§3.3几何概型 §331几何概型 教材分析 这部分是新增加的内容介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的 要求仅限于初步体会几何概型的意义所以教科书中选的例题都是比较简单的随机模拟部分是本节的重 点内容几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可 以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子,概率为1的事件不是必然事件的例子 利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数是离散型随机变量的一个样本;利用几何概型产生 的随机数是取值在一个区间的随机数是连续型随机变量的一个样本比如[0,]区间上的均匀随机数 是服从[0,1]区间上均匀分布的随机变量的一个样本随机模拟中的统计思想是用频率估计概率 本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例3中的随机撒豆子的模型等教学 中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性然后再通过计算机或计算器产生均匀 随机数进行模拟试验得到模拟的结果在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性体会随着试 验次数的增加,结果的精度会越来越高 随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术让学生亲自动手产生随机数进行模拟活动 几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个它的特点是在一个 区域内均匀分布所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有 关如果随机事件所在区域是一个单点由于单点的长度、面积、体积均为0则它出现的概率为0,但它不 是不可能事件如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点则它出现的概率为1,但它不是必然 事件 均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型由于没有讲随机变量的定义,教科书中均匀分 布的定义仅是描述性的不是严格的数学定义,要求学生体会如果X落到[0,1]区间内任何一点是等可能
§3.3 几何概型 §3.3.1 几何概型 一、教材分析 这部分是新增加的内容.介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要,但是对几何概型的 要求仅限于初步体会几何概型的意义,所以教科书中选的例题都是比较简单的.随机模拟部分是本节的重 点内容.几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,利用几何概型可 以很容易举出概率为 0 的事件不是不可能事件的例子,概率为 1 的事件不是必然事件的例子. 利用古典概型产生的随机数是取整数值的随机数,是离散型随机变量的一个样本;利用几何概型产生 的随机数是取值在一个区间的随机数,是连续型随机变量的一个样本.比如［0,1］区间上的均匀随机数, 是服从［0,1］区间上均匀分布的随机变量的一个样本.随机模拟中的统计思想是用频率估计概率. 本节的教学需要一些实物模型为教具,如教科书中的转盘模型、例 3 中的随机撒豆子的模型等.教学 中应当注意让学生实际动手操作,以使学生相信模拟结果的真实性,然后再通过计算机或计算器产生均匀 随机数进行模拟试验,得到模拟的结果.在这个过程中,要让学生体会结果的随机性与规律性,体会随着试 验次数的增加,结果的精度会越来越高. 随机数的产生与随机模拟的教学中要充分使用信息技术,让学生亲自动手产生随机数,进行模拟活动. 几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.它的特点是在一个 区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关,只与该区域的大小有 关.如果随机事件所在区域是一个单点,由于单点的长度、面积、体积均为 0,则它出现的概率为 0,但它不 是不可能事件;如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点,则它出现的概率为 1,但它不是必然 事件. 均匀分布是一种常用的连续型分布,它来源于几何概型.由于没有讲随机变量的定义,教科书中均匀分 布的定义仅是描述性的,不是严格的数学定义,要求学生体会如果 X 落到［0,1］区间内任何一点是等可能
的,则称X为[0,1]区间上的均匀随机数 教学目标 、知识与技能: (1)正确理解几何概型的概念 (2)掌握几何概型的概率公式: 构成事件A的区域长度(面积或体积) P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) 3)会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型; 2、过程与方法 (1)发现法教学,通过师生共同探究,体会数学知识的形成,学会应用数学知识来解决问题,体 会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力 (2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、情感态度与价值观 本节课的主要特点是随机试验多,学习时养成勤学严谨的学习习惯。 三、重点难点 教学重点:理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率 教学难点:等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别 四、课时安排 1课时 五、教学设计 (一)导入新课 思路 复习古典概型的两个基本特点:(1)所有的基本事件只有有限个;(2)每个基本事件发生都是等可
的,则称 X 为［0, 1］区间上的均匀随机数. 二、教学目标 1、 知识与技能： （1）正确理解几何概型的概念； （2）掌握几何概型的概率公式： P（A）= 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 构成事件A的区域长度（面积或体积） ； （3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型； 2、 过程与方法： （1）发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体 会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力； （2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。 3、 情感态度与价值观： 本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。 三、重点难点 教学重点：理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率. 教学难点：等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1 复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生都是等可
能的那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型教师板书本 节课题几何概型 思路2 下图中有两个转盘甲、乙两人玩转盘游戏规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜在两种情 况下分别求甲获胜的概率是多少? (1) 为解决这个问题我们学习几何概型 思路3 在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的还 必须考虑有无限多个试验结果的情况例如一个人到单位的时间可能是8:00至9:00之间的任何一个时 刻:往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点这些试验可能出现的结果都是无限多 个这就是我们要学习的几何概型 (二)推进新课、新知探究、提出问题 (1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率? (2)试验1.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断问剪得两段的长都不小于1m的概率有多 试验2射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环从外向内为白色黑色,蓝色红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄 心”奥运会的比赛靶面直径为122cm靶心直径为122cm运动员在70m外射箭假设射箭都能射中靶面 内任何一点都是等可能的问射中黄心的概率为多少? (3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么? (4)什么是几何概型?它有什么特点?
能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?为此我们学习几何概型,教师板书本 节课题几何概型. 思路 2 下图中有两个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情 况下分别求甲获胜的概率是多少? 为解决这个问题,我们学习几何概型. 思路 3 在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的随机试验是不够的,还 必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的时间可能是 8：00 至 9：00 之间的任何一个时 刻；往一个方格中投一个石子,石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多 个.这就是我们要学习的几何概型. （二）推进新课、新知探究、提出问题 (1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？ (2)试验 1.取一根长度为 3 m 的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多 大？ 试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色.金色靶心叫“黄 心”.奥运会的比赛靶面直径为 122 cm,靶心直径为 12.2 cm.运动员在 70 m 外射箭.假设射箭都能射中靶面 内任何一点都是等可能的.问射中黄心的概率为多少？ (3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么? (4)什么是几何概型?它有什么特点?
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式? (6)古典概型和几何概型有什么区别和联系? 活动:学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比 较概括 讨论结果:(1)硬币落地后会出现四种结果:分别记作(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)每种 结果出现的概率相等P(正正=P(正,反P(反正)=P(反,反)14两次出现相同面的概率为4+4=2 (2)经分析第一个试验从每一个位置剪断都是一个基本事件剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意 点 第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任 在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型 的方法求解 考虑第一个问题如右图记“剪得两段的长都不小于1m”为事件A把绳子三等分,于是当剪断位置处 在中间一段上时,事件A发生由于中间一段的长度等于绳长的 于是事件A发生的概率P(A)= 第二个问题如右图记“射中黄心”为事件B由于中靶心随机地落在面积为xπ×1222cm2的大圆内 而当中靶点落在面积为1x12cm2的黄心内时,事件B发生,于是事件B发生的概率 丌×122 P(B)= =0.01 丌×122 (3)硬币落地后会出现四种结果(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)是等可能的绳子从每一个位置剪
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式? (6)古典概型和几何概型有什么区别和联系? 活动：学生根据问题思考讨论,回顾古典概型的特点,把问题转化为学过的知识解决,教师引导学生比 较概括. 讨论结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）.每种 结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.两次出现相同面的概率为 2 1 4 1 4 1 + = . (2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意 一点. 第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122 cm的大圆内的任 意一点. 在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但是显然不能用古典概型 的方法求解. 考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于 1 m”为事件 A.把绳子三等分,于是当剪断位置处 在中间一段上时,事件 A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的 3 1 , 于是事件 A 发生的概率 P(A)= 3 1 . 第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件 B,由于中靶心随机地落在面积为 4 1 ×π×1222 cm2 的大圆内, 而当中靶 点落 在面积 为 4 1 ×π×12.22 cm2 的黄心内时, 事件 B 发 生, 于是 事件 B 发 生的概率 P(B)= 2 2 122 4 1 12.2 4 1 =0.01. (3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能的,绳子从每一个位置剪
断都是一个基本事件剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点也是等可能的,射中靶面内任何 点都是等可能的但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的; 即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的 (4)几何概型 对于一个随机试验我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点该区域中的 每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中 的点这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等用这种方法处理随机试验称为几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为 几何概率模型( geometric models of probability),简称几何概型 几何概型的基本特点: 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个 b.每个基本事件出现的可能性相等 (5)几何概型的概率公式: p(A)=构成事件4的区域长度(面积或体积) 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积) (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的区别是古典概型的基本事件是有限 的而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同 (三)应用示例 思路1 例1判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型,还是几何概型 (1)抛掷两颗骰子,求出现两个4点”的概率 (2)如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜, 求甲获胜的概率
断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为 3 m 的绳子上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一 点都是等可能的,但是硬币落地后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的; 即一个基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的. (4)几何概型. 对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的 每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中 的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型. 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为 几何概率模型（geometric models of probability）,简称几何概型. 几何概型的基本特点： a.试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； b.每个基本事件出现的可能性相等. (5)几何概型的概率公式： P（A）= ( ) ( ) 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 构成事件A的区域长度 面积或体积 . (6)古典概型和几何概型的联系是每个基本事件的发生都是等可能的;区别是古典概型的基本事件是有限 的,而几何概型的基本事件是无限的,另外两种概型的概率计算公式的含义也不同. （三）应用示例 思路 1 例 1 判断下列试验中事件 A 发生的概率是古典概型,还是几何概型. （1）抛掷两颗骰子,求出现两个“4 点”的概率; （2）如下图所示,图中有一个转盘,甲、乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向 B 区域时,甲获胜,否则乙获胜, 求甲获胜的概率