·若A为投影阵，则tr(A)=Rank(A). 。若A为投影阵，则I一A也为投影阵. ·若A和B为投影阵，且A+B=I,则AB=BA=0. ·若X为n×p矩阵，n≥p,Rank(X)=p,则Px=X(X'X)-1X 为投影阵，且Rank(Px)=p. 定理1.n阶方阵P为正交投影阵，当且仅当对任给向量x∈”有 llx-Pxll infllx-ull,uEC(P) 这个定理刻画了正交投影阵的距离最短性，即在线性子空间C(P)的 所有向量中，只有和x的正交投影Px到x的距离最短.这个结果在 最小二乘估计理论中有重要应用。 Previous Next First Last Back Forward 11
• 若 A 为投影阵, 则 tr(A) = Rank(A). • 若 A 为投影阵, 则 I − A 也为投影阵. • 若 A 和 B 为投影阵, 且 A + B = I, 则 AB = BA = 0. • 若 X 为 n×p 矩阵, n ≥ p, Rank(X) = p, 则 PX = X(X ′X) −1X ′ 为投影阵, 且 Rank(PX) = p. 定理 1. n 阶方阵 P 为正交投影阵, 当且仅当对任给向量 x ∈ R n 有 ∥x − Px∥ = inf∥x − u∥, u ∈ L(P) 这个定理刻画了正交投影阵的距离最短性, 即在线性子空间 L(P) 的 所有向量中, 只有和 x 的正交投影 Px 到 x 的距离最短. 这个结果在 最小二乘估计理论中有重要应用. Previous Next First Last Back Forward 11
设P和P2为两个正交投影阵，则 ·P十P为正交投影阵→BP=P乃=0. ·PPB为正交投影阵←→PPB=PP. ·乃-P为正交投影阵→PP=PP=P. 对对称阵A的特征根入1≥2≥…≥入，有以下结果 ·sun袋=sup x'Ax=h X≠0 X=1 ·袋=×Ax= X1=1 Previous Next First Last Back Forward 12
设 P1 和 P2 为两个正交投影阵, 则 • P1 + P2 为正交投影阵 ⇐⇒ P1P2 = P2P1 = 0. • P1P2 为正交投影阵 ⇐⇒ P1P2 = P2P1. • P1 − P2 为正交投影阵 ⇐⇒ P1P2 = P2P1 = P2. 对对称阵 A 的特征根 λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λp, 有以下结果 • sup x̸=0 x′Ax x′x = sup ∥x∥=1 x ′Ax = λ1 • inf x̸=0 x′Ax x′x = inf ∥x∥=1 x ′Ax = λp Previous Next First Last Back Forward 12