《计算机视觉》课程教学资源（教材）附录B 摄象机模型和外极线几何

B2透枧投影的各种线性近似 从上节的讨论可以知道,透视投影实际是一个非线性映射。这在实际求解时可能需要大 的计算量:更重要的是,如果透视效果并不明显,直接使用该模型可能会使实际问题称为病 态问题。另外,在某些条件下,例如,摄象机的视场很小,并且物体的尺寸相对于到观察者 的距离也很小,透视模型可以很好地用线性模型近似。这种近似可大大简化推导和计算 为简单起见,如果不作特别说明的话,下面的讨论都认为像点用其归一化坐标表示,三 维点用其在摄象机坐标系中的坐标表示。 B1正投影( orthographic projection) 最简单的线性近似称为正投影。这种近似完全忽略了深度信息。在这种投影方式下,物 体到摄象机的垂直距离(深度信息)和物体到光轴的距离(位置信息)都完全丢失了。因此, 它只在这两种信息确实可以忽略时才可使用。 正投影的公式为x=X,y=Y。 B22弱透视( weak perspective) 如果物体的尺寸相对其到摄象机的距离很小的话,物体上各点的深度可以用一共同的深 度值Z近似,这个值一般取物体质心的深度。这样透视模型可近似为 X4y (B.18) 这种近似可以看作两阶段投影的合成。第一步,整个物体按平行于光轴的方向正投影到 经过物体质心并与图象平面平行的平面上:第二步,再按透视模型投影到图象平面上,这一 步实际是全局的放缩。因此,弱透视也被称为放缩正投影( scaled orthographic projection) 000 令P=0100 000Z 则弱透视模型可写成与透视投影类似的形式 将摄象机的内外参数都考虑进来,我们有 sm=APDM,其中s为一比例因子,A和D如上节定义。消去比例因子,我们看

229 B.2 透视投影的各种线性近似 从上节的讨论可以知道，透视投影实际是一个非线性映射。这在实际求解时可能需要大 的计算量；更重要的是，如果透视效果并不明显，直接使用该模型可能会使实际问题称为病 态问题。另外，在某些条件下，例如，摄象机的视场很小，并且物体的尺寸相对于到观察者 的距离也很小，透视模型可以很好地用线性模型近似。这种近似可大大简化推导和计算。 为简单起见，如果不作特别说明的话，下面的讨论都认为像点用其归一化坐标表示，三 维点用其在摄象机坐标系中的坐标表示。 B.2.1 正投影（orthographic projection） 最简单的线性近似称为正投影。这种近似完全忽略了深度信息。在这种投影方式下，物 体到摄象机的垂直距离（深度信息）和物体到光轴的距离（位置信息）都完全丢失了。因此， 它只在这两种信息确实可以忽略时才可使用。 正投影的公式为 x=X, y=Y。 B.2.2 弱透视（weak perspective） 如果物体的尺寸相对其到摄象机的距离很小的话，物体上各点的深度可以用一共同的深 度值 Z0 近似，这个值一般取物体质心的深度。这样透视模型可近似为 0 0 Z Y y Z X x = = (B.18) 这种近似可以看作两阶段投影的合成。第一步，整个物体按平行于光轴的方向正投影到 经过物体质心并与图象平面平行的平面上；第二步，再按透视模型投影到图象平面上，这一 步实际是全局的放缩。因此，弱透视也被称为放缩正投影（scaled orthographic projection）。 令           = 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 Z Pwp (B.19) 则弱透视模型可写成与透视投影类似的形式             =           1 1 Z Y X y P x s wp 。将摄象机的内外参数都考虑进来，我们有 APwpD w sm M ~ ~ = ，其中 s 为一比例因子，A 和 D 如上节定义。消去比例因子，我们看

到二维点和三维点的对应关系确实是线性的 下面我们来推导这种近似带来的误差。现在我们又回到归一化坐标系和摄象机坐标系 设三维点M的真正深度值为Z=Z0+ΔZ。该点按透视模型投影为m,而弱透视的结果为mvp, 我们用泰勒公式把Z在Z0处展开并略去高阶项,得到两者的差mmor为 X X mgrror-mp-m ZoEY z0(z0 Y」zLY △z,△Z,(△Z X△z 1+ year 我们可以看到有两种原因带来误差,一是。,即物体的深度信息:二是,即位 置信息。误差对物体的不同部分是不同的。在实际应用中为使用弱透视模型,一般要求 Z0>10△z B23平行透视( paraperspective projection) 在弱透视投影中,三维点先被正投影到过物体质心并与图象平面平行的平面上。这一过 程中丢失了物体的位置信息。如果物体离光轴较远,弱透视带来的误差是很大的。在平行透 视中,投影过程仍可分为两步,第一步仍是把物体平行投影到过质心且与象平面平行的平面 上,不过这次的投影线不是平行于光轴,而是平行于质心G和焦心C的连线C 容易得到平行透视的公式为 Z+X Lr-Yo z 其中(X0,Yo,Z0)为质心的三维坐标。 为将该模型写成与透视投影类似的形式,我们令 01 (B.21) 230

230 到二维点和三维点的对应关系确实是线性的。 下面我们来推导这种近似带来的误差。现在我们又回到归一化坐标系和摄象机坐标系。 设三维点 M 的真正深度值为 Z=Z0+Z。该点按透视模型投影为 mp，而弱透视的结果为 mwp， 我们用泰勒公式把 Z 在 Z0 处展开并略去高阶项，得到两者的差 merror为        = −        +  = −               −           +  −  = −       −              −           +  = −       −      +  = − = Y X Z Z Y Z X Z Z Z Z Y X Z Z Z Z Z Z Y X Y Z X Z Z Z Z Y Z X Y Z X Z Z error p wp 0 0 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m 我们可以看到有两种原因带来误差，一是 Z0 Z ，即物体的深度信息；二是       Y X ，即位 置信息。误差对物体的不同部分是不同的。在实际应用中为使用弱透视模型，一般要求 Z0>10*|Z|。 B.2.3 平行透视（paraperspective projection） 在弱透视投影中，三维点先被正投影到过物体质心并与图象平面平行的平面上。这一过 程中丢失了物体的位置信息。如果物体离光轴较远，弱透视带来的误差是很大的。在平行透 视中，投影过程仍可分为两步，第一步仍是把物体平行投影到过质心且与象平面平行的平面 上，不过这次的投影线不是平行于光轴，而是平行于质心 G 和焦心 C 的连线 CG。 容易得到平行透视的公式为         = − +         = − + 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Z Y Z Y Y Z y Z X Z X X Z x (B.20) 其中(X0,Y0,Z0)为质心的三维坐标。 为将该模型写成与透视投影类似的形式，我们令                 − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 Z Y Z Y X Z X Ppp (B.21)