随机事件的概率 选择题 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人,每个人分得 1张,事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是 A.对立事件B.不可能事件C.互斥但不对立事件D.以上 均不对 【答案】C 【解析】本题要区分“互斥”与“对立”二者的联系与区别,主要体现在 (1)两事件对立,必定互斥,但互斥未必对立;(2)互斥概念适用于多个事 件,但对立概念只适用于两个事件;(③3)两个事件互斥只表明这两个事件 不能同时发生,即至多只能发生其中一个,但可以都不发生;而两事件对 立则表示它们有且仅有一个发生 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件,这两个事 件可能恰有一个发生,一个不发生,可能两个都不发生,所以应选C 2.甲乙两人独立的解同一道题甲乙解对的概率分别是p13P2,那么至少有1人解对 的概率 是 A.p1+P2B.P1·P2C.1-p1P2D.1-(1-p1)(1-p2) 【答案】D 【解析】:这是考虑对立事件,两人都没做对的概率为(1-P1)(1-P2),至少有
随机事件的概率 一． 选择题 1 把红、黑、白、蓝 4 张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每个人分得 1 张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ） A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上 均不对 【答案】 C 【解析】 本题要区分“互斥”与“对立”二者的联系与区别，主要体现在 ： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事 件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件 不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对 立则表示它们有且仅有一个发生． 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事 件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选 C． 2．甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是 1 2 p , p ,那么至少有 1 人解对 的概率 是 （ D ） A. p1 + p2 B. p1 p2 C. 1 p1 p2 − D. 1 (1 ) (1 ) 1 2 − − p − p 【答案】D 【解析】：这是考虑对立事件，两人都没做对的概率为 1 2 (1 ) (1 ) − − p p ，至少有
1人做对为1-(1-p)(1-p2) 3甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现 任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇 的概率为 C 【答案】:D乙 【解析】:甲,乙两队分别分到同组的概率为P=1,不同组概率为P=2,又 各队取胜概率为 甲、乙两队相遇概率为P=-+二 11故选D 33222 4.(2010辽宁)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别为二和 3,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概 率为( (B 【答案】B. 21135 【解析】所求概率为×-+ 43412 5.(2010.北京)从[12345中随机选取一个数为a,从123中随机选取一个数 为b,则b>a的概率是 (C 答案】选D 分析:先求出基本事件空间包含的基本事件总数n,再求出事件“b>a"包含 的基本事件数m,从而P(4)=m。 解析】Ω={(a,b)a∈{2,3,4,5},b∈{2,3},包含的基本事件总数n=15。事
1 人做对为 1 (1 ) (1 ) 1 2 − − p − p 3.甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现 任意将这 4 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇 的概率为 A． 1 6 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 【答案】：D 乙 【解析】：甲，乙两队分别分到同组的概率为 1 1 3 P＝ ，不同组概率为 1 2 3 P＝ ，又∵ 各队取胜概率为 1 2 ，∴甲、乙两队相遇概率为 1 2 1 1 1 3 3 2 2 2 P＝ + ＝ ，故选 D . 4.（2010·辽宁）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为 2 3 和 3 4 ，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概 率为（ ） （A） 1 2 (B) 5 12 (C) 1 4 (D) 1 6 【答案】B. 【解析】所求概率为 2 1 1 3 5 3 4 3 4 12 + ＝ 。 5.（2010·北京）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a，从{1,2,3}中随机选取一个数 为 b，则 b>a 的概率是（ ） （A） 4 5 (B) 3 5 （C） 2 5 (D) 1 5 【答案】选 D 分析：先求出基本事件空间包含的基本事件总数 n ，再求出事件“ b a ”包含 的基本事件数 m ，从而 ( ) m P A n = 。 【解析】 = {( , ) | {1,2,3,4,5}, {1,2,3}} a b a b ，包含的基本事件总数 n =15 。事
件“b>a”为{(,2.(1,3)(2,3)},包含的基本事件数为m=3。其概率P31 6.(2011全国课标文(6))有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中 个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个 兴趣小组的概率为() (C) 2 (D 【答案】A 【解析】甲,乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3=9(种),其中 甲,乙两人参加同一小组情况有3种,故甲,乙两人参加同一个兴趣小组的概率 为P 31 7.(2012高考安徽文10)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个 红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 (A) (D) 【答案】B 【解析】1个红球,2个白球和3个黑球记为a,b1b2C12C2C3 从袋中任取两球共育41;a2b2,;;4,与;b;b1C;b12b115种 b,, C: b2, C2: b2, C3: C,C2; C1, C3: C2, C3 满足两球颜色为一白一黑有6种,概率等于 155 8.(2010辽宁)(3)两个实习生每人加工一个零件加工为一等品的概率分别 为二和二,两个零件是 否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
件“ b a ”为 {(1,2),(1,3),(2,3)} ，包含的基本事件数为 m = 3 。其概率 3 1 15 5 P = = 。 6.（2011 全国课标文（6））有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一 个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个 兴趣小组的概率为（ ） （A） （ 1 3 ） （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 【答案】A 【解析】甲，乙两位同学参加 3 个小组的所有可能性有 3×3＝9（种），其中 甲，乙两人参加同一小组情况有 3 种，故甲，乙两人参加同一个兴趣小组的概率 为 3 1 9 3 P = = 7.（2012 高考安徽文 10）袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个 红球，2 个白球和 3 个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （A） 1 5 （B） 2 5 （C） 3 5 （D） 4 5 【答案】B 【解析】1 个红球，2 个白球和 3 个黑球记为 1 1 2 1 2 3 a b b c c c , , , , , 从袋中任取两球共有 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3 , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , , ; , ; , ; , ; , ; , a b a b a c a c a c b b b c b c b c b c b c b c c c c c c c 15 种； 满足两球颜色为一白一黑有 6 种，概率等于 6 2 15 5 = 8.（2010 辽宁）（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别 为 2 3 和 3 4 ，两个零件是 否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 （A） 1 2 (B) 5 12 (C) 1 4 (D) 1 6
【答案】B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A,则 P(A=PA)+P(A2=2×1+1×3=5 填空题 1.(2009湖北卷文)甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别 是0.8、0.6、05,则三人都达标的概率是 三人中至少有一人达标 的概率是 【答案】0.24076 【解析】三人均达标为0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为1-0.24=0.76 2(2010福建高考)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手 若能连续回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮。假设某选手正确回答每个 问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4 个问题就晋级下一轮的概率等于 【答案】0.128 【解析】依题意得:该选手第一个问题可以答对也可以答错,第二个问题一定回 答错误,第三、四个问题一定答对,所以其概率 P=1×0.2×0.8×08=0.128 解答题 1.(2010四川文数)(17) 某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶 若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为甲、乙、丙三位同学 每人购买了一瓶该饮料。 1)求三位同学都没有中奖的概率
【答案】B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A，则 P(A)=P(A1)+ P(A2)= 2 1 1 3 3 5 + = 4 3 4 12 二． 填空题 1. （2009 湖北卷文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别 是 0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标 的概率是 。 【答案】0.24 0.76 【解析】三人均达标为 0.8×0.6×0.5=0.24,三人中至少有一人达标为 1-0.24=0.76 2（2010·福建高考）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中，选手 若能连续．．回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个 问题的概率都是 0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 。 【答案】0.128 【解析】依题意得：该选手第一个问题可以答对也可以答错，第二个问题一定回 答错误，第三、四个问题一定答对，所以其概率 P 1 0.2 0.8 0.8 0.128 = = . 三． 解答题 1.（2010 四川文数）（17） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶 若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 1 6 .甲、乙、丙三位同学 每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；
()求三位同学中至少有两位没有中奖的概率 分析:由题设可知三位中奖的概率,由相互独立事件同事发生求得都没有中奖的 概率。先算出都没中奖和只有一人中奖的概率,再由对立事件求得。 解:(1)设甲、乙丙中奖的事件分别为A,B,C,那么P(A)=P(B)=p(C) P(AB.C)=P(A)P(B)P(C)=(2)3 216 答:三位同学都没有中奖的概率是23 ()1-PB.C+A1BC+A,Bc+AB.C)=1-3×()x×5-(2y=2 6 答:三位同学中至少有两位没有中奖的概率为25 2.(2011湖南文18) 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时) 与该河上游在六月份是我降雨量Ⅹ(单位:毫米)有关,据统计,当X=70 时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为:140,110,1 70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140, 160 (I)完成如下的频率分布表 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 110 160 频率 (Ⅱ)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并 将频率是为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千 瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率
（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率. 分析：由题设可知三位中奖的概率，由相互独立事件同事发生求得都没有中奖的 概率。先算出都没中奖和只有一人中奖的概率，再由对立事件求得。 解：（Ⅰ）设甲、乙丙中奖的事件分别为 A，B，C，那么 1 ( ) ( ) ( ) 6 P A P B p C = = = 3 125 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 216 P A B C P A P B P C = = = 答：三位同学都没有中奖的概率是 125 216 （Ⅱ） 1 ( ) − + + + P A B C A B C A B C A B C 1 5 1 25 2 3 1 3 ( ) ( ) 6 6 6 27 = − − = 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 25 27 2.（2011 湖南文 18）． 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量 Y（单位：万千瓦时） 与该河上游在六月份是我降雨量 X（单位：毫米）有关，据统计，当 X=70 时，Y=460；X 每增加 10，Y 增加 5．已知近 20 年 X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. （Ⅰ）完成如下的频率分布表 近 20 年六月份降雨量频率分布表 降雨量 70 110 140 160 200 220 频率 1 20 4 20 2 20 （Ⅱ）假定今年六月份的降雨量与近 20 年六月份降雨量的分布规律相同，并 将频率是为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于 490（万千 瓦时）或超过 530（万千瓦时）的概率．