设点P在视平邮P上象点的N矢量,在OXZ坐标下的N矢量为 (4.7) 内极平面在OYz坐标下的N矢量为 n=Nm,xm2]=k(m,×m2) (48) 视平面P2在OXYz坐标下的N矢量为 2) 内极线2在OYz坐标下的方向矢量为 mp=kInxne]=k(m, xmc Xnp, )=k(R,m, P2 (4.10) 其中 k,..k O化常数 内极线2在 坐标下的方向矢量为 kR!(Rm,xm。x 结论当立体视觉系统的内部参数已知时,对任意给定的视平面P上的点,可根 据其在上的N矢量m,利用(411)式求得其在视平上对应点2所在内极线D 的方向矢量mDE
设点P在视平面P1上象点的N矢量为m¢ I1 ，在OXYZ 坐标下的N矢量为 1 1 1 mI R mI = ¢ (4.7) 内极平面在OXYZ 坐标下的N矢量为 [ ] ( ) 1 2 1 1 C2 n = N mI ´ mC = k mI ´ m (4.8) 视平面P2 在OXYZ 坐标下的N矢量为 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ = (2) 33 (2) 23 (2) 13 2 r r r nP (4.9) 内极线DE2 在OXYZ 坐标下的方向矢量为 [ ] ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 1 C2 P2 DE P I C P I m = k n´n = k m ´ m ´ n = k R m ¢ ´ m ´ n (4.10) 其中，k ,k ,k 1 2 为归一化常数。 内极线DE2 在 O¢¢X ¢¢Y¢¢Z¢¢坐标下的方向矢量为 ( ) 2 2 1 1 C2 P2 I t DE m¢¢ = kR R m¢ ´ m ´ n (4.11) 结论:当立体视觉系统的内部参数已知时，对任意给定的视平面 P1 上的一点1 I ，可根 据其在P1上的 N 矢量 1 mI ¢ ，利用(4.11)式求得其在视平面P2 上对应点2 I 所在内极线 E2 D 的方向矢量 DE2 m¢¢
实际上,多数的立体视系统其摄象机之 间保持平行的关系,即满足 R1=R2 (4.12) 满足(4.12)式的立体视觉系统称为平行立 体视系统 42.2平行立体视中的内极线约束 为讨论方便,通常取P1的坐标系为世界坐标 系,即h=(000),R=R2=1 图44平行立体视与平移基矢量b 设=b=(b,b2,b),则称表示摄象机平移的矢量b=(b,b2,b)为平移基矢量。平移基 矢量b与摄象机坐标系的关系如图4.4所示 在不考虑N矢量方向的情况下,有 定理4.1平移基矢量为b的平行立体视在视平面上的内极点的N矢量为=N[b],所 有的内极线均过内极点 进一步,有, 命题4.1在基矢量为b的平行立体视中,过N矢量为m的点的内极线的N矢量n(m) 由下式给定 n(m)=Nmxb]1(413
实际上，多数的立体视系统其摄象机之 间保持平行的关系，即满足 R1 = R2 (4.12) 满足(4.12)式的立体视觉系统称为平行立 体视系统。 4.2.2 平行立体视中的内极线约束 为讨论方便，通常取P1 的坐标系为世界坐标 系，即 ( ) t h1 = 0 0 0 ， R = R = I 1 2 设 t h b (b ,b ,b ) 2 = = 1 2 3 ，则称表示摄象机平移的矢量 t b (b ,b ,b ) = 1 2 3 为平移基矢量。平移基 矢量b与摄象机坐标系的关系如图4.4所示。 在不考虑N矢量方向的情况下，有 定理 4.1 平移基矢量为 b 的平行立体视在视平面上的内极点的 N 矢量为u = N[b] ，所 有的内极线均过内极点。 进一步，有， 命题 4.1 在基矢量为 b 的平行立体视中，过 N 矢量为 m 的点的内极线的 N 矢量 n(m) 由下式给定, n(m) = N[m ´ b] (4.13) O X Y O' X' Y' o o' x y x' y' Z Z' P p p' b 图4.4 平行立体视与平移基矢量b
在立体视中实际可测的是视差,而视觉系统要求的却是距离,因此视差与距离 的关系是立体视系统研究的重要内容之 设空间点P在两个视平面上的N矢量分别为m和m,m与m之间的夹角为 0(0≤0≤),称为点P的视差 视差θ的大小,实质上反映了点P与两个视平面位置关系,由此可以计算获得 点P的三维信息。 称函数(m)=cos(m,m)在二维平面上所形成的二维图为视差图。 除了视差以外,视点O到空间点P的距离r(m)也反映P的空间位置,称函数 r(m)所形成的二维图为距离图。 命题42平移基矢量为b的平行立体视的距离图与视差图的关系如下, r(m)=(b, m)+b, m, n(m)ctge(m) (4.14) 其中,m(m)为内极线矢量,O为视差。 证明:如图44,用下列表示记矢量OP和OP OP=rm (4.15) OP=rm 其中r,r为正实数。从而有 b=rm-r'm (4.16)
在立体视中实际可测的是视差，而视觉系统要求的却是距离，因此视差与距离 的关系是立体视系统研究的重要内容之一。 设空间点 P 在两个视平面上的 N 矢量分别为 m 和 m' ，m 与 m'之间的夹角为 q( 2 0 p £q £ )，称为点 P 的视差。 视差q 的大小，实质上反映了点 P 与两个视平面位置关系，由此可以计算获得 点 P 的三维信息。 称函数 ( ) cos ( , ) 1 m m m - q = 在二维平面上所形成的二维图为视差图。 除了视差以外，视点 O 到空间点 P 的距离 r(m)也反映 P 的空间位置，称函数 r(m)所形成的二维图为距离图。 命题 4.2 平移基矢量为 b 的平行立体视的距离图与视差图的关系如下, r(m) = (b,m)+ || b,m,n(m) || ctgq (m) (4.14) 其中，n(m)为内极线矢量，q 为视差。 证明：如图 4.4，用下列表示记矢量 ® OP和 ® O¢P , O P r'm OP rm ¢ = = ® ® (4.15) 其中 r, r'为正实数。从而有 b = rm - r'm (4.16)
现在考虑矢量b,m,n的矢量混合积,并注意到 m×m=±sin6 (m,m×n)=0 于是有, b,m,n|=(b,m×n) r(m,m×n)-r'(m,m×n)=-r'(n,m×m) ±r'sin6 另一方面,对(416式两边作m标量积有,并考虑(m,m)=cose,于是有 (6, m)=(rm-rm', m)=r(m, m)-r'(m, m)=r-r'cos0 (4.1 将(417)式代入(418)式并整理,即得(4.14)式结果
现在考虑矢量b，m，n的矢量混合积，并注意到 m ´ m'= ±sinq (m,m´ n) = 0 于是有， 'sinq ( , ) '( ' , ) '( , ' ) | , , | ( , ) ( ' ' , ) r r m m n r m m n r n m m b m n b m n rm r m m n = ± = ´ - ´ = - ´ = ´ = - ´ (4.17) 另一方面，对(4.16)式两边作m的标量积有，并考虑(m,m') = cosq ，于是有 (b,m) = (rm - rm' ,m) = r(m,m) - r'(m' ,m) = r - r'cosq (4.18) 将(4.17)式代入(4.18)式并整理，即得(4.14)式结果
定理4.2基矢量为b的平行立体视的距离图与视差图满足 r(m)=(b,m)+‖1b×m‖ctge(m) (4.19) 证明:由于 1mm=1m.Nmx=mnm8=m×边x的=四x (4.20) 将其代入(414)式即得。 [证毕] 上述定理说明,距离图(m)可以由视差图和基矢量b唯一的确定。 命题42和定理42说明了,对于平行立体视,只要已知基矢量b和视差(m),距离 图r(m)就可以计算出来 由定理41知,基矢量为b的平行立体视的内极点为=Mb,即应有=,k20 从而有, 推论41设内极点的N矢量为u,则距离图可由下式计算。 r(m=kl(u, m)+ux mctg 0(m) (4.21)
定理4.2 基矢量为b的平行立体视的距离图与视差图满足 r(m) = (b,m)+ || b ´ m || ctgq (m) (4.19) 证明：由于 [ ] m b m b m b m b m b m b b m n m b m N m b b m = ´ ´ ´ ´ = ´ ´ = ´ = ( , ) , , ( ) , , , , (4.20) 将其代入(4.14)式即得。 [证毕] 上述定理说明，距离图r(m)可以由视差图q 和基矢量b唯一的确定。 命题4.2和定理4.2说明了，对于平行立体视，只要已知基矢量b和视差q (m)，距离 图r(m)就可以计算出来。 由定理4.1知，基矢量为b的平行立体视的内极点为u = N[b] ，即应有b = ku, k ³ 0 ， 从而有， 推论4.1 设内极点的N矢量为u，则距离图可由下式计算。 r(m) = k[(u,m)+ || u ´ m || ctgq (m)] (4.21)