第三章概率 33几何概型 教学目标 核心素养 通过学习古典概型,初步形成基本的数学抽象和数学建模能力 2.学习目标 (1)理解几何概型基本事件的特点 (2)会用几何概型公式解决实际实际问题. (2)掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法 3.学习重点 理解几何概型的特点,会用几何概型解决随机事件岀现的概率如何计算问题. 4.学习难点 基本事件出现等可能性 、教学设计 (一)课前设计 1.预习任务 任务1 阅读P135-P140,思考:几何概型与古典概型的异同在哪儿? 任务2 如何利用几何概型公式解决实际问题中的概率问题? 预习自测 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√"或“x”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.() (2)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的 每一点被取到的机会相等.() (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.() (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.() (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关,() 解:√√ 2.在50om的水中有一个草履虫,现从中随机取出2m水样放到显微镜下观察,则发现草履 虫的概率是()
第三章 概率 3.3 几何概型 一、教学目标 1．核心素养 通过学习古典概型，初步形成基本的数学抽象和数学建模能力． 2．学习目标 （1）理解几何概型基本事件的特点． （2）会用几何概型公式解决实际实际问题． （2）掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法． 3．学习重点 理解几何概型的特点，会用几何概型解决随机事件出现的概率如何计算问题． 4．学习难点 基本事件出现等可能性． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务 1 阅读 P135-P140，思考:几何概型与古典概型的异同在哪儿？ 任务 2 如何利用几何概型公式解决实际问题中的概率问题? 2．预习自测 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( ) (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的 每一点被取到的机会相等．( ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( ) 解：√√√√× 2．在 500ml 的水中有一个草履虫，现从中随机取出 2ml 水样放到显微镜下观察，则发现草履 虫的概率是（ ）
A.0.5 B.0.4 C.0.004 D.不能确定 解:C 3用均匀随机数进行随机模拟可以解决() A.只能求几何概型的概率不能解决其他问题 B不仅能求几何概型的概率还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率 解:C (二)课堂设计 1.知识回顾 (1)古典概型的基本事件的特点 (2)古典概型计算公式 2.问题探究 问题探究一几何概型基本事件的特点有哪些?(★▲) 活动一创设情景,区分古典概型与几何概型 飞镖游戏:如图所示,规定射中红色区域表示中奖则下列各圆盘的中奖概率如何计算 呢? (2) 图(1)是将圆盘五等分,飞镖分别射在五个相同的扇形区域作为五个等可能基本事件,每 个基本事件的发生是等可能性的概率为 图(2)三块区域圆心角之比为123。圆盘(2)的求解虽然可以由等分的观点得到答案 图(3)圆盘两圆的半径之比为12,实现了完全的面积化, 分析上述三种情况,不难发现,基本事件实现从有限到无限,从古典概型到几何概型的 过渡。 活动二变换情景,深化基本事件特点的理解 如何计算下列情况的概率 (1)在区间[0,9上任取一个整数,恰好取在区间[0,3]上的概率为多少?
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定 解：C 3.用均匀随机数进行随机模拟,可以解决( ) A.只能求几何概型的概率,不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率,还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率,还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率. 解：C （二）课堂设计 1．知识回顾 （1）古典概型的基本事件的特点． （2）古典概型计算公式． 2．问题探究 问题探究一 几何概型基本事件的特点有哪些？（★▲） ●活动一 创设情景，区分古典概型与几何概型 飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖.则下列各圆盘的中奖概率如何计算 呢？ (1) (2) (3) 图(1)是将圆盘五等分，飞镖分别射在五个相同的扇形区域作为五个等可能基本事件，每 个基本事件的发生是等可能性的,概率为 5 1 . 图(2)三块区域圆心角之比为 1:2:3。圆盘(2)的求解虽然可以由等分的观点得到答案。 图（3）圆盘两圆的半径之比为 1:2，实现了完全的面积化， 分析上述三种情况，不难发现，基本事件实现从有限到无限，从古典概型到几何概型的 过渡。 ●活动二 变换情景，深化基本事件特点的理解 如何计算下列情况的概率 （1）在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？
(2)在区间[,9上任取一个实数,恰好取在区间[,3上的概率为多少? (1)是一个古典概型问题,概率为;(1)是一个几何概型问题,概率为 般地,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例 则称这样的概率模型为几何概型.参照古典概型的特性,几何概型有哪两个基本特征? (1)可能出现的结果有无限多个 (2)每个结果发生的可能性相等 (3)几何概型的概率公式 P(A) 构成事件A的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 问题探究二应用古典概型解决随机事件出现的概率如何计算问题 几何概型公式在实际问题中有哪些应用 例1取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内 的概率 【知识点:几何概型;数学思想:数学抽象,数学建模】 详解: 记“豆子落入圆内”为事件A,则P)=、圆面积xa2=x 正方形面积4a24 点拨:由于是随机丢豆子,故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的(符合几何 概型),于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比. 例2在LL高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病 种子的概率是多少? 【知识点:几何概型;数学思想:数学抽象,数学建模】 详解:取出10mL麦种,其中“含有麦锈病种子这一事件记为A, 取出种子的体积1 则P(A 所有种子的体积1000100 点评:病种子在这ⅡL种子中的分布可以看做是随机的(符合几何概型),取得10mL种子可 视作区域d,所有种子可视为区域D.测度是体积
（2）在区间[0，9]上任取一个实数，恰好 取在区间[0，3]上的概率为多少？ (1)是一个古典概型问题，概率为 5 2 ；(1)是一个几何概型问题，概率为 3 1 . 一般地，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例， 则称这样的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性，几何概型有哪两个基本特征？ （1）可能出现的结果有无限多个； （2）每个结果发生的可能性相等. （3）几何概型的概率公式： P(A)= 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 构成事件A的区域长度（面积或体积） ； 问题探究二 应用古典概型解决随机事件出现的概率如何计算问题★▲ 几何概型公式在实际问题中有哪些应用 例 1 取一个边长为 2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内 的概率. 【知识点：几何概型；数学思想：数学抽象，数学建模】 详解： 记“豆子落入圆内”为事件 A，则 2 2 ( ) 4 4 圆面积 ＝ 正方形面积 a P A a = = 点拨：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何 概型），于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比. 例 2 在 1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出 10mL，含有麦锈病 种子的概率是多少？ 【知识点：几何概型；数学思想：数学抽象，数学建模】 详解： 取出 10mL 麦种，其中“含有麦锈病种子”这一事件记为 A， 则 10 1 ( ) 1000 100 P A = = 取出种子的体积 ＝ 所有种子的体积 。 点评：病种子在这 1L 种子中的分布可以看做是随机的（符合几何概型），取得 10mL 种子可 视作区域 d，所有种子可视为区域 D.测度是体积
【知识点:几何概型;数学思想:数学抽象,数学建模】 例3在等腰直角三角形中ABC中,在斜边AB上任取一点M, 求AM小于AC的概率 B 详解:在AB上截取AC=AC.于是 AC P(AM AC)=P(AM <AC) AbAB 2 点拨:点M随机地落在线段AB上(符合几何概型),故线段AB为区域D当点M位于右下 图中线段AC内时,AM<AC,故线段AC即为区域d.测度是线段的长度。 问题探究三如何用随机模拟的方法? 在古典概型中,涉及到用随机模拟的方法求随机事件的概率,那么能否用随机模拟的方 法解一些几何概型问题呢? 例4.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于lm的 概率有多大? 【知识点:几何概型,随机模拟方法;数学思想:数学抽象,数学建模】 详解1:(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数a=RAND (2)经过伸缩变换,a=a1*3 (3)统计出[1,2]内随机数的个数N1和[0,3]内随机数的个数N (4)计算频率fA即为概率P(A)的近似值. 详解2:做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度[0,3](这里3和0重合).转动 圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子位置在[1,2范围内)的次数N1及试验总次数N,则 fn(A)=即为概率P(A)的近似值 点拨:在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍[0,3]内的任意数,并且每 个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应[0,3] 上的均匀随机数,其中取得的[,2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[,2]内,也就 是剪得两段长都不小于1m。这样取得的[1,2]内的随机数个数与[0,3内个数之比就是事件
【知识点：几何概型；数学思想：数学抽象，数学建模】 例 3 在等腰直角三角形中 ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M， 求 AM 小于 AC 的概率. 详解： 在 AB 上截取 ' AC AC = ．于是 ' P AM AC P AM AC ( ) ( ) = ' AC AB = AC AB = 2 2 = . 点拨：点 M 随机地落在线段 AB 上（符合几何概型），故线段 AB 为区域 D.当点 M 位于右下 图中线段 ' AC 内时， AM AC ，故线段 ' AC 即为区域 d .测度是线段的长度。 问题探究三 如何用随机模拟的方法？ 在古典概型中，涉及到用随机模拟的方法求随机事件的概率，那么能否用随机模拟的方 法解一些几何概型问题呢？ 例 4. 取一根长度为 3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于 1m 的 概率有多大？ 【知识点：几何概型，随机模拟方法；数学思想：数学抽象，数学建模】 详解 1：（1）利用计算器或计算机产生一组 0 到 1 区间的均匀随机数 a1=RAND． （2）经过伸缩变换，a=a1*3． （3）统计出[1，2]内随机数的个数 N1 和[0，3] 内随机数的个数 N． （4）计算频率 fn(A)= N N1 即为概率 P（A）的近似值． 详解 2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度[0，3]（这里 3 和 0 重合）．转动 圆盘记下指针在[1，2]（表示剪断绳子位置在[1，2]范围内）的次数 N1 及试验总次数 N，则 fn(A)= N N1 即为概率 P（A）的近似值． 点拨：在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍[0，3]内的任意数，并且每一 个实数被取到都是等可能的。因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应[0，3] 上的均匀随机数，其中取得的[1，2]内的随机数就表示剪断位置与端点距离在[1，2]内，也就 是剪得两段长都不小于 1m。这样取得的[1，2]内的随机数个数与[0，3]内个数之比就是事件
A发生的概率。 例6.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,求这个正方形 的面积介于36cm2与81cm2之间的概率 【知识点:几何概型,随机模拟方法;数学思想:数学抽象,数学建模】 详解:(1)用计算机产生一组[0,1内均匀随机数a1=RAND (2)经过伸缩变换,a=an*12得到[O,12]内的均匀随机数 (3)统计试验总次数N和6,9内随机数个数N1 (4)计算频率 记事件A={面积介于36cm2与81cm2之间}={长度介于6cm与9cm之间},则P(A)的近似 值为f(A= 点拨:正方形的面积只与边长有关,此题可以转化为在12cm长的线段AB上任取一点M, 求使得AM的长度介于6cm与9cm之间的概率 3.课堂总结 【知识梳理】 (1)几何概型的特点 ①试验中有所有可能出现的基本事件有无穷个; ②每个基本事件出现的可能性是相等的 内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:P=9的测,记 (2)几概型的计算公式:一般地,在几何区域D中随机地取一点,记事件“该点落在其 D的测度 【重难点突破】 (1)“测度”的理解 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只与大小有关,而与形状和位 置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方 法 (2)常见的几何概型 ①线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时, ②面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一般是把两个变量分别作为一 个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解
A 发生的概率。 例 6． 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，求这个正方形 的面积介于 36cm2 与 81cm2 之间的概率． 【知识点：几何概型，随机模拟方法；数学思想：数学抽象，数学建模】 详解：（1）用计算机产生一组[0，1]内均匀随机数 a1=RAND． （2）经过伸缩变换，a=a1*12 得到[0，12]内的均匀随机数． （3）统计试验总次数 N 和[6，9]内随机数个数 N1 （4）计算频率 N N1 ． 记事件 A={面积介于 36cm2 与 81cm2 之间}={长度介于 6cm 与 9cm 之间}，则 P（A）的近似 值为 fn(A)= N N1 ． 点拨：正方形的面积只与边长有关，此题可以转化为在 12cm 长的线段 AB 上任取一点 M， 求使得 AM 的长度介于 6cm 与 9cm 之间的概率． 3．课堂总结 【知识梳理】 （1）几何概型的特点 ①试验中有所有可能出现的基本事件有无穷个； ②每个基本事件出现的可能性是相等的 （2）几概型的计算公式: 一般地，在几何区域 D 中随机地取一点，记事件“该点落在其 内部一个区域 d 内”为事件 A，则事件 A 发生的概率： ( ) d P A D = 的测度 的测度 【重难点突破】 （1）“测度”的理解 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位 置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方 法． （2）常见的几何概型 ①线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时． ②面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一 个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解