数 理 第二章连续时间信号与连续时间系统 着考处 22单位阶跃信号和单位冲激信号 1】单位阶跃信号的定义及波形 式(1)给出了单位阶跃信号u()的定义,l(t)的波形图,如图2.2.1所示 0.t<0 图22.1()波形图 显然,(-0)+l()=1 (222)
第二章 连续时间信号与连续时间系统 2.2单位阶跃信号和单位冲激信号 1 ( ut ut ) ( ) 2.2.1 【 】单位阶跃信号的定义及波形 1 式（）给出了单位阶跃信号 的定义， 的波形图，如图 所示。 显然， ( ) ( ) 1 u t ut −+ = (2.2.2)
数 理 着考处 2】利用单位阶跃信号定义其它连续时间信号 设x()是定义在区间(-∞,+∽∞)上的无时限信号, 利用l()可定义下述连续时间信号: ①1)若x(t)=x(1)u(t),则称x()为连续时间因果信号 (2)若x2(t)=x(t)u(-1,则称x2(t)为连续时间反因果信号。 3)若x()=x()u(-t0),则称x()为连续时间有始信号。 (4)若x4(1)=x(1)n(t-1),则称x(t)为连续时间有终信号 5)若x()=x()v(t-1)-u(-t2)则称3()为连续时间时限信号
1 1 2 2 3 03 4 0 ( ) ( , ) ( ) 1 () () () () 2 () () ( ) () 3 () () ( ) () 4 () () ( ) x t u t x t xtut x t x t xtu t x t x t xtut t x t x t xtut t −∞ +∞ = = − = − = − 【 】利用单位阶跃信号定义其它连续时间信号 2 设 是定义在区间 上的无时限信号， 利用 可定义下述连续时间信号： （）若 ，则称 为连续时间因果信号。 （ ）若 ，则称 为连续时间反因果信号。 （）若 ，则称 为连续时间有始信号。 （ ）若 ， 4 5 12 5 ( ) 5 ( ) ( )[ ( ) ( )] ( ) x t x t xt ut t ut t x t = −− − 则称 为连续时间有终信号。 （）若 ，则称 为连续时间时限信号
数 理 2【3】单位冲激信号的定义及波形 着考处 式(22.3)给出了单位冲激信号8()的定义,(t)的波形图,如图2.2.所示。 6(1) ()d=1 6(1)=0t≠0 图2.2.26()的波形图 【4】单位冲激信号与单位阶跃信号的关系 考虑到()是=0点函数,则o(O-J0M=1 那么r t>0 0,t<0 于是(z)dzx=l(1) (2.2.4) δ(t) (22.5) 结论:只要单位冲激信号δ(1)落于积分区间内,不论积分区间的宽 与窄,其积分值为1,否则,其积分值为0
【3】单位冲激信号的定义及波形 式（ ）给出了单位冲激信号 的定义， 的波形图，如图 所示。 2.2.3 δ ( ) ( ) t t δ 2.2.2 0 0 ( ) 0" () () 1 1, 0 ( ) 0, 0 ( ) () 2.2.4 ( ) ( ) 2.2.5 ( ) 1 0 t t t t t dt t dt t d t d ut du t t dt t δ δ δ δτ τ δτ τ δ δ + − +∞ −∞ −∞ −∞ = = = ⎧ > = ⎨⎩ < = = ∫ ∫ ∫ ∫ 【4】单位冲激信号与单位阶跃信号的关系 考虑到 是 点函数",则 那么 于是 （ ） （ ） 结论：只要单位冲激信号 落于积分区间内，不论积分区间的宽 与窄，其积分值为 ，否则，其积分值为
数 理 着考处 【5】单位冲激信号的性质 (1)d(t)=(-t 2.26) 证明:若定义符号函数Sgn(t)=(t)-l(-t) (2.2.7) 则Sgmn(-1)=l(-1)-l-(-0)=-[(t)-l(-0)=-Sgn(t)奇函数 考虑到式(226),则式(2.2.7)可写成 gn(t)=l(t)-u(-t)=l(1)-[1-l(t)=2(1)-1 即(t)=-[1+Sgm()] (2.2.8) 由式(22.5),并考虑到式(22.8),则有 6(t) du(t) 1 d [1+Sgn() I dsgn( 因为符号函数是奇函数,由式(229)可知,δ()必为偶函数
1 ( ) ( ) 2.2.6 ( ) ( ) ( ) 2.2.7 ( ) ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] ( ) 2.2.6 2.2.7 ( ) ( ) ( ) ( ) [1 ( )] 2 ( ) 1 1 ( ) [1 ( )] 2 t t Sgn t u t u t Sgn t u t u t u t u t Sgn t Sgn t u t u t u t u t u t u t Sgn t δ δ = − = −− − = − − − − =− − − =− = − −= −− = − = + 【5】单位冲激信号的性质 （） （ ） 证明：若定义符号函数 （ ） 则 （奇函数) 考虑到式（ ），则式（ ）可写成 即 （2.2.8 2.2.5 2.2.8 () 1 1 () ( ) [1 ( )] (2.2.9) 2 2 2.2.9 ( ) du t d dSgn t t Sgn t dt dt dt t δ δ == + = ） 由式（ ），并考虑到式（ ），则有 因为符号函数是奇函数，由式（ ）可知， 必为偶函数
数 理 着考处 (2)6(at+b)=0(+ (2.2.10) 证明:①当a>0时,考虑到式(2.2.10),则有 at+b d(ar +b)dr d(x)dx=-ulat+6==u(t+ (2.2.11) ②当a<0时,考虑到δ()是偶信号及式(2,2.10),则有 6(a+b)dz=1〔a(-xh d(x)dx l(-at-b)=--l( (2.2.12) 综合式(22.11)及式(22.12)可得 d(ar+bdr (t+ (2.2.13) 对式(22.13)两边分别求导,可得式(22.10)
1 ( ) ( ) 2.2.10 0 2.2.10 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 2.2.11 0 ( ) 2.2.10 1 1 ( ) ( ) () 1 t at b t at b at b b at b t a a a b a b d x dx u at b u t a a aa a t a b d x dx x dx a a δ δ δτ τ δ δ δτ τ δ δ + −∞ −∞ −− −− −∞ −∞ −∞ += + > + = = += + < + =− − =− = − ∫ ∫ ∫ ∫∫ （2） （） 证明：①当 时，考虑到式（ ），则有 （ ） ②当 时，考虑到 是偶信号及式（ ），则有 1 ( ) ( ) (2.2.12) 2.2.11 2.2.12 1 ( ) ( ) 2.2.13 2.2.13 2.2.10 t b u at b u t a aa b a bd ut a a δτ τ −∞ − − =− + +=+ ∫ 综合式（ ）及式（ ）可得 （ ） 对式（ ）两边分别求导，可得式（ ）