合肥工业大学：《大学物理》课程教学资源（教案讲义）第三篇 电磁学（电场和磁场）3.4 磁场对电流的作用

第十二章磁场对电流的作用 §12-1磁场对载流导线的作用力安培定律 当电流1d元处于磁场B中时受力 d矿=kB1 dl sin(Idl,B)df称为安培力，在国际单位制中，k=1。 df=kBldl sin Idi,B)写成矢量d矿=Id×B称为安培公式。 对L长度的载流导线在磁场B中受力了=「Idl×B 例：长为1的一载流直导线在匀强磁场B中，因各电流元所受的力的方向是一致的， 所以这载流直导线所受的作用力为 f=df=[ldlB sin0=IBsin dl=IBI sin 合力的作用点在长直导线中点，方向垂直各面向内 当0=0时 f=0 当0=乃时fm=Bm 例：测定磁感应强度常用的实验装置一磁秤。 安培力 f=NB跏=mgB=器 (对于一般情形，必须将各个力分解成分量，然后对整个导线求积分) 又例：分析均匀磁场中半圆形载流导线的受力情况， 大小 d=Bdl于=∑di df=df sin =Bldl sin df,=-df cos0=-Bldl cos0 f=(df i+df j)=jdf,dl=Rde fBldl sin 0=BI sin ORdo=BIR [sin (e=2BIR (显然，作用点在半圆弧中点，方向向上) 例：在长直导线AB内通由电流I=20A,在矩形线圈CDEF中通有电流I=I0A,AB与线 圈共面，且CD、EF都与AB平行，己知a=9.0cm,b=20.0cm,d1.0cm,求：(1)导线AB

第十二章 磁场对电流的作用 §12-1 磁场对载流导线的作用力 安培定律 当电流 I dl 元处于磁场 B  中时受力 sin( , ) df k3BIdl Idl B  = df 称为安培力,在国际单位制中, k3 = 1。 sin( , ) df k3BIdl Idl B  = 写成矢量 df Idl B   =  称为安培公式。 对 L 长度的载流导线在磁场 B  中受力  =  L f Idl B   例：长为 l 的一载流直导线在匀强磁场 B 中，因各电流元所受的力的方向是一致的， 所以这载流直导线所受的作用力为 sin sin sin 0 0 f df IdlB IB dl IBl l l L = = = =     合力的作用点在长直导线中点，方向垂直各面向内 当  = 0 时 f = 0 当 2  =  时 f = BIl max 例：测定磁感应强度常用的实验装置—磁秤。 安培力 f = NBIa = mg NIa mg B = （对于一般情形，必须将各个力分解成分量，然后对整个导线求积分） 又例：分析均匀磁场中半圆形载流导线的受力情况， 大小 df = BIdl f = df   df y = df sin  = BIdl sin  df x = −df cos = −BIdl cos   = + = L y L f df x i df y j j df     ( ) dl = Rd f BIdl sin BI sin Rd BIR sin d 2BIR 0 0 0 = = = =            （显然，作用点在半圆弧中点，方向向上） 例：在长直导线 AB 内通由电流 I1=20A,在矩形线圈 CDEF 中通有电流 I2＝10A，AB 与线 圈共面，且 CD、EF 都与 AB 平行，已知 a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0cm,求：（1）导线 AB

的磁场对矩形线圈每边所作用的力：(2)矩形线圈所受合力和合力矩：(3)如果电流I2 的方向反向，则又如何？ 已知：B= 2m 解：① f=B× 对CD、FE,B为常量 fen=13b t=Mol 3b 向左 2πd 2nd fm=13b2m(d+a)2n(d+a) 向右 (p.与B方向相同〉 石-兴品h告 向上 -n尝智 向下 ② 、4ablL2 向左 2元 M=0 uoabl 1. fa=2md(d+a) 向右 (p.与B方向相反) 例：载有电流L,的长直导线，旁边有一平面圆形电流，其半径为R,中心到直导线的距 离为L,载有电流2，回路与直导线在同一平面内。求1，作用在回路上的力。 解：电流元L,d受力为 df=L,di×B dF=dl

的磁场对矩形线圈每边所作用的力；（2）矩形线圈所受合力和合力矩；（3）如果电流 I2 的方向反向，则又如何？ 已知： r I B   2 0 = 解：① df = IBdl  对 CD、FE，B 为常量 d I I b d I fCD I b     2 2 0 1 0 1 2 = 2 = 向左 2 ( ) 2 ( ) 0 1 0 1 2 2 d a I I b d a I fFE I b + = + =     向右 （ m p  与 B  方向相同） d I I d a d l I I dl d l I f I dl a o F C CF + = + = + =   ln 2 ( ) 2 2 0 1 0 1 2 0 1 2 2       向上 d I I d a d l I f I dl E D DE + = + =  ln 2 ( ) 2 0 1 0 1 2 2     向下 ② 2 ( ) ] 1 1 [ 2 0 1 2 0 1 2 d d a abI I d d a bI I f + = + = −     合 向左 M = 0  ③ 2 ( ) 0 1 2 d d a abI I f + =   合 向右 （ m p  与 B  方向相反） 例：载有电流 1 I 的长直导线，旁边有一平面圆形电流，其半径为 R，中心到直导线的距 离为 L，载有电流 2 I ，回路与直导线在同一平面内。求 1 I 作用在回路上的力。 解：电流元 I dl 2 受力为 dF I dl B   = 2  r I B   2 0 1 = dl r I I dF   2 0 1 2 =

其中 r=L-Rcos0,dll=Rd0 代入 dr.Rcosado 2π(L-Rcos0) dF,=Rsin ado 2π(L-Rcos0) - -驶产a00-d0+L-kog0 2 Jo L-Rcos0 =44(E-R-D Fsi o,RT L-Rcos)0 2rbL-Rcos 所以 F-5-R-D 例：在长直载流导线（电流L,)附近放置一个边长为，电流为1，的正三角形闭合回路， 其中一条边与长直载流导线平行，距离为，回路与导线共面。试求闭合正三角形回路 所受的磁场力F。 解： 已知8=岩 r=Icos30+a,dr =dl cos30 F=1,a==1山 向左 270 2π2π d那=1，dB=4hd=h_中 2m 2cos30°d 2 2 Fbca Fhe +Fae Fa=2Fcos60°=F 向右

其中 r = L − Rcos,dl = Rd 代入 2 ( cos ) cos 0 1 2      L R I I R d dFx − = 2 ( cos ) 0 1 2 sin      L R I I R d dFy − =  − =    2    0 0 1 2 2 ( cos ) cos L R I I R d Fx ] cos [ ( 1) cos 2 cos 2 2 0 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2              d L R L d I I d L R I I R L L    − = − + − − + = ( 1) 2 2 0 1 2 − − = L R L  I I [ln( cos )] 0 cos 2 sin 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 = − = − =            L R I I R L R I I R d Fy 所以 ( 1) 2 2 0 1 2 − − = = L R L F F I I x  例：在长直载流导线（电流 1 I ）附近放置一个边长为 a，电流为 2 I 的正三角形闭合回路， 其中一条边与长直载流导线平行，距离为 a，回路与导线共面。试求闭合正三角形回路 所受的磁场力 F  。 解： 已知 r I B   2 0 1 = 0 0 r = l cos30 + a,dr = dl cos30 1 2 0 1 0 2 0 1 2 2 2 2 I I I I a I Fab I a       = = = 向左 d I I dr dl r I I dFbc I dl B 0 0 1 2 0 1 2 2 2 2 cos30    =  = = 2 2 3 ln 2 cos30 ln(1 cos30 ) 2 cos30 2 cos30 0 0 1 2 0 0 0 1 2 cos30 0 0 1 2 0 + = = = = +   +       I I I I r I I dr F dF a a a b c b c Fbca Fbc Fac    = + Fbca = Fbc = Fbc 0 2 cos 60 向右

h2+5 2 向左 §12-2磁场对载流线圈的作用 一、匀强磁场中的载流线圈 =BIl sin 0 f=BIl sin(-0)=BlI sin 0 两者相抵消 ==B2方向相反但不在同一直线上。 ∑了-方++方+万=0 M=fl cos0=BIl h cos0=BIS cos0 M=BIS sin中 令万=S衍（磁矩）一M=币×B(与电偶极子比较，M=币。×E) 讨论： ①中=π/2时，材最大 ②·=0时，稳定平衡 ③·=π时，非稳定平衡 电偶极子 磁矩 ∫p=gl pn=S·元 二、非均匀磁场中的载流线圈 df=IdixB 合力不为0，指向左方，即指向磁较强处，可以证明： 例：一边长为1的正方形线圈载有电流1，处在均匀外磁场B中，B垂直纸面向外，线

0 1 2 2 0 0 1 2 4.5 10 2 cos30 2 2 3 ln 2 1 F F F I I I I ab bca     − =  + 合 = − =（ − ） 向左 §12-2 磁场对载流线圈的作用 一、 匀强磁场中的载流线圈 f 1 = BIl1 sin  1 sin(  ) 1 sin  ' f 1 = BIl − = BIl 两者相抵消 2 ' f 2 = f 2 = BIl 方向相反但不在同一直线上。 0 ' 2 2 '  f = f 1 + f 1 + f + f =      M = f 2 l 1 cos = BIl1 l 2 cos = BIS cos M = BIS sin  令 P ISn m   = （磁矩）  M Pm B    =  （与电偶极子比较， M pe E    =  ） 讨论： ①  =  2 时， M  最大 ②  = 0 时，稳定平衡 ③  =  时，非稳定平衡 电偶极子 磁矩    =  =  p IS n p ql n m     二、 非均匀磁场中的载流线圈 df Idl B   =  合力不为 0，指向左方，即指向磁较强处，可以证明： dr dB f  Pm 例：一边长为 l 的正方形线圈载有电流 I，处在均匀外磁场 B 中，B 垂直纸面向外，线

圈可以绕通过中心的竖直轴00'转动，其转动惯量为J,求线圈在平衡位置附近作小摆 动的周期T。 解： M=下×B(微扰动，sn0≈0) M=-Na2Bsin0≈-Na2B0(使Pn转向B) 根据转动定律 M=Jd0 Nh Bo 所以 dr 即简诺振动方程（杂+=0) Nla'B →0= 0 例：一平面塑料圆盘，半径为R,表面带有面密度为σ的剩余电荷，假定圆盘绕其轴线 AA以角速度orad.s转动，磁场B的方向垂直与转轴AA。试证磁场作用于圆盘的力矩 的大小为M=oRB 4 解：取半径为r→r+的圆环，则此圆环所带电荷为d=。2md山， 相应的电流 相应的磁矩为 电.=ml=m2品o2m=0ah 总磁矩 p-Ldp-=f xoa'dr=i xoak' M=pn×B →M=zooR'B 4

圈可以绕通过中心的竖直轴 OO’转动，其转动惯量为 J，求线圈在平衡位置附近作小摆 动的周期 T。 解： M Pm B    =  （微扰动， sin  ） M INa B  INa B 2 2 = − sin  − （使 Pm  转向 B  ） 根据转动定律 2 2 dt d M J  = 得   NIa B dt d J 2 2 2 = − 所以 0 2 2 2 +  =  J NIa B dt d 即简谐振动方程（ 0 2 2 2 + x = dt d x  ） J NIa B 2   = NIa B J T 2 2 2    = = 例：一平面塑料圆盘，半径为 R，表面带有面密度为σ的剩余电荷，假定圆盘绕其轴线 AA,以角速度ωrad.s -1转动，磁场 B 的方向垂直与转轴 AA,。试证磁场作用于圆盘的力矩 的大小为 4 4 R B M  = 。 解：取半径为 r →r + dr 的圆环，则此圆环所带电荷为 dq =   2rdr ， 相应的电流 dI dq   2 = 相应的磁矩为 dp r dI r rdr r dr m 2 2 3 2 2      =  =  = 总磁矩 4 0 3 0 4 1 p dp r dr R R R m = m =  =    M Pm B    =   4 4 R B M  =