第2讲构件的静力分析·件杆的基本变形 授课日期 课题:力偶和力矩·平面方程及应用·拉伸和压缩 课型:课堂讲解 目的要求:1、掌握力矩和力偶的概念、性质、定理及分析计算方法 2、掌握平衡方程及其应用 3、掌握杄件拉伸与压缩的受力、变形特点,应力计算及许用应力 重点难点:1、力偶的定理与分析、平衡方程及应用 2、杄件拉伸与压缩的受力、变形特点,应力计算及许用应力 教具 教学方式及时间分配:课时总计3课时,教师课堂讲解主要内容 复习与课外作业:安排学生复习、预习;作业 (2-1) 第二章构件的静力分析
第 2 讲 构件的静力分析·件杆的基本变形 授课日期： 课 题：力偶和力矩·平面方程及应用·拉伸和压缩 课 型：课堂讲解 目的要求：1、掌握力矩和力偶的概念、性质、定理及分析计算方法 2、掌握平衡方程及其应用 3、掌握杆件拉伸与压缩的受力、变形特点，应力计算及许用应力 重点难点：1、力偶的定理与分析、平衡方程及应用 2、杆件拉伸与压缩的受力、变形特点，应力计算及许用应力 教 具： 教学方式及时间分配：课时总计 3 课时，教师课堂讲解主要内容 复习与课外作业： 安排学生复习、预习；作业 （2－1） 第二章 构件的静力分析
力矩和力偶 (一)力矩 力矩是力对一点的矩,其定义如下 力对点的矩可以用一个代数量表示,其绝对值等于力的大小和力臂的乘积,其正负号按如下确 定:力使物体绕矩心逆时针转动时为正;反之为负。 如下图:刚体上作用一力F,取O点,O点称为矩心;d称为力臂,则F对O点的短用Mb(F) 表示,其计算公式如下 Mo(F)=±Fd 单位为牛顿·米(N·M) 由上式可知 1)力的大小为零时,力矩为零 2)力的作用线通过矩心时,力臂为零, 力矩为零; 3)取不同矩心,力臂和转动方向都可 F 能改变,故同一力对不同矩心的力 图2-1 矩并不相同 (二)合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各力对该点之矩的代数和。 数学表达式为 M(R)=M(F1)+M(F2)+…+M(F) (三)力偶和力偶矩 1、力偶 作用在刚体上的一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶 2、力偶矩 由力偶产生的力矩之和。 图2-2 M (F, F)=M (F)+M(F =F(d+a)+F·a F·d M(F,F)=F·d(2-2 由上表明:力偶对作用面内任一点的矩恒等于 力偶中一力的大小和力偶臂的乘积,它与力偶的旋转方向 有关而与矩心的位置无关,乘积Fd加上适当的正负号称为力偶矩 3、力偶等效变换的性质——平面力偶的等效条件 性质1:力偶可以在其作用平面内任意移动,而不改变它对刚体的作用。 性质2:只要保持力偶矩不变,可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短,而不改变力偶对 刚体的作用 4、平面力偶系的合成与平衡 1)平面力偶系的合成
一、力矩和力偶 （一）力矩 力矩是力对一点的矩，其定义如下： 力对点的矩可以用一个代数量表示，其绝对值等于力的大小和力臂的乘积，其正负号按如下确 定：力使物体绕矩心逆时针转动时为正；反之为负。 如下图：刚体上作用一力 F，取 O 点，O 点称为矩心；d 称为力臂，则 F 对 O 点的矩用 MO（F） 表示，其计算公式如下： MO（F）＝±Fd 单位为牛顿·米（N·M） 由上式可知： 1） 力的大小为零时，力矩为零 2） 力的作用线通过矩心时，力臂为零， 力矩为零； 3） 取不同矩心，力臂和转动方向都可 F 能改变，故同一力对不同矩心的力 图 2－1 矩并不相同。 （二）合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各力对该点之矩的代数和。 数学表达式为： MO（R）＝MO（F1）＋MO（F2）＋…＋MO（Fi） （2－1） （三） 力偶和力偶矩 1、力偶 作用在刚体上的一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶 2、力偶矩 由力偶产生的力矩之和。 图 2－2 MO（F，F ，）＝MO（F）＋MO（F ，） ＝F（d＋a）＋F ，·a ＝F·d MO（F，F ，）＝F·d （2－2） 由上表明：力偶对作用面内任一点的矩恒等于 力偶中一力的大小和力偶臂的乘积，它与力偶的旋转方向 有关而与矩心的位置无关，乘积 Fd 加上适当的正负号称为力偶矩 3、力偶等效变换的性质——平面力偶的等效条件 性质 1：力偶可以在其作用平面内任意移动，而不改变它对刚体的作用。 性质 2：只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力臂的长短，而不改变力偶对 刚体的作用。 （2－2） 4、平面力偶系的合成与平衡 1）平面力偶系的合成
作用在刚体上同一平面内的几个力偶称为平面力偶系。平面力偶系能与一个力偶等效,这个力 偶称为该平面力偶系的力偶,合力偶等于力偶系中各力偶矩的代数和。 M=M1+M2+M3+…=∑M 2)平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的必要和充分条件是各力偶矩的代数和为零。 二平面一般力系向一点简化(根据教学进度选讲) 平面一般力系的简化,通常是利用下述定理,将力向一点简化 力的平移定理 作用在刚体上的力,可以在附加一个力偶的条件下,平移到刚体上任一指定点,而不改变原 来对刚体的效应。附加力偶矩等于原力对指定点的矩 图2-3 (b)图 2、平面一般力系向一点简化·主矢和主矩 如下图:根据力的平移定理,由(a)图可简化得(b)图;根据力的平行四边形法则及力偶的 合成,(b)图可简化得(c)图。 即:F:′=F;M=Mo(F) R′=∑F1′=∑F (2-3) Mo=∑M=∑Mb(F) 合力R′称为一般力系的主矢,其矩M称为一般力系的主矩 3、平面一般力系简化结果讨论(参考教材P35页)
作用在刚体上同一平面内的几个力偶称为平面力偶系。平面力偶系能与一个力偶等效，这个力 偶称为该平面力偶系的合力偶，合力偶等于力偶系中各力偶矩的代数和。 M＝M1＋M2＋M3＋…＝ΣMi 2）平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的必要和充分条件是各力偶矩的代数和为零。 ΣMi＝0 二 平面一般力系向一点简化（根据教学进度选讲） 平面一般力系的简化，通常是利用下述定理，将力向一点简化。 1、力的平移定理 作用在刚体上的力，可以在附加一个力偶的条件下，平移到刚体上任一指定点，而不改变原 来对刚体的效应。附加力偶矩等于原力对指定点的矩。 图 2－3 （a）图 （b）图 （c）图 2、平面一般力系向一点简化·主矢和主矩 如下图： 根据力的平移定理，由（a）图可简化得（b）图；根据力的平行四边形法则及力偶的 合成，（b）图可简化得（c）图。 即： Fi′＝Fi Mi＝MO（Fi） R′＝ΣFi′＝ΣFi （2－3） MO＝ΣMi＝ΣMO（Fi） （2－4） 合力 R′称为一般力系的主矢，其矩 MO 称为一般力系的主矩。 （2－3） 3、平面一般力系简化结果讨论（参考教材 P35 页）
1)力系平衡 当主矢和主矩同时为零时(R′=0,M=0),力系必定平衡 2)力系简化为合力 当主矢R′≠0,主矩M=0时,原力系与R′等效,这时主矢R′就是原力系的合力R, 合力的大小和方向由式(2-4)确定,其作用线通过简化中心 当主矢和主矩均不为零(R′≠0,M≠0),可利用力的平移定理,将作用在同平面内的力R′ 和力偶M合成一个合力 见图2-3反向推理。 3)力系简化为合力偶 当主矢R′=0,主矩M≠0时,原力系与M等效,这时主矢M就是原力系的合力偶 综上所述:平面一般力系简化的最后结果有三种可能:平衡;简化为一个合力;简化为一个合 力偶。 三、平衡方程及其应用 (一)平面受力时的解析表示法 平面受力时的解析表示法是通过力在坐标轴上的 投影为基础建立起来的 如图:在力F的作用线所在的平面建立直角坐标 系Oxy,将力F分别向x轴和y轴投影则可得下式 Fx=F·cosa Fy=F·cos= F sina tana=Fy/Fx Fx、Fy是力F沿x轴和y轴分解所得的两正交分力,其正负号的规定为:与轴指向相同为正, 反之为负。可见,利用力在直角座标轴上的投影可以表示力在直角座标上分力的大小和方向 (二)平面受力时的平衡方程式 由前面可知:平面一般力系平衡的必要和充分条件是主矢和主矩同时为零。 即:R′=∑F:=0 Mo=∑Mo(F)=0 设力F在两坐标轴上的投影为X和Y,主矢R′的投影为XR、YR。则 YR=Y1+Y2+…+Yn=∑Y1 因而主矢R′的大小为 +Y X)2+(∑Yi)2 (2-4)
1）力系平衡 当主矢和主矩同时为零时（R′＝0，MO＝0），力系必定平衡。 2）力系简化为合力 当主矢 R′≠0，主矩 MO＝0 时，原力系与 R′等效，这时主矢 R′就是原力系的合力 R， 合力的大小和方向由式（2－4）确定，其作用线通过简化中心。 当主矢和主矩均不为零（R′≠0，MO≠0），可利用力的平移定理，将作用在同平面内的力 R′ 和力偶 M 合成一个合力。 见图 2－3 反向推理。 3）力系简化为合力偶 当主矢 R′＝0，主矩 MO≠0 时，原力系与 MO 等效，这时主矢 MO 就是原力系的合力偶。 综上所述：平面一般力系简化的最后结果有三种可能：平衡；简化为一个合力；简化为一个合 力偶。 三、平衡方程及其应用 y （一）平面受力时的解析表示法 F 平面受力时的解析表示法是通过力在坐标轴上的 Fy 投影为基础建立起来的。 如图：在力 F 的作用线所在的平面建立直角坐标 系 Oxy，将力 F 分别向 x 轴和 y 轴投影则可得下式： Fx Fx＝F·cosα O Fy＝F·cosβ＝F·sinα x tanα＝Fy /Fx Fx、Fy是力 F 沿 x 轴和 y 轴分解所得的两正交分力，其正负号的规定为：与轴指向相同为正， 反之为负。可见，利用力在直角座标轴上的投影可以表示力在直角座标上分力的大小和方向。 （二）平面受力时的平衡方程式 由前面可知：平面一般力系平衡的必要和充分条件是主矢和主矩同时为零。 即： R′＝ΣFi＝0 MO＝ΣMO（Fi）＝0 （2－6） 设力 Fi 在两坐标轴上的投影为 Xi 和 Yi，主矢 R′的投影为 XR、YR。则 XR＝X1＋X2＋…＋Xn＝ΣXì YR＝Y1＋Y2＋…＋Yn＝ΣYì 因而主矢 R′的大小为 R´＝ XR'＋YR'＝ （ΣXi）2＋（ΣYi）2 （2－4）
利用上式,将式(2-6)改写成(为简便计,将ΣMb(F)简写成ΣM,并略去各投影的下标i ∑X=0 (2-7)该式称为平面一般力系的平衡方程。 ∑MD= 即平面一般力系平衡的必要和充分条件是:在平面内,该力系中所有各力在两个任选的相互垂直的 坐标轴上投影的代数和分别为零,以及这些力对任一点0之矩的代数和为零。 (三)应用平衡方程解题的注意事项 1、平面汇交力系和平面力偶系都是平面一般力系的特殊情况。因此,他们的平衡方程可作式(2-7) 的特殊情况而导出。 如对平面汇交力系,无论其平衡与否,ΣM=0都能满足,平衡方程可写为 2、为使计算简便,适当选取矩心的位置和坐标轴的方向:矩心选在两未知力的交点,坐标轴尽量 与未知力垂直或与多数力平行。 3、解题的主要步骤 (1)选取一个或多个研究对象。 (2)进行受力分析,画出受力图。 (3)选取坐标系,计算各投影;选取矩心,计算各力的矩。 (4)列出平衡方程,求知未知量 例题 (2-5)
利用上式，将式（2－6）改写成(为简便计，将ΣMO（Fi）简写成ΣMO，并略去各投影的下标 i)： ΣX＝0 ΣY＝0 (2-7) 该式称为平面一般力系的平衡方程。 ΣMO＝0 即平面一般力系平衡的必要和充分条件是：在平面内，该力系中所有各力在两个任选的相互垂直的 坐标轴上投影的代数和分别为零，以及这些力对任一点 O 之矩的代数和为零。 （三）应用平衡方程解题的注意事项 1、平面汇交力系和平面力偶系都是平面一般力系的特殊情况。因此，他们的平衡方程可作式(2-7) 的特殊情况而导出。 如对平面汇交力系，无论其平衡与否，ΣMO＝0 都能满足，平衡方程可写为： ΣX＝0 ΣY＝0 2、为使计算简便，适当选取矩心的位置和坐标轴的方向：矩心选在两未知力的交点，坐标轴尽量 与未知力垂直或与多数力平行。 3、解题的主要步骤： （1） 选取一个或多个研究对象。 （2） 进行受力分析，画出受力图。 （3） 选取坐标系，计算各投影；选取矩心，计算各力的矩。 （4） 列出平衡方程，求知未知量。 例题一： （2－5）