第十三章静电场中的导体和电介质 13.1一带电量为q,半径为r的金属球A,与一原先不带电、内外半径分别为 和rc的金属球壳B同心放置,如图所示,则图中P点的电场强度如何?若用导线将A和B 连接起来,则』球的电势为多少?(设无穷远处电势为零) [解答]过P点作一个同心球面作为高斯面,尽管金属球壳内侧会 感应出异种,但是高斯面内只有电荷φ.根据高斯定理可得 E4/2=gco 可得P点的电场强度为 q nLE 图13.1 当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q时,外侧将出现同种电荷φ.用导线将A和B连 接起来后,正负电荷将中和.A球是一个等势体,其电势等于球心的电势.A球的电势是球 壳外侧的电荷产生的,这些电荷到球心的距离都是r所以』球的电势为 q 4IEoc 13.2同轴电缆是由半径为R1的导体圆柱和半径为R2的同轴薄圆筒构成的,其间充满 了相对介电常数为G的均匀电介质,设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+和- 则通过介质内长为l半径为r的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少?圆柱面上任一点的 场强为多少? [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径之间作一个半径为f 长为/的圆柱形高斯面,根据介质中的高斯定理,通过圆柱面的电位移通量等于该面包含的 自由电荷,即中=q= 设高斯面的侧面为S,上下两底面分别为S和.通过高斯面的少 电位移通量为 p,=ND ds= DdS+ DdS+ DdS=-2TvrD 可得电位移为 D=2π, 其方向垂直中心轴向外 电场强度为 E=DcoG =/2Tcoer, 方向也垂直中心轴向外 13.3金属球壳原来带有电量g,壳内外半径分别为a、b,壳 内距球心为r处有一点电荷φ,求球心O的电势为多少? 解答点电荷q在内壳上感应出负电荷-φ,不论电荷如何分布 距离球心都为a.外壳上就有电荷φ+Ω,距离球为b.球心的电势 是所有电荷产生的电势叠加,大小为 图13
1 第十三章 静电场中的导体和电介质 P70． 13．1 一带电量为 q，半径为 rA的金属球 A，与一原先不带电、内外半径分别为 rB 和 rC的金属球壳 B 同心放置，如图所示，则图中 P 点的电场强度如何？若用导线将 A 和 B 连接起来，则 A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零） [解答]过 P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会 感应出异种，但是高斯面内只有电荷 q．根据高斯定理可得 E4πr 2 = q/ε0， 可得 P 点的电场强度为 2 ． 0 4π q E ε r = 当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷 q．用导线将 A 和 B 连 接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球 壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是 rC，所以 A 球的电势为 ． 0 4π C q U ε r = 13．2 同轴电缆是由半径为 R1的导体圆柱和半径为 R2的同轴薄圆筒构成的，其间充满 了相对介电常数为εr的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线和圆筒的带电量分别为+λ和-λ， 则通过介质内长为 l，半径为 r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的 场强为多少？ [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为 r、 长为 l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通量等于该面包含的 自由电荷，即 Φd = q = λl． 设高斯面的侧面为 S0，上下两底面分别为 S1和 S2．通过高斯面的 电位移通量为 d d ， S Φ = ⋅ Ñ∫ D S 0 1 2 d d d 2π S S S = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∫ ∫ ∫ D S D S D S D S D S D S D S D S D S D S D S D S rlD 可得电位移为 D = λ/2πr， 其方向垂直中心轴向外． 电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εrr， 方向也垂直中心轴向外． 13．3 金属球壳原来带有电量 Q，壳内外半径分别为 a、b，壳 内距球心为 r 处有一点电荷 q，求球心 O 的电势为多少？ [解答]点电荷 q 在内壳上感应出负电荷-q，不论电荷如何分布， 距离球心都为 a．外壳上就有电荷 q+Q，距离球为 b．球心的电势 是所有电荷产生的电势叠加，大小为 q O b a r 图 13.3 B O A P rA rC rB 图 13.1 D S1 S2 S0 R r 2 R1 εr l
4 q 0+q 4丌Ea4πE。b 13.4三块平行金属板A、B和C,面积都是S=100cm2,A、B相距d=2mm,A、C 相距a=4mm,B、C接地,』板带有正电荷φ=3×10C,忽略边缘效应.求 (1)B、C板上的电荷为多少? (2)A板电势为多少? [解答](1)设A的左右两面的电荷面密度分别为O和O2,所带 电量分别为 乐=a1S和=a2S, 在B、C板上分别感应异号电荷-q和-,由电荷守恒得方程 q=q1+q=听1 A、B间的场强为 图134 A、C间的场强为 E2=alco 设A板与B板的电势差和A板与C板的的电势差相等,设为△U,则 △=E1d1=E2d id1=ods 解联立方程①和③得 a1=gd/(d+d) =a1S=yh(ah+a)=2×1030) 1×103(C B、C板上的电荷分别为 =v9=2×10°(C) qc==-1×103(C) (2)两板电势差为 AU=Ed=adle=gddyleo s(d+d,), 由于k=9×109=14xo,所以a=10%36x,因此 △b/=144x=4524(V) 由于B板和C板的电势为零,所以 U/=△C=4524(V) 13.5一无限大均匀带电平面A,带电量为q,在它的附近放一块与 平行的金属导体板B,板B有一定的厚度,如图所示.则在板B的两个表图 面1和2上的感应电荷分别为多少? [解答]由于板B原来不带电,两边感应出电荷后,由电荷守恒得 + 虽然两板是无限大的,为了计算的方便,不妨设它们的面积为S,则面 电荷密度分别为 图13.5 它们产生的场强大小分别为
2 0 0 0 1 1 1 4π 4π 4π O q q Q q U ε ε ε r a b − + = + + 13．4 三块平行金属板 A、B 和 C，面积都是 S = 100cm2，A、B 相距 d1 = 2mm，A、C 相距 d2 = 4mm，B、C 接地，A 板带有正电荷 q = 3×10-8C，忽略边缘效应．求 （1）B、C 板上的电荷为多少？ （2）A 板电势为多少？ [解答](1)设 A 的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带 电量分别为 q1 = σ1S 和 q2 = σ2S， 在 B、C 板上分别感应异号电荷-q1和-q2，由电荷守恒得方程 q = q1 + q2 = σ1S + σ2S． ① A、B 间的场强为 E1 = σ1/ε0， A、C 间的场强为 E2 = σ2/ε0． 设 A 板与 B 板的电势差和 A 板与 C 板的的电势差相等，设为ΔU，则 ΔU = E1d1 = E2d2， ② 即 σ1d1 = σ2d2． ③ 解联立方程①和③得 σ1 = qd2/S(d1 + d2)， 所以 q1 = σ1S = qd2/(d1+d2) = 2×10-8(C)； q2 = q - q1 = 1×10-8(C)． B、C 板上的电荷分别为 qB = -q1 = -2×10-8(C)； qC = -q2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为 ΔU = E1d1 = σ1d1/ε0 = qd1d2/ε0S(d1+d2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0，所以ε0 = 10-9 /36π，因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于 B 板和 C 板的电势为零，所以 UA = ΔU = 452.4(V)． 13．5 一无限大均匀带电平面 A，带电量为 q，在它的附近放一块与 A 平行的金属导体板 B，板 B 有一定的厚度，如图所示．则在板 B 的两个表 面 1 和 2 上的感应电荷分别为多少？ [解答]由于板 B 原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得 q1 + q2 = 0． ① 虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为 S，则面 电荷密度分别为 σ1 = q1/S、σ2 = q2/S、σ = q/S， 它们产生的场强大小分别为 q B A C 图 13.4 P q1 q2 B A q 图13.5
E1=a1lao、E2=a2l0、E=0 在B板内部任取一点P,其场强为零,其中1面产生的场强向右,2面和A板产生的场 强向左,取向右的方向为正,可得 E1-E2-E=0, a1-a2-a=0, 或者说 -+q=0. 解得电量分别为 2=y2,q=-=-y2 13.6两平行金属板带有等异号电荷,若两板的电势差为120V,两板间相距为1.2mm, 忽略边缘效应,求每一个金属板表面的电荷密度各为多少? [解答]由于左板接地,所以σ=0. 由于两板之间的电荷相互吸引,右板右面的电荷会全部吸引到右板 左面,所以a=0 由于两板带等量异号的电荷,所以 a=-0 两板之间的场强为 图136 而E=C,所以面电荷密度分别为 a=4E=a0=884×10Cm2), 884×10(Cm2) 13.7一球形电容器,内外球壳半径分别为R和R,球壳与地面及其他物体相距很远将 内球用细导线接地。试证:球面间电容可用公式C=0表示 R-R (提示:可看作两个球电容器的并联,且地球半径>R2) 令!证明方法一:并联电容法.在外球外面再接一个半径为R大外球壳,外壳也接地.内 球 和外球壳之间是一个电容器,电容为 =4πE 4Ts.RR2 1/R-1/ 外球壳和大外球壳之间也是一个电容器,电容为 C2=401/R-1/R 外球壳是一极,由于内球壳和大外球壳都接地,共用一极,所以两个电容并联,当R 趋于无穷大时,C2=4πaR2.并联电容为 C=G+C2=4rEA名 4E0R2 R R-R 方法二:电容定义法,假设外壳带正电为q,则内壳将感应电荷q内球的电势是两个 电荷产生的叠加的结果.由于内球接地,所以其电势为零;由于内球是一个等势体,其球 心的电势为
3 E1 = σ1/ε0、E2 = σ2/ε0、E = σ/ε0． 在 B 板内部任取一点 P，其场强为零，其中 1 面产生的场强向右，2 面和 A 板产生的场 强向左，取向右的方向为正，可得 E1 - E2 – E = 0， 即 σ1 - σ2 – σ = 0， 或者说 q1 - q2 + q = 0． ② 解得电量分别为 q2 = q/2，q1 = -q2 = -q/2． 13．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为 120V，两板间相距为 1.2mm， 忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？ [解答]由于左板接地，所以σ1 = 0． 由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板 左面，所以σ4 = 0． 由于两板带等量异号的电荷，所以 σ2 = -σ3． 两板之间的场强为 E = σ3/ε0， 而 E = U/d，所以面电荷密度分别为 σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m-2)， σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m-2)． 13．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为 R1和 R2，球壳与地面及其他物体相距很远．将 内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式 表示． 2 0 2 2 1 4π R C R R ε = − （提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径 R>>R2） [证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为 R3大外球壳，外壳也接地．内 球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为 1 2 1 0 0 1 2 2 1 1 4π 4π 1/ 1/ R R C R R R R = = ε ε − − 外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为 2 0 ． 2 3 1 4π 1/ 1/ C R R = ε − 外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当 R3 趋于无穷大时，C2 = 4πε0R2．并联电容为 1 2 0 0 2 1 2 ． 2 1 4π 4π R R C C C R R R = + = + ε ε − 2 0 2 2 1 4π R R R ε = − 方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q，则内壳将感应电荷q'．内球的电势是两个 电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球 心的电势为 σ1 σ2 σ3 σ4 图 13.6 O R2 R1 R3
4兀E0R24πE0 因此感应电荷为 R 根据高斯定理可得两球壳之间的场强为 4024x2 负号表示场强方向由外球壳指向内球壳 取外球壳指向内球壳的一条电力线,两球壳之间的电势差为 U=「E.dl=「dr=(Rq)d FORr Rq11、(B2-R)q 4πE0R2RR4πc0R2 球面间的电容为 C=_4IEoR2 U R-R 13.8球形电容器的内、外半径分别为R1和R2,其间一半充满相对介电常量为的均 匀电介质,求电容C为多少? [解答]球形电容器的电容为 C=4πEo RR 1/R-1/R R2-R 对于半球来说,由于相对面积减少了一半,所以电容也减少 图13.8 2πE0RR2 R2-R1 当电容器中充满介质时,电容为: 2兀E0E1R1R2 R,-R 由于内球是一极,外球是一极,所以两个电容器并联 C=C+C 2TEo(1+E)RR R2-R
4 ， 0 2 0 1 0 4π 4π q q ε ε R R ′ + = 因此感应电荷为 1 ． 2 R q q R ′ = − 根据高斯定理可得两球壳之间的场强为 2 2 1 ， 0 0 2 4π 4π q R q E ε ε r R r ′ = = − 负号表示场强方向由外球壳指向内球壳． 取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为 1 1 2 2 d d R R R R U E r = ⋅ = ∫ ∫ E l 1 2 1 2 0 2 ( )d 4π R R R q r ε R r = − ∫ 1 2 1 2 0 2 1 2 0 2 1 1 ( ) ( ) 4π 4π R q R R q ε ε R R R R − = − = 球面间的电容为 ． 2 0 2 2 1 q 4π R C U R R ε = = − 13．8 球形电容器的内、外半径分别为 R1和 R2，其间一半充满相对介电常量为εr 的均 匀电介质，求电容 C 为多少？ [解答]球形电容器的电容为 0 0 1 2 ． 1 2 2 1 1 4π 4π 1/ 1/ R R C R R R R = = ε ε − − 对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一 半： 1 0 1 2 ． 2 1 2π R R C R R ε = − 当电容器中充满介质时，电容为： 2 0 r 1 2 ． 2 1 2π R R C R R ε ε = − 由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联： 1 2 0 r 1 2 ． 2 1 2π (1 )R R C C C R R ε ε + = + = − O R2 R1 εr 图 13.8
13.9如图所示,设板面积为S的平板电容器析板间有两层介质,介电常量分别为a1 和a2,厚度分别为d和么,求电容器的电容 解答]假设在两介质的介面插入一薄导体,可知两个电容器串 联,电容分别为 C1=a1S和C2=a2Sa 总电容的倒数为 图13.9 总电容为C=-525 E2d1+E12 13.10圆柱形电容器是由半径为R1的导线和与它同轴的内半径为R的导体圆筒构成 的,其长为l,其间充满了介电常量为e的介质.设沿轴线单位长度导线上的电荷为,圆筒 的电荷为-,略去边缘效应.求 (1)两极的电势差E; (2)介质中的电场强度E、电位移D (3)电容C,它是真空时电容的多少倍? [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的.在内外半径 之间作一个半径为八、长为/的圆柱形高斯面,侧面为S,上下两底面 S 分别为S和S2.通过高斯面的电位移通量为 p,=Nd dS DdS+ DdS+ Dds-2vlD 高斯面包围的自由电荷为 根据介质中的高斯定理 可得电位为 方向垂直中心轴向外 电场强度为 E=De =2ie 方向也垂直中心轴向外 取一条电力线为积分路径,电势差为 U=[Ed/=[ Edr=(-dr-AInRs 2Er 2 R 电容为 q 2E/ In(R/R 在真空时的电容为
5 13．9 如图所示，设板面积为 S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1 和ε2，厚度分别为 d1和 d2，求电容器的电容． [解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串 联，电容分别为 C1 = ε1S/d1和 C2 = ε2S/d2． 总电容的倒数为 1 2 2 1 1 2 ， 1 2 1 2 1 2 1 1 1 d d d d C C C S S S ε ε ε ε ε ε + = + = + = 总电容为 1 2 ． 2 1 1 2 S C d d ε ε ε ε = + 13．10 圆柱形电容器是由半径为 R1的导线和与它同轴的内半径为 R2的导体圆筒构成 的，其长为 l，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒 的电荷为-λ，略去边缘效应．求： （1）两极的电势差 U； （2）介质中的电场强度 E、电位移 D； （3）电容 C，它是真空时电容的多少倍？ [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径 之间作一个半径为 r、长为 l 的圆柱形高斯面，侧面为 S0，上下两底面 分别为 S1和 S2．通过高斯面的电位移通量为 d d ， S Φ = ⋅ Ñ∫ D S 0 1 2 d d d 2π S S S = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∫ ∫ ∫ D S D S D S D S D S D S D S D S D S D S D S D S rlD 高斯面包围的自由电荷为 q = λl， 根据介质中的高斯定理 Φd = q， 可得电位为 D = λ/2πr， 方向垂直中心轴向外． 电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr， 方向也垂直中心轴向外． 取一条电力线为积分路径，电势差为 ． 2 1 d d d 2π R L L R U E r r r λ ε = ⋅ = = ∫ ∫ ∫ E l 2 1 ln 2π R R λ ε = 电容为 ． 2 1 2π ln( / ) q l C U R R ε = = 在真空时的电容为 d2 ε1 ε2 d1 图 13.9 D S1 S2 S0 R r 2 R1 ε l