机械CAD程序编制的数学基础 编制机械CAD程序时常用的计算方法 方程求根及其程序 线性方程组求解 数值积分 常微分方程数值解法
机械CAD程序编制的数学基础 编制机械CAD程序时常用的计算方法 方程求根及其程序 线性方程组求解 数值积分 常微分方程数值解法
第一章方程求根方法 方程求根 求解区间内的初始近似解 牛顿迭代法 弦截法 二分法
第一章 方程求根方法 方程求根 求解区间内的初始近似解 牛顿迭代法 弦截法 二分法
方程根近似值的确定 设方程fx)=0,在区间[a,b内有一个且只有一个实数根x*,根据方程 的单调性连续性可知,在x*两侧的函数值f(x)肯定不同号。根据这个 原理,我们便可以确定某个区间[a,b]内的单实根x*的近似解。 从左端Ⅺ≡a开始,取一个步长h,h<=b-a,按照步长h一步一步向 区间上限靠近,每增加一个步长进行一次根的扫描,判断f(xo)与 f(×oh)是不是异号。如果同号,此时令Ⅻo=0+h,按步长h再向右跨 如果异号,那么x*必定在区间[X,xo+h,可以取Xo或者x0+h为近似值。 f(x) 厂 b
方程根近似值的确定 设方程f(x)=0，在区间[a,b]内有一个且只有一个实数根x*,根据方程 的单调性连续性可知，在x*两侧的函数值f(x)肯定不同号。根据这个 原理，我们便可以确定某个区间[a,b]内的单实根x*的近似解。 从左端x0=a开始，取一个步长h，h<=b-a，按照步长h一步一步向 区间上限靠近，每增加一个步长进行一次根的扫描，判断f(x0)与 f(x0+h)是不是异号。如果同号，此时令x0=x0+h,按步长h再向右跨。 如果异号，那么x*必定在区间[x0,x0+h]，可以取x0或者x0+h为近似值。 a b x* h f(x) x
例题一确定f(x)=x3-x-1=Q的初始 近似值。 注意到fO)=-1<0,f2)=5>0 可见f(x)在区间[0,2]之间至少有一个实根。 设从x=0出发,取h=05为步长向x=2靠近,记录 各个节点上函数的符号,我们发现区间[1,15] 内必有实根,因此可取x=1.0或者x=15作为 根的初始近似值。 判断次数x0X0+hF(xo)F(ohF(×xh 0 0.5 13751.375>0 23 0.51 1375-1 1.375>0 1.5 0875-0.875<0
注意到f(0)= -1<0，f(2)=5>0 可见f(x)在区间[0,2]之间至少有一个实根。 设从x=0出发，取h=0.5为步长向x=2靠近，记录 各个节点上函数的符号，我们发现区间[1,1.5] 内必有实根，因此可取x0=1.0或者x0＝1.5作为 根的初始近似值。 判断次数 x0 X0+h F(x0) F(x0+h) F(x0)*f(x0+h) 1 0 0.5 -1 -1.375 1.375>0 2 0.5 1 -1.375 -1 1.375>0 3 1 1.5 -1 0.875 -0.875<0 ( ) 1 0 3 例题一 确定 f x = x − x − = 的初始 近似值
开始 输入:abhf(x) X0=a y0=f(×0 X0=x0+h Xo<b f(Xo)yo<=0 输出X 初始x设定不对 结束
开始 x0=a y0=f(x0) x0=x0+h 输入：a,b,h,f(x) x0<b f(x0)*y0<=0 输出x0 初始x0设定不对 结束 N N Y Y