8 H=r(:-) (1-26) 取一余弦（或正弦）函数作为波动方程的特解，于是 EAcos) (1-27) He[(:-】 1-28) 或写成标量形式⊙ E=4co(t-引 (1-29) ucom) (1-30) 二、平面波的波动公式 式(1-29)和(1-30)通常称为平面简谐被的被动公式，对于光波来说，它们就是平面单色 光波的波动公式。式中A和不分别是电振动和磁振动的振幅，。是角领率。余弦项的宗量 [©：-台】紧为位相，它是一个十分重要的盒，它决定容平面泼在传摇销上备点引起的获 动的状态。角频率。和平面波振动颜率ⅴ的关系为 0=2xv=2其宁 (1-31) T为周期。周期T与速度的乘积称为波长（），即 A=v.T (1-32) 由于平面波的传搔速度随介质而异，而领率与介质无关，因此在不同的介质中，波长有不同 的数值。在真空中平面波的传播速度为©，所以在真空中平面波的波长 λa=e·T (1-33) 易见和x,的关系为 1 =A. (1-340 n是平面被在其中传播的介质的折射率， 引入沿波传潘方向的波矢量，其大小（通常称波数）为 = (1-35) 利用这些关系，可以把波动公式(1-29)写成下列两种形式 B=4o2x(作-】 (1-36) E=Acos(ot-kx) (1-37) 以后为说明问题方便起见，将根据不同的情况使用这些公式 要究光的振动方向 可用标量波妻示
单色光波波动公式(1-37)〔或(1-36)和(1-29)最显著的特点是它的时间周期性和空间周 期性，它表示单色光波是一种时间无限延续、空间无限延伸的波动，而任何时间周期性和空 间周期性的破坏，都意味若单色光波单色性的破环。为了表示单色光被的空间周期性，往往 将被长1系为单色光波的空间周期，子移为空同领率，常议数4(~二)路为空间角频水。 单色光波的时间周期性和空间周翔性紧密相关，彼此通过传播速度”由式(1-32)联系。 这里，我们有意把磁矢量撤开了，因为我们的注意力是光学问题，而对于光来说，虽然 它亦包含电矢量和磁矢量，并从波的传播来看，电矢量和磁矢量处于同等的地位，但从光与 物质的作用来看，两者并不相同。例如光波的电磁场对物质中带电粒子的作用，磁场的作用 远比电场为弱。此外，实验证明使照相底板感光的是电场而不是磁场（见§2-2），对视网膜起 作用的也是电场而不是磁场，所以通常把电矢量E称为光矢量，把E的振动称为光振动。在 时论光的振动性质时，只考虑电矢量E即可。 三、复致形式的波动公式 为了运算方便起见，常常把平面波的波动公式写成复数形式。例如波动公式(13)，实 际上是复数表式的实数部分，写成 E=Re(Ae(-门 式中i=√一I,R()表示括号中复数的实数部分。在实际应用中，为简单起见可以省去 表示实数部分的符号，而写成 B=Aeit-) (1-38) 这种替代完全是形式上的，目的是用比较简单的指数函数运算来代替比较繁琐的三角运算， 使计算大大简化。例如，在光学的许多问题里，求振幅的平方4很重要，决定者能量（光 强度)，而要求得，只需将复数E乘以其共轭复数E,即 E.Es=deitss-0).Ae-(-= 41-39) 复数波动公式(1-38)也可将时间位相因子和空间位相因子分开写为 E=Me-iml.eit Ee- 而将振幅和空间位相因子 登=Ae4 (1-40) 称为复振辆。在许多情况下，如果我们不考虑光波随时间的变化，可用复振幅表示光波，使 计算公式简化。 应该指出，上述几个波动公式是假设平面波沿￥方向传播得出的，但容易了解沿空间某 一方向S传播的平面波（图1-5）的波动公式为 E=Acxp(六i[w-k(r·)l} 式中r为平面被面上任一点P(x、y、?)的位置矢量，S,为S方向的单位矢。由于k方向与 S方向相同，所以上式又可写为 E=Aexp[i(k·r-a:) (1-41) 相应的复振韬 龙-Aexp[i(k·r)】 (1-42) 没S方向的方向余弦（即单位矢S,在￥、y、￥座标轴上的投影）为cosa,cosB,cosY,那
0 末式(1-41)又可以写成 E=Ae-icl-M4ypbtcom (1-43) 而复振幅 E=(su (1-44) 四。平面电磁波的基太性后 最后，我们利用麦克斯串方程组来讨论 平面简谐电磁波的一些基本性质。设平面波 沿x方向传播，因而可以写成 E=Ae- 和 H=4e- 1.横向性由麦克斯韦方程组(1-15) 第一式，在远离辐射源区域(P=0),有 7.D=0 因此 V·Dwet·E （温++) aE =ikex。,E=0 (1-45) 图1-5沿S方向传播的平面波 式中x、y、,为x、y、z座标轴的单位矢，这里假设平面波沿￥方向传播。由式子可见，E 在x方向的分量为零，即电矢量的振动方向恒垂直于被的传播方向。同样，磁矢量的振动方 向也垂直于波的传播方向，因为由方程组(1-15)第二式 V…B=μVH=ix,H=0 (1-46) 由此得出结论：平面电磁波是横波，其电矢量和磁矢量的振动方向垂直于波的传播方向。 2.E和H互相垂直。由方程组(1-15)第三式 VxE=-0t B 由于 识。-ioH,xE=,xE 所以 ionH=ikx。XE 按照式(1-35)和(1-17) 2 最后得到 √μH=√/E(x,×E) (1-47) 可见，E和H互相垂直，彼此又垂直于被的传播方向x。，、E和H三者构成右手螺旋系 统。 3.E和H同相。根据式(1-47)，有
11 √FH=√EE 所以 (1-48) 式子表明，E和H的数值之 y 比为一正实数，因此两矢量有 同样的位相，传播时同步地变 化。 综合上面的讨论，可以把 一个沿x方向传播的，电矢 量限于xoy平面的EH料合 平面简谐电磁被表示如图 1-6。 图1-6E锅合的平面简谐电磁波 §1-4 球面波和柱面波的波动公式 前面已经讨论过平面被的情况，现在再来讨论两种常见的情况，即点光源和线光源所发 出的光波。如果在真空中或各向同性的介质 中的0点放一个点光源，容易想象，从0点 发出的光波将以相同的速度向各个方向传 播.经时一定时间以后电磁根动所到达的 各点将构成一个以O点为中心的球面（图 1-7),即波阵面是球面，这种波称为球面 波。球面波阵面上各点的位相相同，因此贝 要研究从0点出发的任一方向（例如OR方 向)上各点的电磁场变化规律，就可以了解 整个空间电磁场的情况。 我们仍然研究最简单的单色光被。考 虑波动沿OR方向传搔，显然距O点为的 P点的位相为：-或〔t-kr(假 图1-7球而被示忘图 设O点的初位相为零)，P点振幅用A,表示，则P点的电矢量可以袋为 E=A.cos(ot-kr) (1-49) 或 E =A.e-i(er-Ar) (1-50) 球面波的振幅A,是随距离，变化的，因为单位时间内通过任一球面（波面）的能量相同， 而随者球而的扩大单位时间内通过单位面积的能量将越来越少。设距0点为单位距离的O,点 和距0点为r的P点的光强分别用1，和1，表示，那末 1,×4=1p×4πr
12 所以 会县 (1-51) 在下一节里我们将要说明光强与振幅的平方成正比，即 (1-52) 式中A,为O,点的振幅，由上面两式易见 (1-53) 代入式(1-50)，得到 B=ALe-ier- (1-540 这就是球面波的被动公式，它表明球面波的振幅与离开波源的距离成反比。 柱面波是一个无限长的线光源发出的光波，它的波阵面具有柱面的形状。用同样的方法 可以证明，柱而波的振船与√下成反比，因此，柱面被的波动公式可以写为 (1-55) 实际上，严格的球面波和柱面波都是不能实现的，因为光源都有一定的大小，只是在距 离：比光源的线度大小大得多的情况下，可以近似地把光波看成是球面波或柱面波。 §1-5光波的辐射，辐射能 前面已经说明了光是电磁波，那么光源发光就是物体辐射电磁波的过程，这个问题同样 可以利用电磁场理论加以讨论。我们知道，一个物体微观上可以认为是由大量分子、原子和 电子所组成，因而可看作是一个电荷体系。大部分物体发光属于原子发光类型，因此，可以 只研究原子辐射电磁波的情况。 一、电偶极于辐射模型 经典电磁场理论把原子发光看作是原子内部过程形成的电偶极子的辐射。原子由带正电 的原子核和绕核运动的带负电的电子组成，在外界能量的激发下，由于原子核和电子的离烈 运动和相互作用，原子的正电中心和负电中心常不重合，目正负电中心的距离在不断地变化， 因而形成一个振荡电偶极子。设原子核所带的电荷为9，正负电中心的距离为（方向由负电 中心指向正电中心)，则原子的电矩 D=gl (1-56) 最为简单的振荡电偶极子是电矩随时间作正弦或余弦变化（简谐变化）的电偶极子，其电矩D 可表为 p=P.cos (1-57) 式中P是电偶极子电矩的振幅（电矩的最大值），①是角频率。 既然原子是一个振荡电偶极子，它必定在周围空间产生变化的电磁场，即辐射出光波。 图1-8表示电偶极子的电矩在作简谐变化时，电偶极子附近的电力线分布格况。其中图1-8