命题3.18设N向量为m′的点由N向量为m的点经旋转变换而得到,则旋转轴的单位 矢量l,以及按右手螺旋方向的旋转角度θ由下式决定 1=Mxml l0=cos"(m, m) (3.43) 证明:上式中的与m、m正交,{mm构成右手系(如图323),m按右螺旋方向 旋转θ(以为轴)得到映射为m,于是θ=cos(m,m) [证毕 定理314绕单位矢量l=(l2)为轴,按右手螺旋方向旋转角为的旋转的变换 矩阵R由下式给定 coS0+/ (1-cos0) 4 7,(1-cos0)-1 sin 0 77(1-cos0)+l, sin 0 R=L4 (1-cos0)+L, sine cos0+12(1-cos])I,(1-cos 0 )-4, sin 0 (3.44 4,7(1-cos0)-L sin 8 17, (1-cos0+l g coS0+1(1-cos0)
命题3.18 设N向量为m' 的点由N向量为m的点经旋转变换而得到，则旋转轴的单位 矢量l，以及按右手螺旋方向的旋转角度q由下式决定 [ ] î í ì = = ´ - cos ( , ') ' 1 m m l N m m q (3.43) 证明：上式中的l与m、m' 正交，{m m' l}构成右手系(如图3.23)，m按右螺旋方向 旋转q(以l为轴)得到映射为m'，于是 cos ( , ') 1 m m - q = 。 [证毕] 定理3.14 绕单位矢量 ( ) t l l l l = 1 2 3 为轴，按右手螺旋方向旋转角为q 的旋转的变换 矩阵R由下式给定 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - - + + - - + + - - - + - - - - + = (1 cos ) sin (1 cos ) sin cos (1 cos ) (1 cos ) sin cos (1 cos ) (1 cos ) sin cos (1 cos ) (1 cos ) sin (1 cos ) sin 2 1 3 2 2 3 1 3 2 3 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 3 2 2 1 q q q q q q q q q q q q q q q q q q ll l l l l l l l l l l l l l ll l l l l R (3.44)
P 证明:如图324所示,旋转的点从P移到P,点P在旋Q 转轴l上的正投影为Q,则OP=OP,QP=QP且 OQQP,OQ⊥QP,令OP=r,OP=r,P在QP上 的垂足为H,则 r=00+0H+ HP (345 而矢量OQ为矢量r在单位矢量l方向上的正投影,因 此 图3.24单位矢量l为 00=(r, 7/ (346) 轴、角度为θ的旋转 同样矢量QH为QP在P方向上的正投影,由P=P,因而有 OH OP OP'cos0=QPcos0=(OP-OO)cos0=(r-(r, D /)cose (347) OP 另一方面,矢量P与和均正交,长度为OPn0,又由OP=QP=×川有 1×r HP xrop'sine=/xrsin 348)
Q l P' H P q r r' 图 3.24 单位矢量 l 为 轴、角度为q的旋转 证明：如图3.24所示，旋转的点从P移到P' ，点P在旋 转轴 l上的正投影为Q ， 则OP = OP¢ ，QP = QP¢ 且 OQ^QP，OQ^QP¢，令OP = r ® ，OP¢ = r ® ，P' 在QP上 的垂足为H，则 ® ® ® r'= OQ+ QH + HP¢ (3.45) 而矢量 ® OQ 为矢量 r 在单位矢量 l 方向上的正投影，因 此 OQ = (r,l)l ® (3.46) 同样矢量QH ® 为QP¢ ® 在QP ® 方向上的正投影，由于QP = QP¢ ，因而有 QP cosq QPcosq (OP OQ)cosq (r (r,l)l)cosq QP QP QH = ¢ = = - = - ® ® ® ® ® (3.47) 另一方面，矢量 ® HP¢ 与l和r均正交，长度为OP¢sinq ，又由QP¢ = QP = l ´ r 有 QP sinq l rsinq l r l r HP ¢ = ´ ´ ´ ¢ = ® 3.48)
将(346)(3.47)和(348)式代入(345)式后有 r'=rose+lxrsin0+(1-cosO(r, /)u 整理为r′=Rr的形式既得(344)式 [证毕] 在计算旋转矩阵时除了上面的方法外,一般更关心各种鲁棒性算法,但由于实 际处理中一般很少只有单纯的旋转,而是旋转与平移的结合
将(3.46),(3.47)和(3.48)式代入(3.45)式后有 r'= r cosq + l ´ rsinq + (1- cosq)(r,l)l 整理为r¢ = Rr 的形式既得(3.44)式。 [证毕] 在计算旋转矩阵时除了上面的方法外，一般更关心各种鲁棒性算法，但由于实 际处理中一般很少只有单纯的旋转，而是旋转与平移的结合