《大学物理》第十二章 静电场习题解答

大学物理学(下册)习题解答 湖南大学物理与微电子科学学院周群益

1 大学物理学（下册）习题解答 湖南大学物理与微电子科学学院 周群益

第十二章静电场 12.3如图所示,在直角三角形ABCD的A点处,有点电荷q1=1.8×10℃C,B点处有 点电荷=4.8×10℃C,AC=3cm,BC=4cm,试求C点的场强 解答]根据点电荷的场强大小的公式 E=k q 4丌E。2 其中1(4xa)=k=90×10Nm2C2 点电荷q在C点产生的场强大小为 图12.3 41 1.8×10 (3×10-2)2 方向向下 点电荷q在C点产生的场强大小为 Ex 4n。bBC=90×48×10 (4×10-2)2 =2.7×10(N.C-), 方向向右 C处的总场强大小为 E+E2=093 总场强与分场强E的夹角为 arctan E1 33.69° 12.4半径为R的一段圆弧,圆心角为60°,一半均匀带正电,另一半均匀带负电,其 电荷线密度分别为+4和-A,求圆心处的场强 解答]在带正电的圆弧上取一弧元 ds rda, 电荷元为dq=ds,在O点产生的场强大小为 1 dg 1 nds nd0, 4rE24re。R4ER 场强的分量为dE1= decoct,dE= desin 对于带负电的圆弧,同样可得在O点的场强的两个分量.由于弧形是对称的,x方向的 合场强为零,总场强沿着y轴正方向,大小为

2 第十二章 静电场 P35． 12．1 12．2 12．3 如图所示，在直角三角形 ABCD 的 A 点处，有点电荷 q1 = 1.8×10-9C，B 点处有 点电荷 q2 = -4.8×10-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求 C 点的场强． [解答]根据点电荷的场强大小的公式 2 2 ， 0 1 4π q q E k r r    其中 1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2． 点电荷 q1在 C 点产生的场强大小为 1 1 2 ， 0 1 4π q E  AC  9 9 4 -1 2 2 1.8 10 9 10 1.8 10 (N C ) (3 10 )           方向向下． 点电荷 q2在 C 点产生的场强大小为 2 2 2 ， 0 1 | | 4π q E  BC  9 9 4 -1 2 2 4.8 10 9 10 2.7 10 (N C ) (4 10 )           方向向右． C 处的总场强大小为 E E E   1 2 2 2      0.9 13 10 3.245 10 (N C ) 4 4 -1 ， 总场强与分场强 E E 2的夹角为 1 ． 2 arctan 33.69 E E     12．4 半径为R 的一段圆弧，圆心角为 60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其 电荷线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强． [解答]在带正电的圆弧上取一弧元 ds = Rdθ， 电荷元为 dq = λds，在 O 点产生的场强大小为 2 2 ， 0 0 0 1 d 1 d d d 4π 4π 4π q s E R R R          场强的分量为 dEx = dEcosθ，dEy = dEsinθ． 对于带负电的圆弧，同样可得在 O 点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x 方向的 合场强为零，总场强沿着 y 轴正方向，大小为 E E 2 E E E E 1 q2 A C q1 B θ 图 12.3 Ex x E θ R ds Ey O y

E=2E,=2 dEsine d (cos0) 2IE R 0 12.5均匀带电细棒,棒长a=20cm,电荷线密度为λ=3×10&Cml,求: (1)棒的延长线上与棒的近端d=8cm处的场强 (2)棒的垂直平分线上与棒的中点相距d=8cm处的场强 [解答](1)建立坐标系,其中L=a2=0.l(m),r=L+d=0.18(m). 在细棒上取一线元d,所带的电量为dq=d, 根据点电荷的场强公式,电荷元在P1点产生的场强的 大小为 de= kag= 4πE0(x- 场强的方向沿x轴正向.因此P1点的总场强大小通过积分得 T Ltr-n"4x5.a 4πεnx-Dr+D4 将数值代入公式得P点的场强为 E=9×10x2×0.1×3×103 0182-012=241×100NC 方向沿着x轴正向 (2)建立坐标系,y=d.在细棒上取一线元d,所带的电 量为 de 在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为 d de= h 由于棒是对称的,x方向的合场强为零,y分量为 de=desin 由图可知:r= desing,=dcot,所以 d/=-ddasin28, 因此 0d0 4 总场强大小为

3 2 2 d sin y L E E E     ． π/ 6 π/ 6 0 0 0 0 sin d ( cos ) 2π R R 2π            0 3 (1 ) 2 2π R     12．5 均匀带电细棒，棒长 a = 20cm，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1，求： （1）棒的延长线上与棒的近端 d1 = 8cm 处的场强； （2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距 d2 = 8cm 处的场强． [解答]（1）建立坐标系，其中 L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)． 在细棒上取一线元 dl，所带的电量为 dq = λdl， 根据点电荷的场强公式，电荷元在 P1 点产生的场强的 大小为 1 2 2 0 d d d 4π ( ) q l E k r x l      场强的方向沿 x 轴正向．因此 P1点的总场强大小通过积分得 1 2 0 d 4π ( ) L L l E x l       0 1 4π L L x l      ． ① 0 1 1 ( ) 4π x L x L       2 2 0 1 2 4π L x L     将数值代入公式得 P1点的场强为 = 2.41×103(N·C-1)， 8 9 1 2 2 2 0.1 3 10 9 10 0.18 0.1 E         方向沿着 x 轴正向． （2）建立坐标系，y = d2．在细棒上取一线元 dl，所带的电 量为 dq = λdl， 在棒的垂直平分线上的 P2点产生的场强的大小为 2 2 2 ， 0 d d d 4π q l E k r r     由于棒是对称的，x 方向的合场强为零，y 分量为 dEy = dE2sinθ． 由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ，所以 dl = -d2dθ/sin2θ， 因此 ， 0 2 d sin d 4π E y d      总场强大小为 ds Ex x E θ R Ey O y O l x x dl r -L L y P2 dEy dE2 dEx d2 θ θ O l x x dl y P1 r -L L d1

Er 0de se 4πE。d 48 d 42√af+ 2+E 将数值代入公式得B2点的场强为 2×0.1×3×10 E.=9×10× 527×103(NC) 0.08(0.08 方向沿着y轴正向 讨论](1)由于L=a2,x=L+d,代入①式,化简得 E,= 兀E0dd1+a4πc0d1d/a+1 保持d不变,当a→∞时,可得 这就是半无限长带电直线在相距为d的延长线上产生的场强大小 (2)由②式得 E 4xE4√a+(a12)4xE04√a2a2+(1/2 λ 这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式 如果4=h,则有大小关系E=2E1 12.6一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状,试问O为 何值时,圆心O点处的场强为零 [解答]设电荷线密度为λ,先计算圆弧的电荷在圆心产生的场 在圆弧上取一弧元 图126 所带的电量为 dg=/ds, 在圆心处产生的场强的大小为 de=k R 4E。R 由于弧是对称的,场强只剩x分量,取x轴方向为正,场强为

4 0 2 sin d 4π L y l L E d          0 2 cos 4π L l L d       ． ② 2 2 0 2 2 4π L l L l d d l      2 2 0 2 2 1 2 4π L d d L     将数值代入公式得 P2点的场强为 = 5.27×103(N·C-1)． 8 9 2 2 1/ 2 2 0.1 3 10 9 10 0.08(0.08 0.1 ) E y         方向沿着 y 轴正向． [讨论]（1）由于 L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得 1 ， 0 1 1 0 1 1 1 4π 4π / 1 a E d d a d d a         保持 d1不变，当 a→∞时，可得 1 ， ③ 0 1 4π E d    这就是半无限长带电直线在相距为 d1的延长线上产生的场强大小． （2）由②式得 ， 2 2 0 2 2 4π ( / 2) y a E d d a     2 2 0 2 2 1 4π d ( / ) (1/ 2) d a     当 a→∞时，得 ， ④ 0 2 2π Ey d    这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式． 如果 d1 = d2，则有大小关系 Ey = 2E1． 12．6 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为 何值时，圆心 O 点处的场强为零． [解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场 强． 在圆弧上取一弧元 ds =Rdφ， 所带的电量为 dq = λds， 在圆心处产生的场强的大小为 2 2 ， 0 0 d d d d 4π 4π q s E k r R R         由于弧是对称的，场强只剩 x 分量，取 x 轴方向为正，场强为 θ R O 图 12.6 θ R O x dφ dE φ

dEr=-decoso 总场强为 E 4πEnR cos d4丌E0R 方向沿着x轴正向 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强 根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O点产 生的场强大小为 E 4πEnR Eo 由于两根半无限长带电直线对称放置,它们在O点产生的合场强为 E =2E cOS-= 22ER2 方向沿着x轴负向 当O点合场强为零时,必有E=E,可得 na2=1 因此 2=u4 所以 12.7一宽为b的无限长均匀带电平面薄板,其电荷密度为a,如图所示.试求 (1)平板所在平面内,距薄板边缘为a处的场强 (2)通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d处的场强 [解答](1)建立坐标系.在平面薄板上取一宽度为d/的带电直 线,电荷的线密度为 根据直线带电线的场强公式 E 2 得带电直线在P点产生的场强为 图127 d ad/ 2E02πE0(b/2+a- 其方向沿x轴正向 由于每条无限长直线在P点的产生的场强方向相同,所以总场 强为 E2兀60-b2b12+∥/= In(6/2+a-n)

5 dEx = -dEcosφ． 总场强为 ， 2 π / 2 0 / 2 cos d 4π Ex R           2 π / 2 0 / 2 sin 4π R         0 sin 2π R 2     方向沿着 x 轴正向． 再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强． 根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上 O 点产 生的场强大小为 ， 0 4π E R     由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在 O 点产生的合场强为 ， 0 2 cos cos 2 2π 2 E E x R         方向沿着 x 轴负向． 当 O 点合场强为零时，必有 ，可得 ` E E x x  tanθ/2 = 1， 因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2． 12．7 一宽为 b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求： （1）平板所在平面内，距薄板边缘为 a 处的场强． （2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为 d 处的场强． [解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为 dl 的带电直 线，电荷的线密度为 dλ = σdl， 根据直线带电线的场强公式 ， 0 2π E r    得带电直线在 P 点产生的场强为 ， 0 0 d d d 2π 2π ( / 2 ) l E r b a l         其方向沿 x 轴正向． 由于每条无限长直线在 P 点的产生的场强方向相同，所以总场 强为 / 2 0 / 2 1 d 2π / 2 b b E l b a l        / 2 0 / 2 ln( / 2 ) 2π b b b a l        θ O E' E'' x R P b a Q d 图 12.7 P b a O x dl y