4-2代数方程组的求解 写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 n个志和节点温度，n个代数方程式： aa2+......+aitn =b a2141+a222+.+a2ntn=b2t AT=b am+an22+......+amtn =bu 代数方程组的求解方法：直接解法、送代解法 6
6 写出所有内节点和边界节点的温度差分方程 n个未知节点温度，n个代数方程式： 代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 ...... ...... ............................................ ...... n n n n n n nn n n at at at b at at at b at at at b + ++ = + ++ = + ++ = AT b = 4-2 代数方程组的求解
直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解； 矩阵求逆、高斯消元法 缺点：所需内存较大、方程数目多时不适用于非线性问题 送代解法：先对要计算的场作出假设、在送代计算过程 中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小 于允许值。称送代计算已经收敛。 迭代解法有多种：简单送代(Jacobi送代)、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向送代等 高斯-赛德尔迭代的特点：每次送代时总是使用节点温度的最 新值 7
7 直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解; 矩阵求逆、高斯消元法 迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程 中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小 于允许值。称迭代计算已经收敛。 缺点：所需内存较大、方程数目多时不适用于非线性问题 迭代解法有多种：简单迭代（Jacobi迭代）、高斯-赛德尔 迭代、块迭代、交替方向迭代等 高斯-赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最 新值
a+at2+......+auln=b 高斯-赛德尔迭代的基本步骤： a2141+a2242+.+a2ntn=b2 (1)设定初值：t0、t0 an an2t2+......+amntn =bu (2)将t0带入第一个方程，装得t0 a+atauo=b 3)将、t0)带入第二个方程，获得 a0+at9++ant0=b 〔4)将t…t+ 带入第i个方程，获得t+) 8
8 （3）将 、 带入第二个方程，获得 高斯-赛德尔迭代的基本步骤： (0) (0) (0) 12n （1）设定初值：ttt 、 .... （2）将 带入第一个方程，获得 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 11 2 2 ...... ...... ............................................ ...... n n n n n n nn n n at at at b at at at b at at at b + ++ = + ++ = + ++ = (0) (0) 3 n t t .... (1) 1 t (0) (0) 2 n t t .... (1) 1 t (1) 2t (1) 0 0 11 1 12 2 1 1 ...... n n at at at b + ++ = (1) (1) (0) 11 1 12 2 1 1 ...... n n at at at b + ++ = （4）将 、t t i n (k) (k) .... 带入第i个方程，获得 (k+1) 1 t (k+1) i t (k+1) i-1 t