§1.1三维空间中的曲线 1.1.2空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率 考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率. 定义：曲率k(s)=)=rs) 曲率的意义一表征了曲线的切向量相对于弧长的转动速度。 其值的大小代表了曲线的弯曲程度。 (to i(s) 不o+41)o】 r(to+At) i(s+Ds) (s+Ds) 曲率和曲率矢量的定义不依赖于正则参数的选取 18
2022/11/24 18 § 1.1 三维空间中的曲线 § 1.1.2 空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率 r(t 0 ) r(t 0 ) [r(t 0 +t)−r(t 0 )] r(t 0 +t) O 考虑单位切向及其方向相对于弧长的变化率． 定义：曲率 t s ˆ( ) t s s ˆ( ) + D O r( )s r( ) s s + D 曲率和曲率矢量的定义不依赖于正则参数的选取． ˆ k s s s ( ) ( ) ( ) = = t r ⅱ ? 曲率的意义——表征了曲线的切向量相对于弧长的转动速度。 其值的大小代表了曲线的弯曲程度
§1.1三维空间中的曲线 §1.1.2空间曲线的重要几何量 定义 曲率半径；曲率矢量. 曲率— K(s)=is)=rXs) 曲率半径一 r(s)=1/k(s) 曲率矢量 —ts)=rXs)=k(s)(s) 其中，(s)是与t(s)正交的单位矢。且指向曲线的凹向。 i(s) i(s) i(s+Ds) Di/ts)l∥n(s) r(s) r(s+Ds) (s+Ds) 1121 19
2022/11/24 19 § 1.1 三维空间中的曲线 § 1.1.2 空间曲线的重要几何量 定义 曲率半径；曲率矢量． 其中， 是与 正交的单位矢。且指向曲线的凹向。 曲率—— ˆ k s s s ( ) ( ) ( ) = = t r ⅱ ? 曲率半径—— r( ) 1/ ( ) s k s = 曲率矢量—— t r n ˆⅱ( ) ( ) ( ) ( ) s s k s s = = ? ˆ n ˆ( )s ˆ t( )s t s ˆ( ) ˆ t s s ( ) + D O r( )s r( ) s s + D ˆ t( )s ˆ t( ) s s + D Dt t n ˆ // ( ) // ( ) ˆ¢s s ˆ q
§1.1三维空间中的曲线 1.1.2空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率 定义密切平面一曲线r(s)在s点的t,n所构成的平面 密切面方程 b(以 如果密切面上的点用P=(x,,1) 法平面 表示，则P”位于密切面内，即 (p-r,t,m)=0 密切平面 x1-X,Jy1-y,21-2 (1 xii a? 场平面 xii yi近 密切平面示意图 命b(s)=t(s)?s) 为曲线在s处的从法向单位矢，它是密切面的法线。 20
2022/11/24 20 § 1.1 三维空间中的曲线 § 1.1.2 空间曲线的重要几何量 一、曲线的曲率 b(t) 法平面 C r(t) n(t) 密切平面 t(t) 从切平面 O 密切平面示意图 密切面方程—— 如果密切面上的点用 定义 密切平面——曲线 (s)在s点的 t n ˆ , ˆ 所构成的平面 表示，则 1 1 1 ρ = ( , , ) x y z ρ- r 位于密切面内，即 1 1 1 ( , , ) 0 ˆ ˆ , , 0 x x y y z z x y z x y z - = - - - ⅱ ? = ⅱ ⅱ ⅱ ρ r t n 命 b t n ˆ ( ) ( ) ( ) s s s = ? ˆ ˆ 为曲线在s处的从法向单位矢，它是密切面的法线。 r
§1.1三维空间中的曲线 1.1.2空间曲线的重要几何量 曲线s)在s点的 t,n 密切面 t,b 所构成的平面 从切面 b(s) 元，b 法平面 法平面 二、曲线的挠率 n(s 描述曲线密切面方向变化引入挠率 密切平面 t(s) bds)=-t(s)i(s) 人切平面 由上式所确定的函数t(S)称为曲线在 s点的挠率 密切平面示意图 挠率的绝对值表示了曲线的密切面（或从法矢量）随s的旋转速率
2022/11/24 21 § 1.1 三维空间中的曲线 § 1.1.2 空间曲线的重要几何量 从切面 曲线 (s)在s点的 t n ˆ , ˆ 描述曲线密切面方向变化引入挠率 ˆ b n ¢( ) ( ) ( ) s s s = - t ˆ b(s) 法平面 C r(s) n(s) 密切平面 t(s) 从切平面 O 密切平面示意图 密切面 ˆ ˆ t b, 所构成的平面 ˆ n b ˆ , 法平面 二、曲线的挠率 由上式所确定的函数 称为曲线在 s点的挠率 t ( )s 挠率的绝对值表示了曲线的密切面（或从法矢量）随s的旋转速率 r
§1.1三维空间中的曲线 1.1.2空间曲线的重要几何量 三、曲线的曲率挠率的计算公式 1) 当曲线以弧长为参数表示时，即F=(s)=[x(S),y(S),(S)] 曲率 =F=《医)+()+（售） 挠率 1()=(安亚/Fs)月 2)当曲线以一般参数t表示 曲率 k(t)= dt 挠率t(t)= dt D112g 22
2022/11/24 22 § 1.1 三维空间中的曲线 § 1.1.2 空间曲线的重要几何量 1）当曲线以弧长为参数表示时，即 r r = = ( ) [ ( ), ( ), ( )] s x s y s z s 三、曲线的曲率挠率的计算公式 曲率 挠率 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) d x d z d y ds ds ds k s s = = + + rⅱ ( ) 2 t ( ) , , / ( ) s s = r r r r ⅱ ⅱ ⅱ ⅱ 2）当曲线以一般参数t 表示 曲率 3 2 2 ( ) d d d k t dt dt dt r r r = ? 挠率 2 2 3 2 2 3 2 ( ) , , d d d d d t dt dt dt dt dt t 骣ç ÷ = ? ç ÷ çç桫 ÷÷ r r r r r