方程根精确值的确定(1) 牛顿迭代法 求方程21的根,*,如果已知它的一个近似x2可利用y1r开式求出f)在x附近的线性近似,即 x与之间 忽略余项,则得方程②.1.1)的近似 f(2)(x2)+e(a2)(g-2x)=0 右端为的性方程,若(2)≠0,则爆水N体作E可作为()=(阅解新近似,即 f(r k+1 ,k=01 称为解方程2:.1)法在何上求方程(2)=0)解x*,即求曲线f()与轴点x*君已知x的一个近似x,通过点,f(x)作曲 线y()的订线,它与轴交点为xk+1,作为x新近似,如图23所示
方程根精确值的确定（1） 牛顿迭代法
注:牛顿迭代法是先确定根的某个初始近似值,然后用公式反复校 正根的近似值,使之逐渐精确化。 f(xn) k+1 y=f(a x3 I2
注：牛顿迭代法是先确定根的某个初始近似值，然后用公式反复校 正根的近似值，使之逐渐精确化。 ( ) ( ) 1 ' k k k k f x f x x + = x −
例题1 例用 Newton法求方程xe-1=(的根 解f(2)=xe2-1,y(x)=(x+1)e2,eoni代为 H15、-g k=0,1 x;+1 取x0=0.5,x1=0.57102,x2=0.56716,x3=0.56714,即为根xx的近似,它表明 Newton法收敛很快 迭代次数 Xk XK+1 Xk-XK+1 0 0.5 0.57102 -0.07102 0.57102 0.56716 0.00386 2 0.56716 0.56714 0.00002
例题1： 迭代次数 xk xk+1 xk-xk+1 0 0.5 0.57102 -0.07102 1 0.57102 0.56716 0.00386 2 0.56716 0.56714 -0.00002
弦截法求根: 由于牛顿法需要计算倒数,如果函数f(x)比较复杂,我们可以使用弦 截法,我们可以使用商差来替代牛顿公式中的倒数f(x),于是牛顿迭 代形式变为 k+1 f(k)-f(xk_p k-1 这个公式的几何意义在于 卫x+1 x+1紅kxk 弦截法的几何解释
弦截法求根： 由于牛顿法需要计算倒数，如果函数f(x)比较复杂，我们可以使用弦 截法，我们可以使用商差来替代牛顿公式中的倒数f’(x)，于是牛顿迭 代形式变为： 这个公式的几何意义在于 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 − − + − − = − k k k k k k k x x f x f x f x x x
例题2: 用弦截法求解方程xe-1=0 我们令f(x)=xe2-1 此时弦截迭代公式为: f(k) xX k+1 k X-X f(k)-f(k-p k-1 de XI-X k-1 k-1 取x0=0.5x1=06作为初始近似根 迭代次数 XK Xk XK+1 0.5 0.6 0.56532 2 0.6 0.56532 0.56715 3 0.56532 0.56715 0.56714
例题2： 用弦截法求解方程 我们令 此时弦截迭代公式为： −1= 0 x xe ( ) = −1 x f x xe ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 − − − − + − − − = − − − = − − x k k k x k x k k k k k k k k k x x x e x e x e x x x f x f x f x x x k k k 迭代次数 Xk－1 xk xk+1 1 0.5 0.6 0.56532 2 0.6 0.56532 0.56715 3 0.56532 0.56715 0.56714 取x0=0.5,x1=0.6 作为初始近似根