电磁场与电磁波理论 第4章恒定电场与恒定磁场 §41、§42恒定电场、恒定磁场的基本方程和边界条 件 本章与前面几章相比,该两节基本上没有新的内容。以麦克斯韦方程组为出 发点,考虑到场量与时间无关,可以对恒定电场和恒定磁场分别写出相应的基本 方程和边界条件如下。 V×E=0 E=E 恒定电场 V·J=0 J=gE 边界上没有传导电流时 V×H=0 en×(H1-H2) 恒定磁场V·B=0 en(B,-B,)=0 B=B B=uh
电磁场与电磁波理论 第4章 恒定电场与恒定磁场 §4.1、 §4.2 恒定电场、恒定磁场的基本方程和边界条 件 本章与前面几章相比，该两节基本上没有新的内容。以麦克斯韦方程组为出 发点，考虑到场量与时间无关，可以对恒定电场和恒定磁场分别写出相应的基本 方程和边界条件如下。 恒定电场 恒定磁场 J E J E = = = 0 0 n n t t 1 2 1 2 J J E E = = B H B H = = = 0 0 ( ) 0 ( ) − = − = n 1 2 n 1 2 e B B e H H JS 边界上没有传导电流时 n n t t 1 2 1 2 B B H H = =
将恒定电场的方程组与静电场的方程组加以比较,可见在这里除开将J取代 了静电场中D的位置外其余相同。可以用与求解静电场相同的方法求解恒定电 场,还可利用J=σE将电流密度求出来。甚至可以借用静电场中的一些结果直接 得出恒定电场。例4.1.1是这方面的一个很好的例题。下面讨论一个较特殊的恒定 磁场问题一一用磁镜法求解无限长载流直导线的磁场强度。 例4.2.1在理想导磁体平面上方放置一根与之平行的无限长直载流导线,导 线与平面的距离为b,导线电流为恒定的Ⅰ,试求导磁平面上方的磁场强度。 说明:所谓理想导磁体是指磁导率μ为无限大的煤质,理想导磁体中的磁 场强度为零,否则,由B=μH可知,在理想导磁体中将存在无限大的磁感应强 度,这是不现实的。所以只能近似认为理想导磁体中的磁场为零。有的书上称理想 导磁平面为磁镜。 解:类似静电场中的镜像法,在导磁平面下方的镜像位置上放置一根与原线 电流Ⅰ相平行的恒定电流P,希望用该镜像电流取代导磁平面,等效地计算导 磁平面上方的磁场强度。 用磁镜法解题的关键是找岀镜像电流的大小,方向,放置位置。使原电流和 镜像电流产生的合磁场强度满足理想导磁体的表面的边界条件,即在导磁体平面上 合磁场强度的切向分量为零
将恒定电场的方程组与静电场的方程组加以比较，可见在这里 除开将 J 取代 了静电场中 D 的位置外其余相同。可以用与求解静电场相同的方法求解恒定电 场，还可利用J = σE 将电流密度求出来。甚至可以借用静电场中的一些结果直接 得出恒定电场。例 4.1.1是这方面的一个很好的例题。下面讨论一个较特殊的恒定 磁场问题－－用磁镜法求解无限长载流直导线的磁场强度。 例 4.2.1 在理想导磁体平面上方放置一根与之平行的无限长直载流导线，导 线与平面的距离为 h， 导线电流为恒定的 I ，试求导磁平面上方的磁场强度。 说明：所谓理想导磁体是指磁导率 μ 为无限大的煤质，理想导磁体中的磁 场强度为零，否则，由B = μH 可知，在理想导磁体中将存在无限大的磁感应强 度，这是不现实的。所以只能近似认为理想导磁体中的磁场为零。有的书上称理想 导磁平面为磁镜。 解：类似静电场中的镜像法，在导磁平面下方的镜像位置上放置一根与原线 电流 I 相平行的恒定电流 I’ , 希望用该镜像电流取代导磁平面，等效地计算导 磁平面上方的磁场强度。 用磁镜法解题的关键是找出镜像电流的大小，方向，放置位置。使原电流和 镜像电流产生的合磁场强度满足理想导磁体的表面的边界条件，即在导磁体平面上 合磁场强度的切向分量为零
在导磁平面上方任取一点P(x,y),根据介质中的安培环路定理,则原电流Ⅰ和镜 像电流在P点建立的合磁场强度为 2xR2πR (4.2.9) 式中R和R分别表示原电流和镜像电流与P点的距离(见图4.2.2);ep和ep 分别表示环绕原电流和镜像电流方向上的单位矢量。当P点取在导磁平面上时,为 了确保边界条件得到满足,即导磁平面上合成磁场强度切向分量为零,必有 对于任意点有 ex sin p +ey cos=-exrtey r ex sin p +ey cosp=-e y+ x R R R R=√x2+(y-h P(x,0) R 将上述诸式带入(4.2.9)式,可以求得任意 点P(x,y)的合磁场强度为 图4.2.2
在导磁平面上方任取一点P (x, y), 根据介质中的安培环路定理，则原电流I 和镜 像电流I’ 在P 点建立的合磁场强度为 式中R 和 R’ 分别表示原电流和镜像电流与 P 点的距离（见图4.2.2）； 和 分别表示环绕原电流和镜像电流方向上的单位矢量。当P 点取在导磁平面上时，为 了确保边界条件得到满足，即导磁平面上合成磁场强度切向分量为零，必有 I ＝ I’ 对于任意点有 将上述诸式带入（4.2.9）式，可以求得任意 点P (x, y)的合磁场强度为
2n-e2(y二h +h R R RR t h (y-h)2"x2+(y+h) +(y+h) 若P点取在导磁平面上,即y=0,得出 H=e(x2+h2) §43恒定电流磁场的矢位 磁感应强 度矢量是 恒定电流产生的磁场满足的方程是 个无散 fH().dl=J().ds=VxH( 场,一个 无散矢量 手B()ds=0-yBG) 场可以表 为某个 引入矢量函数(),磁感应强度可表示为|5量函数 B()=V×4() 称矢量函数A为磁矢位
§4.3 恒定电流磁场的矢位 恒定电流产生的磁场满足的方程是： 引入矢量函数 ，磁感应强度可表示为 称矢量函数 为磁矢位。 H(r) l = J(r) s H(r) = J(r) d d L s ( )d = 0 ( ) = 0 B r s B r s B(r) = A(r) A(r) A(r) 磁感应强 度矢量是 一个无散 场，一个 无散矢量 场可以表 示为某个 矢量函数 的旋度
如果要唯一地确定A,在矢量磁位的完整定义中还必须给出这一矢量的散度.原则上 讲,矢量A的散度可以任意给定,但为了简单起见,我们规定A的散度等于零,即 V·A=0 (4.3.3) 人们常常将上式称为库仑亲件或库仑规范 2.矢量磁位的积分表示式 当已知导体V内的体电流密度J时,它所建立的磁感应强度B可通过(22.32)式所示 的比奥-沙伐定律给出 B(r) J(r)x(r-rdy (4.3.4) 将例1.3.2所得出的下列结果 Ir-rT 代入(43.4)式,得出 B(r)=4m r-rTXJ'r')dv (4.3.5) 依(1.5,11)式所示的矢量恒等式 V×(uA)=aV×A+V×A (4.3.5)式成为
矢量磁位的积分表达式