、晶格的 Fourier变换 一个物理问题,既可以在正(坐标)空间描写, 也可以在倒(动量)空间描写 *坐标表象r,动量表象k 为什么选择不同的表象?为什么动量空间? *适当地选取一个表象,可使问题简化、容易处理 #如电子在均匀空间(特例=自由电子)运动,虽然 坐标一直变化,但k守衡,这时在坐标表象当然 不如在动量表象简单 衍射实验的理论基础 #在量纲上,坐标空间和动量空间互为倒数,因此 也把坐标和动量空间分别称为正、倒空间;其他 也沿用这种称谓 101070.68%gche′倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 6 1、晶格的Fourier变换 • 一个物理问题，既可以在正(坐标)空间描写， 也可以在倒(动量)空间描写 * 坐标表象r，动量表象k • 为什么选择不同的表象？为什么动量空间？ * 适当地选取一个表象，可使问题简化、容易处理 如电子在均匀空间(特例=自由电子)运动，虽然 坐标一直变化，但k守衡，这时在坐标表象当然 不如在动量表象简单 * 衍射实验的理论基础 在量纲上，坐标空间和动量空间互为倒数，因此 也把坐标和动量空间分别称为正、倒空间；其他 也沿用这种称谓
正(坐标)空间〈周期性〉倒(动量空间 数学:(正)格子 ·观察:Ⅹ射线衍射 ·观察:显微镜? 数学:倒格子 数学变换 k 101070.68%gche′倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 7 正(坐标)空间 倒(动量)空间 • 数学：(正)格子 • 观察：显微镜? • 观察： X射线衍射 • 数学：倒格子 rrrrrrrr k？ 周期性 数学变换
坐标空间中用格矢(R描写晶体平移周 期性;那么,在动量空间呢? 101070.68%gche′倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 8 坐标空间中用格矢(Rl)描写晶体平移周 期性；那么，在动量空间呢？
(r)=∑m(r-R) 只是一个数学变换 p(r)=∑Pm(r-R) 势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量 )=∑f(r-R) 如果晶体具有平移周期性R=Rn+Rn *则是R的周期函数F(r+R1)=F(r) 可对其作 Fourier展开F(r)=∑F,e Fkh称为 Fourier系数 两边乘共轭因子e后积分可得这个系数 f(re 仅当K=K时,这个 10107068ghe倒格札一 Brillouin积分不为零且等于V
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 9 l V V Rl r r atom ( ) Rl Rm Rn F(r R ) F(r) l l l F(r) f r R h i h h F F e K r K (r) ' ' ' 1 ( ) 1 h i i e d V F e d F V h h h h r r r K K r K K r l Rl r r atom ( ) h h F e d F V i K K r r r ( ) 1 K r h i e 只是一个数学变换 • 势能、电荷密度等满足迭加原理的物理量 • 如果晶体具有平移周期性 * 则是Rl的周期函数 • 可对其作Fourier展开 • FKh称为Fourier系数 * 两边乘共轭因子 后积分可得这个系数 仅当Kh’=Kh时，这个 积分不为零，且等于V
因为F(r)=F(r+R),就有 =F在=Fr+B在 作变量替换,r'=r+R,就有 ∫f(rk-s ∫r( Fk.(1 ik,· )=0 k≠O >cK灬R=1K,R1=2m,m整数 即如有平移周期性,那么一定在 Fourier空间存在 K夫量满足这个关系 101070.68%gche′倒格子和第- Brillouin区
10.107.0.68/~jgche/ 倒格子和第一Brillouin区 10 • 因为F(r)= F(r+Rl)，就有 r r K r K F e d V F h h i ( ) 1 ( ') ' 1 ( ' ) r r K r K R K F e d V F h h l h i • 作变量替换，r’=r+Rl，就有 • 即 (1 ) 0 h l h i F e K R K h h l i i F e d e V K r K R r r ( ') ' 1 ' h l h i F e K R K r R r K r F e d V h i l ( ) 1 0 h FK 1 h l i e K R Kh Rl 2m, m整数 • 即如有平移周期性，那么一定在Fourier空间存在 Kh矢量满足这个关系