-2) Su n+m 心tn+m-2 此处(n+m-2)S2=(m-1)S脱+(m-1)S经，此处 =艺x-职9=名- 定理6.设X1,X2,…,Xmii.d.~N(a1,),Yi,Y2,…,Yni.i.d.~N(a2,o),且合样本X1,X2,…,Xm和Yi,,…,Yn村 互独立，则 此处S和S号定义如前所述. 定理7.设X1,X2,…,Xmi.d.服从指数分布：f(c,)=入eAr>,则有 2An=2Xi~xn i= 5
Xn i=1 (xi − a) 2 = Xn 1 (xi − x¯) 2 + n(¯x − a) 2 å±Y1, · · · , YnÈ‹ó›è f(y1, · · · , yn) = n(2πσ2 ) −n/2 exp − (ny1 − y2 − · · · − yn − y1) 2 2σ 2 − Pn 2 (yi − y1) 2 2σ 2 − n(y1 − a) 2 2σ 2 KdcÆ, Y1 ∼ N(a, σ2/n), œdy2, · · · , yn3â½y1^áó›è √ n(2πσ2 ) −(n−1)/2 exp(−q/2σ 2 ) Ÿ•q = (ny1 − y2 − · · · − yn − y1) 2 + Pn 2 (yi − y1) 2 . 5ø (n − 1)S 2 = Xn 1 (Xi − X¯) 2 = (nY1 − Y2 − · · · − Yn − Y1) 2 + Xn 2 (Yi − Y1) 2 = Q œd(n − 1)S 23â½Y1 = y1^áAºÍè E(e itQ/σ2 |y1) = Z · · · Z √ n(2πσ2 ) −(n−1)/2 exp(−(1 − 2it)q/2σ 2 )dy2 · · · dyn = (1 − 2it) −(n−1)/2 Z · · · Z √ n 1 − 2it 2πσ2 (n−1)/2 exp{−(1 − 2it)q/2σ 2 }dy2 · · · dyn = (1 − 2it) −(n−1)/2 d=(n − 1)S 2/σ2 ∼ χ 2 n−1 . Öd^á©Ÿ⁄Y1Ã', œdS 2 ⁄Y1Ép’·. ½n 4. X1, X2, · · · , Xn i.i.d. ∼ N(a, σ2 ), K T = √ n(X¯ − a) S ∼ tn−1. ½n 5. X1, X2, · · · , Xm i.i.d. ∼ N(a1, σ2 1 ), Y1, Y2, · · · , Yn i.i.d. ∼ N(a2, σ2 2 ),Öb½σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2 , ‹ X1, X2, · · · , Xm ÜY1, Y2, · · · , YnÉp’·, K T = (X¯ − Y¯ ) − (a1 − a2) Sw · r mn(n + m − 2) n + m ∼ tn+m−2, d?(n + m − 2)S 2 w = (m − 1)S 2 1 + (n − 1)S 2 2 , d? S 2 1 = 1 m − 1 Xm i=1 (Xi − X¯) 2 , S2 2 = 1 n − 1 Xn j=1 (yj − Y¯ ) 2 . ½n 6. X1, X2, · · · , Xm i.i.d. ∼ N(a1, σ2 1 ), Y1, Y2, · · · , Yn i.i.d. ∼ N(a2, σ2 2 ), Ö‹ X1, X2, · · · , Xm⁄Y1, Y2, · · · , YnÉ p’·, K F = S 2 1 S 2 2 · σ 2 2 σ 2 1 ∼ Fm−1,n−1, d?S 2 1⁄S 2 2½¬Xc§„. ½n 7. X1, X2, · · · , Xn i.i.d.—lçÍ©Ÿ: f(x, λ) = λe−λxI[x>0], Kk 2λnX¯ = 2λ Xn i=1 Xi ∼ χ 2 2n . 5