因此，我们应当要求 ()对于玻色子有 h(q1,…,9,…,5,…,9N）=(91,…,9,…,9,,9N月 (31) (2)对于费米子有 (q1,…,g,…,,…,qv）=-(q1,…,g,…,9,…,qN) (32) 成立。 在可以将粒子之间的相互作用作为微扰处理的情况下，一个多体体系的本 征波函数(1，…，，…，，…，9)可以按照单粒子波函数的乘积做展开。既 (1)对于玻色子，我们可以定义 h(q1,…,9,…,9,…,9N）=%1kx(91,…,9,…,,…,9N） =D∑P(s(g）…9sx(gw》=D∑P.(（gr）…pkx(qP）.(3) 这里，记号印和的分别代表对于全部的置换和给出不同的项的置换类的 求和。而相应地，D和D分别为全部展开式和合并同类项后的展开式的归 一化常数。 (2)对于费米子，我们可以定义 (91,…,9,…,9…,9N）=%kx(91,,9,…,9,,9N） =D∑(-1)PP(9g）小…p%x(9v月 =D∑(-1)Ppa(pa)…pw(qrw） (34) 在此波函数中，我们要求每一个态指标仅出现一次。因此，展开式中的项两 两不同.归一化系数没有D与D的区别. 在说明这些定义和要求的合理性之前，让我们看一个具体的例子。 6
,iw.t , (1) 4O?`1 ψl(q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) = ψl(q1, · · · , qj , · · · , qi , · · · , qN ); (31) (2) 4`1 ψl(q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) = −ψl(q1, · · · , qj , · · · , qi , · · · , qN ) (32) `y ?l'Pz`RLy5h/hrp6fuy)r~#gg|yB MQ,Y ψl(q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) l';Gqz`Q,Yya?gBhF (1) 4O?`wl'+ ψl(q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) = ψk1,······,kN (q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) = D X Pˆ Pˆ (ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )) = DfX {Pˆ} ϕk1 qP(1) · · · · · ·ϕkN qP(N) . (33) IvE- ΣPˆ . Σ{Pˆ} MpL41TyY9. dRjyyY9ty ,. .| D . Df Mr1TBhN.0Njt4yBhNy) #6[Y (2) 4`wl'+ ψl(q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) = ψk1,······,kN (q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) = D X Pˆ (−1)Pˆ Pˆ (ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )) = D X Pˆ (−1)Pˆ ϕk1 qP(1) · · · · · ·ϕkN qP(N) . (34) ?iQ,YZw ,Æ#bUK\d#j,iBhNZy} }Rj)#6|Y 1 D 6 Df y-M ?[I +. ,y0uR&5wi#dgyx` 6
例13：假设有三个全同玻积子，而仅有两个态和应。我们考虑下费两 个可能的态k(m,如，)和(，9，)。按照定义，我们有 p2k1,k(q1,q2,3) Di(9)o(2)(93)+(92)(93)()+(93)om()(92) +Pk1(92)Pk(91)Pk2(93)+P1(g1)Pk(9s)P2(92）+Pk(9s)p(（2)Pz(91] =D【pk(gn)pk(2)p(g)+pk(q2)pk(qs)p(q1）+pk(9s)pk(q)pz(92】.(35) 同理，我们有 122(91,92,93) -Da[pL(Q)p(q)(Q)+(Q)p()p(q)+()()()-(36) 显后，对于这两个函数，任意对换其中一对坐标，函数值并不改变。其次， 由于(2h1,2)≠(1,22)，我们可以证明这两个函数正交。实际上，我们有 dq1dq2d4g21k(91,92,9s)w1,22(9h,92,9s） =dadgadgs DiD2 ×P(q1)p,(92)p(9s)+P(2)p,(9s)p(q)+p克(s)P(q1)P(q2】 ×【Pa(9m)Pa(92)Pa(9s)+p(2)pa(9s)P(g1)+P(9s)pa(q1)Pa(9】.(37) 乘开后，一共有9项。我们和其中第一项来看，有 dandgadas((2((() （d4,(p(g)（dq%,(Jpz(q2)）（d9gi,(9s)pa(s)）.(38 由于第二个因子况零，导致整个乘积况零。同理，我们可证，其余的项也况 零。这是由于，当两个态的单粒子态量子数不相同时，总可以找到一个坐标 g,使得(g)与Pa(g)具有不同的量子数a和B。因此，积分值 a(qi)pB(qi)dq:=0. (39) 7
1.3: JD1>1jO?` \1}b k1 . k2 wj~} l yb ψ2k1,k2 (q1, q2, q3) . ψ2k1,k2 (q1, q2, q3) ;G+w1 ψ2k1,k2 (q1, q2, q3) = D1 [ϕk1 (q1)ϕk1 (q2)ϕk2 (q3) + ϕk1 (q2)ϕk1 (q3)ϕk2 (q1) + ϕk1 (q3)ϕk1 (q1)ϕk2 (q2) + ϕk1 (q2)ϕk1 (q1)ϕk2 (q3) + ϕk1 (q1)ϕk1 (q3)ϕk2 (q2) + ϕk1 (q3)ϕk1 (q2)ϕk2 (q1)] = Df1 [ϕk1 (q1)ϕk1 (q2)ϕk2 (q3) + ϕk1 (q2)ϕk1 (q3)ϕk2 (q1) + ϕk1 (q3)ϕk1 (q1)ϕk2 (q2)] .(35) juw1 ψk1,2k2 (q1, q2, q3) = Df2 [ϕk1 (q1)ϕk2 (q2)ϕk2 (q3) + ϕk1 (q2)ϕk2 (q3)ϕk2 (q1) + ϕk1 (q3)ϕk2 (q1)ϕk2 (q2)] .(36) 44I},Y8*9"Z#iK,YTNRI"j 04 (2k1, k2) 6= (k1, 2k2) wl'PI},YORKGw1 Z dq1dq2dq3 ψ ∗ 2k1,k2 (q1, q2, q3)ψk1,2k2 (q1, q2, q3) = Z dq1dq2dq3 Df∗ 1Df2 × h ϕ ∗ k1 (q1)ϕ ∗ k1 (q2)ϕ ∗ k2 (q3) + ϕ ∗ k1 (q2)ϕ ∗ k1 (q3)ϕ ∗ k2 (q1) + ϕ ∗ k1 (q3)ϕ ∗ k1 (q1)ϕ ∗ k2 (q2) i × [ϕk1 (q1)ϕk2 (q2)ϕk2 (q3) + ϕk1 (q2)ϕk2 (q3)ϕk2 (q1) + ϕk1 (q3)ϕk2 (q1)ϕk2 (q2)] . (37) ah4#"1 9 w."Z}#si1 Z dq1dq2dq3 ϕ ∗ k1 (q1)ϕ ∗ k1 (q2)ϕ ∗ k2 (q3)ϕk1 (q1)ϕk2 (q2)ϕk2 (q3) = Z dq1 ϕ ∗ k1 (q1)ϕk1 (q1) Z dq2 ϕ ∗ k1 (q2)ϕk2 (q2) Z dq3 ϕ ∗ k2 (q3)ϕk2 (q3) . (38) 04} ,`ruXNa?rjuwlP"5y!r IR04t}byqz`b~`YRjIbl'Fv#iK qi Mx ϕ ∗ α (qi) 6 ϕβ(qi) d1Rjy~`Y α . β ,i?T Z ϕ ∗ α (qi)ϕβ(qi)dqi = 0. (39) 7
定积，我们计算归一与常数D1应D2定合归一与条正 1=dg1dg2d4gv21k,(q1,92,9g)2k1k（(q,92,9g） =DP(dmdgdqsi(n)i()i,(.(() +dadgadgs pi (q2)i (qs)pi()()()() +dndqdq i()i(pi(() =3D2, (40) 我们得具D=六定次理可将，D2=方定 从上面的计算中，我们坐到 (1)2k1(91,92,3)中的每一对仅化自身内在为1，而化其乘对的内在做为 零定时不一个普假的规律定 (②)归一与常数D,=方可以仅们被写开 D,=2T=,g 41 时不普假成立的定例如，我们也全 元=ngV顶1 Vm=3=3 (42) 定积，让我们来能子玻色子基底波因数的一般表达并 k1kx(q1,…,qN）=D∑Po(q)小…p%w(qw月 =D∑P[pk(q)…PkN(qN月 (43) 创 当我们显换看标：化9，粒后项波因数做一个项换（亿，），即 (（,j》心g1,kw(91,…,,…,9,·,9N) =1…kx(1,…,,…,9,…,9N) =D∑(i,)P(Pk(q1)…Pkw(qN) (44) 8
?wD_)#6[Y Df1 . Df2 0)#6hO 1 = Z dq1dq2dq3 ψ ∗ 2k1,k2 (q1, q2, q3)ψ2k1,k2 (q1, q2, q3) = |Df1| 2 Z dq1dq2dq3 ϕ ∗ k1 (q1)ϕ ∗ k1 (q2)ϕ ∗ k2 (q3)ϕk1 (q1)ϕk1 (q2)ϕk2 (q3) + Z dq1dq2dq3 ϕ ∗ k1 (q2)ϕ ∗ k1 (q3)ϕ ∗ k2 (q1)ϕk1 (q2)ϕk1 (q3)ϕk2 (q1) + Z dq1dq2dq3 ϕ ∗ k1 (q3)ϕ ∗ k1 (q1)ϕ ∗ k2 (q2)ϕk1 (q3)ϕk1 (q1)ϕk2 (q2) = 3|Df1| 2 , (40) wxd Df1 = √ 1 3 julP Df2 = √ 1 3 kyD_Zwiv (1) ψ2k1,k2 (q1, q2, q3) ZyÆ#\6aE?r 1 6"ay?gr IR# Jy( (2) )#6[Y Df1 = √ 1 3 l'\AÆh Df1 = √ 2!1! √ 3! = q nk1 !nk2 ! √ N! . (41) IR J`yyx:w!1 Df2 = q nk1 !nk2 ! √ N! = √ 1!2! √ 3! = 1 √ 3 . (42) ?5ws `O?`>{Q,Yy#>LmN ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) = D X Pˆ Pˆ [ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )] = DfX {Pˆ} Pˆ [ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )] . (43) tw9iK qi 6 qj z4Q,Yg#9 (i, j) A (i, j)ψk1,······,kN (q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ) = ψk1,······,kN (q1, · · · , qj , · · · , qi , · · · , qN ) = D X Pˆ (i, j)Pˆ(ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )). (44) 8
另一们面，置换群的一个定理告诉我们，当用一个前定的置换去乘1个置 换的每一个变，乘色即取假了这个置换群中的成有元素定换句话常，我们有 {6,)P={P={P创 (45) 与换来的置换群恒粒定因看，我们得到 ,…,kw(91,…,9i,…,h,…,9N） =D∑[6，)月(9a(gm)…px(gw》 =D∑P'(P(q1)…Pkv(gN) =1kw(91,…,9,,4,…,9N). (46) 也就不常，这些波求数的确满足全次玻色子体地的统计要求定 下面，我们来计算情一扰常数D定按照情一扰条件，我们有 1=dg1…dgN4t(g,…,qw)(g1,…,q） =1D∑∑dg…dvB(,(gn)…pin(gw） {)) ×PB(P%(q1)…Pkx(qN). (47) 如次在上面的例子中成玻，展开并中的每一项P(gP)·Pkw(qPw)仅与 其自身内色非零，并且粒于1定这样，公并(47)扰为 1=D2M. (48) 这里M为(91，…，qw)展开并中的项数定按照我们的构造没，这一数目应 粒于将N个而球米在N个碗中，并要求两一个碗中有n1个，两二个碗中有2 个.…的全部可能的交次取没数（有些数n,可取做零，来m++nw=V)定 我们已知这一数目为 NI M=nkn…nW (49) 因看， N! (50) 9
#Y93y#u^wt/#&yY90a N! Y 9yÆ#Ia?A.JIY93Zy`18℄9e7[w1 {(i, j)Pˆ} = {P ′ } = {Pˆ} (45) 69syY933z,iwxv ψk1,······,kN (q1, · · · , qj , · · · , qi , · · · , qN ) = D X Pˆ h (i, j)Pˆ i (ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )) = D X Pˆ′ Pˆ′ (ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )) = ψk1,······,kN (q1, · · · , qi , · · · , qj , · · · , qN ). (46) !aR[I Q,Yy2 1jO?`g|ykD , ~wsD_)#6[Y Df ;G)#6hOw1 1 = Z dq1 · · · · · · dqN ψ ∗ l (q1, · · · · · · , qN )ψl(q1, · · · · · · , qN ) = |Df| 2 X {Pˆ1} X {Pˆ2} Z dq1 · · · · · · dqN Pˆ 1 ϕ ∗ k1 (q1)· · · · · ·ϕ ∗ kN (qN ) × Pˆ 2 (ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )). (47) :j?yx`Z`OBhNZyÆ# ϕk1 qP(1) · · · · · ·ϕkN qP(N) \6 "aE?N'z4 1 I N (47) 6r 1 = |Df| 2M. (48) Iv M r ψl(q1, · · · · · · , qN ) BhNZyY;Gwy# I#Y. z4P N +? N oZN ,}#oZ1 n1 } oZ1 n2 · · · · · · y1Tl yRj. Y1 Y ns l.gs n1+· · ·+nN = N) w&QI#Yr M = N! nk1 !nk2 ! · · · · · ·nkN ! . (49) ,i Df = s nk1 !nk2 ! · · · · · ·nkN ! N! . (50) 9
时样，一组N个全同玻色子的完上正之归一因数可取为 1,kw(91,92,…,9N） n-nE∑p(4gu…pxw） =V NI (51) { 下面，让我们来能子一下费米子波因数。按照现义，我们全 1,kN(g1,…,qwN)=D∑(-1)PP(pk(g)…Px(gw). (52) 首了，同玻色子时的情形一样，我们和当全 N! (53) 时是合后，根足%kx(h,…,9)的一上法，展作式中每一对仅化其自身 的个在非零且等后： (-1)P(-1)Pdg…dgv【o,(grp,(gp小…[pw(QPN)(gram) =1×1=1. (54) 另一方面，积波因数%1，k(q1,…,qN)中，我们全卡2≠…≠v。故 D=D。函此，上面的致论换然成立，又合后 (ij),kw(红，…，9N） =1kw(91,…,,…,9,,9N） =示于-1P6)PPam)…9ww》 =不-11(-1[G,)P]laam）…gxwl. (55) 令（亿）P=P,我们全(-1)P=(-1)P+1。函此，上式与为 而2-产-P(o@m）…%w》 =-h1…kx(91,…,9v小 (56) 10
I #e N 1jO?`ynOR)#,Yl.r ψk1,······,kN (q1, q2, · · · · · · , qN ) = s n1!n2! · · · · · · nk! N! X {Pˆ} Pˆ ϕk1 (qPˆ(1))· · · · · ·ϕkN (qPˆ(N) ) . (51) ~5ws `#~`Q,Y;G+w1 ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) = D X Pˆ (−1)Pˆ Pˆ(ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )). (52) VjO?`Iy)# w.t1 D = s nk1 !nk2 ! · · · · · · nkN ! N! = 1 √ N! . (53) IR04 ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) y# BhNZÆ#\6"aE y?'z4 (−1)Pˆ (−1)Pˆ Z dq1 · · · dqN h ϕ ∗ k1 (qP(1))ϕk1 (qP(1)) i · · · h ϕ ∗ kN (qP(N))ϕkN (qP(N)) i = 1 × 1 = 1. (54) #?Q,Y ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) Zw1 k1 6= k2 6= · · · 6= kN $ Df = D ,iyX 94`y304 (i, j)ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ) = ψk1,······,kN (q1, · · · , qj , · · · , qi , · · · , qN ) = 1 √ N! X Pˆ (−1)Pˆ (i, j)Pˆ(ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )) = 1 √ N! X Pˆ (−1)Pˆ+1(−1) h (i, j)Pˆ i [ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )] . (55) (i, j)Pˆ = Pˆ′ w1 (−1)Pˆ′ = (−1)Pˆ+1 ,iN6r 1 √ N! X Pˆ′ (−1)Pˆ′ (−1)Pˆ′ (ϕk1 (q1)· · · · · ·ϕkN (qN )) = − ψk1,······,kN (q1, · · · · · · , qN ). (56) 10