§24一元线性回归分析的应用:预 测问题 、Y是条件均值EYX=X或个值Y的一 个无偏估计 、总体条件均值与个值预测值的置信区 间
§2.4 一元线性回归分析的应用：预 测问题 一、Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0 )或个值Y0的一 个无偏估计 二、总体条件均值与个值预测值的置信区 间
对于一元线性回归模型 Y=Bo+BX 给定样本以外的解释变量的观测值X。,可以得到 被解释变量的预测值Y。,可以此作为其条件均 值E(YX=X0)或个别值Y的一个近似估计。 注意: 严格地说,这只是被解释变量的预测值的 估计值,而不是预测值。 原因:(1)参数估计量不确定 (2)随机项的影响
对于一元线性回归模型 Yi 0 1 Xi ˆ ˆ ˆ = + 给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到 被解释变量的预测值Ŷ0 ，可以此作为其条件均 值E(Y|X=X0 )或个别值Y0的一个近似估计。 注意： 严格地说，这只是被解释变量的预测值的 估计值，而不是预测值。 原因:（1）参数估计量不确定； （2）随机项的影响
Y是条件均值E(YX=X0或个值Y 的一个无偏估计 对总体回归函数E(YX=X0=B0+B1X,X=X0时 E(Y|X=X0=β0+B1x0 通过样本回归函数=A0+Ax,求得的拟合值为 Yo=Bo+BXo 于是E()=E(B+月1X0)=E(B)+XE(B)=B6+B1X 可见,Y是条件均值E(YX=X0的无偏估计
一、Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0 )或个值Y0 的一个无偏估计 对总体回归函数E(Y|X=X0 )=0+1X，X=X0时 E(Y|X=X0 )=0+1X0 0 0 1 0 Y ˆ = ˆ + ˆ X 于是 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 ) ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ E(Y = E + X = E + X E = + X 可见，Ŷ0是条件均值E(Y|X=X0 )的无偏估计
对总体回归模型Y=β0+βX+μ,当Ⅹ=x时 Y=B0+B1X0+ 于是 E(Y)=E(+B1X+)=B+B1X0+E()=B0+B1X0 而通过样本回归函数=A+Ax,求得拟合值 +BX 的期望为 E(YO=E(Bo+B,)=E(Bo)+XE(B)=Bo+BXo Y0是个值Y的无偏估计
对总体回归模型Y=0+1X+，当X=X0时 Y0 = 0 + 1 X 0 + 于是 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 E(Y ) = E( + X + ) = + X + E() = + X 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 ) ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ˆ ) ( ˆ E(Y = E + X = E + X E = + X
总体条件均值与个值预测值的置信 区间 1、总体均值预测值的置信区间 由于 Bo+BI B1~N(B1, Bo-N(Bo, 于是E()=E(B)+XE(B)=B+BX0 r()=Wam(B)+2X0Co(B6。,月)+XVmr(B 可以证明 Cow(B,B1)=-a2X/∑x2
二、总体条件均值与个值预测值的置信 区间 1、总体均值预测值的置信区间 由于 0 0 1 0 Y ˆ = ˆ + ˆ X ~ ( , ) ˆ 2 2 1 1 i x N ~ ( , ) ˆ 2 2 2 0 0 i i n x X N 于是 0 0 0 1 0 1 0 ) ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ E(Y = E + X E = + X ) ˆ ) ( ˆ , ˆ ) 2 ( ˆ ) ( ˆ ( 1 2 Var Y0 =Var 0 + X0 Cov 0 1 + X0 Var 可以证明 = − 2 2 0 1 ) / ˆ , ˆ ( i Cov X x