证明：（山）A≠0，利用 ') （A 0 (1.1) 0 A221 两边同时取行列式即可. 6
6 (1.1) 0 0 0 0 : (1) 0 22 1 11 12 1 11 21 22 11 12 1 21 11 11 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ≠ ⋅ − − A A I I A A A A A A A A I I 证明 A ，利用 两边同时取行列式即可
(2)A2≠0，利用 ,X, I 0 .0 I A112 0 (1.2) .0 A22 两边同时取行列式即可. 7
7 (1.2) 0 0 0 0 (2) 0 22 11 2 21 1 21 22 22 11 12 1 12 22 22 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ≠ ⋅ − − A A A A I I A A A A I I A A A ，利用 两边同时取行列式即可
性质4 若A为可逆方阵，A,和A2均为方阵 (1)若A≠0，则 -A+AA4,A4-A44 -4z44n A (2)若A2≠0，则 A1= A12 -A2A2A站 气-A分A1A2A分+A2A1A品2A2A分 8
8 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − + − = ≠ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − + − = ≠ − − ⋅ − − − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − − − 1 12 22 1 21 11 2 1 22 1 22 1 21 11 2 1 22 1 12 22 1 11 2 1 11 2 1 22 1 22 1 1 21 11 1 22 1 1 12 22 1 1 11 1 21 11 1 12 22 1 1 11 1 11 1 11 11 22 (2) 0 (1) 0 A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 若 ，则 若 ，则 若 为可逆方阵， 和 均为方阵 性质4
性质4（续） (③)若A≠0，A2≠0，则 42 -A量A2A2, A-1= -A2A21A2A2 9
9 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − − = ≠ ≠ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − 1 22 1 1 21 11 2 1 22 1 12 22 1 1 11 1 11 2 1 11 22 (3) 0 0 A A A A A A A A A 若 A ，A ，则 性质4（续）
证明：(1)对(1.1)式两边求逆 日a肥e- A A （A -北，*4发 Au+Au An4z4a4u AzAAu A 10
10 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + − = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⇒ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − − ⋅ − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − − − − ⋅ − − − − ⋅ − − − − − − 1 22 1 1 21 11 1 22 1 1 12 22 1 1 11 1 21 11 1 12 22 1 1 11 1 11 1 21 11 1 22 1 1 12 11 1 11 1 21 22 11 12 1 22 1 1 11 1 1 21 11 1 21 22 11 12 1 12 1 11 0 0 0 0 0 0 0 0 A A A A A A A A A A A A A A A I I A A I I A A A A A A A A A A I I A A A A I I A A 证明: (1)对(1.1)式两边求逆