解：将Q=∑(X,-X)2=(-1)S2表示成X=(X1,X2,…,X/的二次型，记1n为所 有元素皆为1的n维向量，则E(X)=μ1n,Cou(X)=o2In.此外 X-1x=1x n-1 x-1X-x-1x-(-)X=CX. 22 其中C=In-}1n1n,这是一个对称幂等阵，即C2=C,C'=C.从而有 Q=(X,-x)2=(X-x1n)y'(X-x1n) i=1 =(CX)'CX=X'C2X=X'CX, 由定理7.2.1可得 E(Q)=E(X'CX) =21c1+r(。-) =0+g2(n-1)=o2(n-1), 从而 Es9-n是5Q)=2 三、多元正态分布 1.定义： 由一元正态和二元正态分布的定义容易推广到一般的情形，得到下列多元正态分布的定 义。 定义7.2.3设n元随机向量X=(X1,X2,·,Xn)/具有密度函数 f)=2m)ep{-e-rΣ-1e-四}， (7.2.1) 其中x=(z1,…,工ny,-o<<oo,4=(1,…,4n},nxn>0为正定阵，则称随机向 量X的分布为n元正态分布，记为X~Nn(4,). 容易验证： )是密度，即f>0.且f小d=1: (2)E(X)=4,Co(X)=. 证明a)作变换Y=2X-川则X=Y+=瓷一=，从而 g6=fey+川=e)evw=1(2左e）=1f
)µÚQ = Xn i=1 (Xi − X) 2 = (n − 1)S 2 L´§X = (X1, X2, · · · , Xn) 0 g.ßP✶n è§ kÉè1nëï˛ßKE(X) = µ✶n, Cov(X) = σ 2 In. d X = 1 n Xn i=1 Xi = 1 n ✶ 0X X − ✶nX = X − 1 n ✶n✶ 0 nX = In − 1 n ✶n✶ 0 n X = CX, Ÿ•C = In − 1 n ✶n✶ 0 n , ˘¥òáÈ°ò ,=C 2 = C, C0 = C. l k Q = Xn i=1 (Xi − X) 2 = (X − X✶n) 0 (X − X✶n) = (CX) 0CX = X0C 2X = X0CX, d½n7.2.1å E(Q) = E(X0CX) = µ 2✶ 0C✶ + σ 2 tr In − 1 n ✶✶0 = 0 + σ 2 (n − 1) = σ 2 (n − 1), l E(S 2 ) = 1 n − 1 E(Q) = σ 2 . n!ı©Ÿ 1. ½¬µ dò⁄©Ÿ½¬N¥Ì2òÑú/ßeı©Ÿ½ ¬" ½¬7.2.3 nëÅï˛X = (X1, X2, · · · , Xn) 0 ‰kó›ºÍ f(x) = (2π) − n 2 |Σ| − 1 2 exp n − 1 2 (x − µ) 0Σ −1 (x − µ) o , (7.2.1) Ÿ•x = (x1, · · · , xn) 0 , −∞ < xi < ∞, µ = (µ1, · · · , µn) 0 , Σn×n > 0è½ ßK°ëÅï ˛X©Ÿèn©ŸßPèX ∼ Nn(µ, Σ). N¥yµ (1) f(x)¥ó›ß=f(x) > 0ßÖ Z ∞ −∞ · · · Z ∞ −∞ f(x1, · · · , xn) dx1 · · · dxn = 1¶ (2) E(X) = µ, Cov(X) = Σ. y² (1)äCÜY = Σ− 1 2 (X − µ)ßK X = Σ1 2 Y + µß|J| = ∂(x1,··· ,xn) ∂(y1,··· ,yn = |Σ| 1 2ßl g(y) = f(Σ1 2 y + µ) · |J| = (2π) − n 2 e −y 0y/2 = Yn i=1 1 √ 2π e − yi 2 = Yn i=1 f(yi). 6
此处f()是标准正态密度函数，因此Y的个分量的联合密度等于每个分量的密度的乘积。于 是Y的n个分量相互独立，且Y~N(0,1),i=1,…,n.因而 E(Y)=0,Cou(Y)=∑-Cou(X)'Σ-黄=2-2-专=1， 从而由X=∑y+4可知 E(X)=u,Cou(X)=Cov(Y)=. 2.多元正态分布的性质 将向量Xnx1和4nx1做相应的分块 Xnx1= 4(1) (7.2.2) X2) 4(2) 其中Xa,皆为p×1向量：X2,42,均为q×1向量，p+q=n.将X的协方差阵2有如下的 分块对角的形式 ∑11∑12 (7.2.3) 21∑22 这里∑11为p×1的子方阵。 定理7.2.6(1)设X~Nn(4,),且X,u和的分块分别由(7.2.2)和(7.2.3)给出，其中∑12= 0,21=0,则X(1)和X2相互独立，且X@~N(,),i=1,2. (2)特别若∑=σ2I,X=(X1,…,Xn)/,4=(1,…,n)/,则X~N(,o2),i= 1,2,…,n. 证明(1)由于X~Nn(4,),且其协方差阵∑有分块对角的形式(7.2.3)，容易将X的密度函 数分解为如下形式 f(x)=f(x1)f(x2) 其中f(x)和f(x2)分别为X)~N(a,1)和X2)~N(2,22).的密度函数。 (2)设X~Nn(u,),则其特征函数(c.f)为 (t)=p(t1,...,tn)=E(eit'x)=eit'u-it't Π{e-o2} =1 关于正态随机向量的线性变换的正态性有下列结果： 定理7.2.7设X~Nn(u,),A为n×n可逆常数阵，b为n×1常向量，记Y=AX+b,则 YNNn(Aμ+b,A∑A). 7
d?f(yi)¥IOó›ºÍßœdY ná©˛È‹ó› uzᩲ󛶻"u ¥Y nᩲÉp’·ßÖYi ∼ N(0, 1), i = 1, · · · , n. œ E(Y) = 0, Cov(Y) = Σ− 1 2 Cov(X) 0Σ − 1 2 = Σ− 1 2 ΣΣ− 1 2 = I, l dX = Σ1 2 y + µ å E(X) = µ, Cov(X) = Cov(Σ1 2 Y) = Σ. 2. ı©Ÿ5ü Úï˛Xn×1⁄µn×1âÉA©¨ Xn×1 = X(1) X(2) ! , µn×1 = µ(1) µ(2) ! (7.2.2) Ÿ•X(1), µ(1)èp × 1ï˛¶X(2), µ(2) ˛èq × 1ï˛, p + q = n. ÚX ê Σ kXe ©¨È/™ Σ = Σ11 Σ12 Σ21 Σ22 ! , (7.2.3) ˘pΣ11èp × 1fê " ½n7.2.6 (1) X ∼ Nn(µ, Σ), ÖX, µ⁄Σ©¨©Od(7.2.2)⁄(7.2.3)â—ߟ•Σ12 = 0, Σ21 = 0, K X(1) ⁄X(2) Ép’·ßÖX(i) ∼ N(µ(i) , Σii), i = 1, 2. £2§ AOeΣ = σ 2 I, X = (X1, · · · , Xn) 0 , µ = (µ1, · · · , µn) 0 , KXi ∼ N(µi , σ2 ), i = 1, 2, · · · , n. y² (1) duX ∼ Nn(µ, Σ),ÖŸê Σ k©¨È/™(7.2.3), N¥ÚXó›º Í©)èXe/™ f(x) = f(x(1))f(x(2)) Ÿ•f(x(1))⁄f(x(2))©OèX(1) ∼ N(µ(1) , Σ11)⁄X(2) ∼ N(µ(2) , Σ22).ó›ºÍ" (2) X ∼ Nn(µ, Σ)ßKŸAºÍ(c.f.)è ϕ(t) = ϕ(t1, · · · , tn) = E(e it0X) = e it 0µ− 1 2 t 0Σt = Yn j=1 e itjµj− 1 2 t 2 jσ 2 . 'uëÅï˛Ç5CÜ5ke(Jµ ½n7.2.7 X ∼ Nn(µ, Σ), Aèn × nå_~Í ßbèn × 1~ï˛ßPY = AX + bßK Y ∼ Nn(Aµ + b, AΣA 0 ). 7
证明用特征函数证明。 E(eit'y))=E(eit'(AX+b))=eit'b.E(eit'AX)(A=P) =ei'6.E(ex)=ew'b.e- eit'b.eit'Au-ASA't =eit'(Au+6)-'ACA't 即Y~N(Aμ+b,A∑A') 推论7.2.2设X~Nn(4,),则Y=∑-X心N(公-4，I) 关于正态随机向量的边缘分布有下列结果： 定理7.2.8设X~Nn(4,),X,4,分块形式如(7.2.2)和(7.2.3)所示，则X~Np(1),11). 同理X(2~Ng(2,222.此处p+q=n 证明在定理7.2.7中取 人 1=（-211 b=0 则Y=AX~N(A,A∑A),此时 Y=AX= X() X()-EaX0) AA'= 11 0 022.1 其中乃22.1=∑22-21∑12，从而 -(g）x心(（四）(a) 由定理7.2.6可知：Y=X()~N(1),11) 0 注在上述证明中，若取 4-() 用类似方法可证X(2)~Ng(2,22): 定理7.2.7还可以进一步推广，获得如下结果： 定理7.2.9设Am×n常数阵，R(A)=m<n,则 Ymx1=AX~Nm(Au,AEA'). 证明：因Amxn秩为m,在n维线性空间存在n-m个向量与Amxn的行向量拼起来构 成Rm的一组基向量，记这n-m个行向量矩阵为Ba-m)xn,记Cnxm= A B C为n×n可 逆阵，Z=CX~N(Cμ，CΣC),从而 a--()x-()()(如)()》
y² ^AºÍy²" E(e it0Y )) = E(e it0 (AX+b) ) = e it0 b · E(e it0AX) (-t 0A = et 0 ) = e it0 b · E(e iet 0X) = e it0 b · e iet 0µ− 1 2 et 0Σet = e it0 b · e it0Aµ− 1 2 t 0AΣA 0 t = e it0 (Aµ+b)− 1 2 t 0AΣA 0 t , =Y ∼ N(Aµ + b, AΣA0 ). Ìÿ7.2.2 X ∼ Nn(µ, Σ)ßKY = Σ− 1 2 X ∼ Np(Σ− 1 2 µ, I). 'uëÅï˛>©Ÿke(Jµ ½n7.2.8 X ∼ Nn(µ, Σ)ßX, µ, Σ©¨/™X(7.2.2) ⁄(7.2.3) §´ßKX(1) ∼ Np(µ(1), Σ11). ”nX(2) ∼ Nq(µ(2), Σ22). d?p + q = n. y² 3½n7.2.7• A = Ip 0 −Σ21Σ −1 11 Iq ! , b = 0, KY = AX ∼ N(Aµ, AΣA0 )ßdû Y = AX = X(1) X(2) − Σ21Σ −1 11 X(1) ! , Aµ = µ(1) µ(2) − Σ21Σ −1 11 µ(1) ! , AΣA 0 = Σ11 0 0 Σ22·1 ! , Ÿ•Σ22·1 = Σ22 − Σ21Σ −1 11 Σ12ßl Y = Y(1) Y(2) ! = AX ∼ Nn µ(1) ∗ ! , Σ11 0 0 Σ22·1 ! !, d½n7.2.6åµY(1) = X(1) ∼ Np(µ(1), Σ11). 5 3˛„y²•ße A = Ip −Σ −1 11 Σ12 0 Iq ! ^aqê{åyX(2) ∼ Nq(µ(2), Σ22). ½n7.2.7Ñå±?ò⁄Ì2ߺXe(Jµ ½n7.2.9 Am×n ~Í ßR(A) = m < n, K Ym×1 = AX ∼ Nm(Aµ, AΣA 0 ). y²µ œAm×n ùèmß3nëÇ5òm3n − máï˛ÜAm×n 1ï˛©Â5 §Rn ò|ƒï˛ßP˘n − má1ï˛› èB(n−m)×nßPCn×n = A B ! , C èn × nå _ ßZ = CX ∼ N(Cµ, CΣC 0 ),l Z = CX = A B ! X = AX BX ! , Z1 Z2 ! ∼ Nn Aµ Bµ ! , AΣA0 AΣB0 BΣA0 BΣB0 ! !, 8
由定理7.2.8可知：Z1=AXNm(A4,A∑A): 推论7.2.3在定理7.2.9中，若取C为一个行向量即C=c,则cnx1X~N(C4,d∑c),即一 元正态变量的线性组合仍为正态。 关于正态变量的两个线性型的独立性有下列结果 定理7.2.10设X~Nn(,),则当A∑B=0时，AX和BX独立。 证明Cow(AX,BX)=ACou(X)B=AEB=0,故AX和BX不相关，由于它们是正态变 量，故不相关与独立等价，因此AX和BX独立。 ▣ 四、正态变量二次型的分布 1.X品分布的定义及性质 略，见《数理统计》S2.4. 2.多元正态变量二次型服从X2分布的判别方法 定理7.2.11(1)设X心Nn(0,),∑>0（正定），则X'-1X~X2.当X~N(,), 则(X-∑-1(X-)心X品 (2)设X~Nn(0,I),An为对称阵，R(A)=r>0,则当A为幂等阵，即A2=A)时，二次 型X'AX~X. 证明(1)记Y=-X,则Y=(Yi,2,…,Yn)y~Nn(0,I)←→Y~N(0,1),i= 1,2…,n,从而X公-1X=YY=∑y2~X2 (2)对称幂等阵特征根非0即1，即存在正交阵Qnxn使得： 入 此即 a-ql5 o)qaoq. 因此 X'AX X'QAQX=YAY=Y2. 其中Y=Qx~Nn(0,I),从而X'AX=∑Y2~X2 ▣ 推论7.2.4(1)若X~Nn(4,I),A2=A,A'=A,R(A)=r,则(X-A(X-4)~X2 (②)若XN(4,),A对称，R(A)=r,且A∑A=A,则(X-)'A(X-)~X2 9
d½n7.2.8åµZ1 = AX ∼ Nm(Aµ, AΣA0 ). Ìÿ7.2.3 3½n7.2.9•ßeC èòá1ï˛=C = cßKc 0 n×1X ∼ N(c 0µ, c0Σc)ß=ò C˛Ç5|‹Eè" 'uC˛¸áÇ5.’·5ke(J ½n7.2.10 X ∼ Nn(µ, Σ)ßKAΣB0 = 0ûßAX ⁄BX ’·" y² Cov(AX, BX) = ACov(X)B0 = AΣB0 = 0ßAX ⁄BX ÿÉ'ßdußÇ¥C ˛ßÿÉ'Ü’· dßœdAX ⁄BX ’·" o!C˛g.©Ÿ 1. χ 2 n ©Ÿ½¬95ü —ßÑ5Ín⁄O6§2.4. 2. ıC˛g.—lχ 2 ©ŸOê{ ½n7.2.11 (1) X ∼ Nn(0, Σ), Σ > 0 (½)ßKX0Σ −1X ∼ χ 2 n . X ∼ N(µ, Σ)ß K(X − µ) 0Σ −1 (X − µ) ∼ χ 2 n . (2) X ∼ Nn(0, I)ßAn èÈ° ßR(A) = r > 0ßKAèò , =A2 = A)ûßg .X0AX ∼ χ 2 r . y² (1) PY = Σ− 1 2 XßKY = (Y1, Y2, · · · , Yn) 0 ∼ Nn(0, I) ⇐⇒ Yi ∼ N(0, 1), i = 1, 2, · · · , nßl X0Σ −1X = Y 0Y = Xn i=1 Y 2 i ∼ χ 2 n . (2) È°ò Aäö0=1ß=3 Qn×n ¶µ Q 0AQ = λ1 . . . λr 0 . . . 0 = 1 . . . 1 0 . . . 0 d= A = Q Ir 0 0 0 ! Q 0 , QΛQ 0 , œd X0AX = X0QΛQ 0X = Y 0ΛY = Xr i=1 Y 2 i , Ÿ•Y = Q0X ∼ Nn(0, I)ßl X0AX = Xr i=1 Y 2 i ∼ χ 2 r . Ìÿ7.2.4 (1) eX ∼ Nn(µ, I), A2 = A, A0 = A, R(A) = rßK(X − µ) 0A(X − µ) ∼ χ 2 r . (2) eX ∼ Nn(µ, Σ)ßAÈ°ßR(A) = rßÖAΣA = AßK(X − µ) 0A(X − µ) ∼ χ 2 r . 9
3.正态变量的两个二次型、二次型与线性型的独立性 关于一个二次型一个线性型的独立性有下列结果： 定理7.2.12设X~Nn(0,I),若B为m×n阵，A为n×n对称阵，若BA=0,则BX 与XAX独立。 证明由于A'=A,令R(A)=T,A对称，故存在正交阵Qmxn使得 入1 Q'AQ= 入x =A,此即A=QAQ, 0 记Y=Q'X,则Y~Nn(0,I),因此有 xYaYn). 问题转化为当BA=0时，BX=BQQX=DY,问DY与YAY是否独立？ 由于X~Nn(0,I)→QX=Y~N(0,In),即i,.,Yn iid~N(0,l),则 0=BA=BQQ'AQQ'=DA,Q'DA,=0. 将D分块为D=(D1ID2),其中D1的阶数为m×r,D2的阶数为m×(n-r),则 0=(n)(b8)=(Da0）=a4=0 又A,可逆→D1=0.因此D=(0|D2),从而 Yr+1 Bx-m-(0)(g）-n Ye) Y 由于，…，Y,与Y+1,…,Yn独立，BX=DY=D2Y只与Yr+1,·,Yn有关，XAX= YA,Y=∑只与，…，y有关，故二者独立。 21 推论7.2.5设X~N(0,),则当B∑A=0时，BX与X'AX独立。 证明：记Y=-X~Nn(0,I),则 BX=B∑Y=BY,X'AX=Y'∑A∑Y=YAY, 此处A=A公克，B=B公克.由定理7.2.12的结果可知：当BA=0时，二者独立。 BA=B22.BAB2=BBA∑=0→BBA=0 10
3. C˛¸ág.!g.ÜÇ5.’·5 'uòág.òáÇ5.’·5ke(Jµ ½n7.2.12 X ∼ Nn(0, I) ßeBèm × n ßAèn × nÈ° ßeBA = 0 ßK BX ÜX0AX ’·" y² du A0 = A ß- R(A) = r, A È°ß3 Qn×n ¶ Q 0AQ = λ1 . . . λr 0 . . . 0 = Λr, d= A = QΛrQ 0 , P Y = Q0X, KY ∼ Nn(0, I)ßœdk X0AX = X0QΛrQ 0X = Y 0ΛY = Xr i=1 λiY 2 i = Y 0 1ΛrY1, Yi ∼ N(0, 1), i = 1, 2, · · · , r, ØK=zè BA = 0 ûßBX = BQQ0X = DY ßØ DY Ü Y 0ΛrY ¥ƒ’·º du X ∼ Nn(0, I) =⇒ QX = Y ∼ N(0, In)ß= Y1, . . . , Yn iid ∼ N(0, 1)ßK 0 = BA = BQQ0AQQ0 = DΛrQ 0 =⇒ DΛr = 0. Ú D ©¨è D = ( D1 | D2 )ߟ• D1 Íè m × rßD2 Íè m × (n − r)ßK 0 = D1 D2 Λr 0 0 0 ! = D1Λr 0 =⇒ D1Λr = 0, q Λr å_ =⇒ D1 = 0. œdD = ( 0 | D2 )ßl BX = DY = 0 D2 Y(1) Y(2) ! = D2Y2, Ÿ•Y(1) = Y1 . . . Yr , Y(2) = Yr+1 . . . Yn , du Y1, · · · , Yr Ü Yr+1, · · · , Yn ’·ßBX = DY = D2Y2 êÜ Yr+1, · · · , Yn k'ßX0AX = Y 0ΛrY = Xr i=1 λiY 2 i êÜ Y1, · · · , Yr k'߈’·" Ìÿ7.2.5 X ∼ N(0, Σ) , K BΣA = 0 û, BX Ü X0AX ’·" y²µP Y = Σ− 1 2 X ∼ Nn(0, I)ßK BX = BΣ 1 2 Y = BY, X e 0AX = Y 0Σ 1 2 AΣ 1 2 Y = Y 0AY, e d?Ae = Σ1 2 AΣ 1 2 , Be = BΣ 1 2 . d½n7.2.12(Jåµ BeAe = 0 û,ˆ’·" BeAe = BΣ 1 2 · Σ 1 2 AΣ 1 2 = BΣAΣ 1 2 = 0 ⇐⇒ BΣA = 0 10