才能使用数控机床的G功能加工出所需的廓形曲线 2-34已知工件廓形方程时,可以用哪些方法进行插补计算? 答:已知工件廓形方程时,可以采用直线插补和圆弧插补计算。直线插补计算常采用 等间距法和等误差法。 2-35直线插补时,等误差计算法的基本原理是什么? 答:等误差法拟合廓形曲线时,可以使每段的拟合误差相等,且小于或等于允差 其计算目的也是求出各节点A、B、C…的坐标值,以提供编程使用 等误差法的基本思路是已知廓形曲线方程y=∫(x)和允许拟合误差δ。及曲线起点 A的坐标x。、y’按等误差的原则逐点求出其它各节点。步骤如下: (1)在曲线起点A处,以A点为圆心、oa为半径作一圆 (2)作此圆与廓形曲线的公切线PT (3)列出过圆A上P点的切线斜率、直线PT的斜率、廓形曲线上过T点的切线斜 率,此三个斜率相等,可列出两个方程式,再与廓形方程、圆A方程联立得一联立方程组; (4)求解此联立方程组,可解出xr、yr、x、y的坐标值,并可求出直线的斜率 (5)拟合直线AB平行PT,斜率相同,法线距离为δa1,可求出AB方程; (6)用廓形方程y=f(x)和直线AB联立,求解,所得交点即为B点坐标(xB、yB) 再依次可求出各节点坐标。 2-36试述等间距法与等误差法的优缺点及它们的使用场合。 答:等间距法计算较简单,但程序段数多,编程费时,各节点之间的线段逼近廓形曲 线时,产生的拟合误差不相等,为保证所有折线线段拟合误差都在允差范围内,不得不使 间距Δτ减小,更增加节点数目,亦即增加程序段数。适宜和于廓形曲线斜率变化不大的 场合。 等误差法计算较复杂,但可在保证精度的条件下,得到最少的程序段数目,使编程工 作量减少,拟合计算可用计算机辅助计算,所以是一种较好的拟合方法。由于在保证等误 差的前提下,使节点分布合理,所以应用于廓形曲线斜率变化较大的场合 但是无论是等误差法还是等间距法,都用直线逼近曲线,是由许多折线构成的近似线 段代替廓形曲线,联接点处不光滑,而且直线的曲率半径无穷大,与原来曲线的曲率半径 相差很大,这是共同的缺点,使用圆弧拟合可以避免此缺点 题型变换:已知工件廓形方程时,经常采用的直线插补计算有_、_等方法 答:等间距法等误差法 2-37三次样条曲线插值计算用于什么场合? 答:三次样条曲线适用于工件廓形为列表曲线时,要求拟合曲线在型值点处以及整个
11 才能使用数控机床的 G 功能加工出所需的廓形曲线。 2-34 已知工件廓形方程时，可以用哪些方法进行插补计算？ 答：已知工件廓形方程时，可以采用直线插补和圆弧插补计算。直线插补计算常采用 等间距法和等误差法。 2-35 直线插补时，等误差计算法的基本原理是什么？ 答：等误差法拟合廓形曲线时，可以使每段的拟合误差相等，且小于或等于允差 al 。 其计算目的也是求出各节点 A、B、C…的坐标值，以提供编程使用。 等误差法的基本思路是已知廓形曲线方程 y = f (x) 和允许拟合误差 al 及曲线起点 A 的坐标 a x 、 a y ，按等误差的原则逐点求出其它各节点。步骤如下： （1）在曲线起点 A 处，以 A 点为圆心、 al 为半径作一圆； （2）作此圆与廓形曲线的公切线 PT ； （3）列出过圆 A 上 P 点的切线斜率、直线 PT 的斜率、廓形曲线上过 T 点的切线斜 率，此三个斜率相等，可列出两个方程式，再与廓形方程、圆 A 方程联立得一联立方程组； （4）求解此联立方程组，可解出 T x 、 T y 、 p x 、 p y 的坐标值，并可求出直线的斜率； （5）拟合直线 AB 平行 PT ，斜率相同，法线距离为 al ，可求出 AB 方程； （6）用廓形方程 y = f (x) 和直线 AB 联立，求解，所得交点即为 B 点坐标（ B x 、 B y ）， 再依次可求出各节点坐标。 2-36 试述等间距法与等误差法的优缺点及它们的使用场合。 答：等间距法计算较简单，但程序段数多，编程费时，各节点之间的线段逼近廓形曲 线时，产生的拟合误差不相等，为保证所有折线线段拟合误差都在允差范围内，不得不使 间距 x 减小，更增加节点数目，亦即增加程序段数。适宜和于廓形曲线斜率变化不大的 场合。 等误差法计算较复杂，但可在保证精度的条件下，得到最少的程序段数目，使编程工 作量减少，拟合计算可用计算机辅助计算，所以是一种较好的拟合方法。由于在保证等误 差的前提下，使节点分布合理，所以应用于廓形曲线斜率变化较大的场合。 但是无论是等误差法还是等间距法，都用直线逼近曲线，是由许多折线构成的近似线 段代替廓形曲线，联接点处不光滑，而且直线的曲率半径无穷大，与原来曲线的曲率半径 相差很大，这是共同的缺点，使用圆弧拟合可以避免此缺点。 题型变换：已知工件廓形方程时，经常采用的直线插补计算有 、 等方法。 答：等间距法 等误差法 2-37 三次样条曲线插值计算用于什么场合？ 答：三次样条曲线适用于工件廓形为列表曲线时，要求拟合曲线在型值点处以及整个
曲线上都很光滑,并且具有连续曲率。另外,由于三次样条函数是建立在材料力学弹性梁 变形的理论基础上,故只能应用于小挠度的情况,即工件廓形曲线斜率变化不大的场合 2-38三次样条曲线插值教育处有什么优缺点? 答:用三次样条函数分段拟合列表线时计算程序简单、方便、拟合效果好,可保证 阶、二阶导数连续。但是有以下缺点 (1)拟合后的图形不具备几何不变性。即当坐标系变化后,三次样条函数随之变化。 虽然仍通过这些型值点,但与原来的样条函数不完全重合。 (2)现在的数控机床上广泛使用直线插补器或圆弧插补器,故插值出来的三次样条 函数尚需用直线或圆弧作第二次拟合,将三次样条曲线变成分段的圆弧或直线,增加了计 算量并降低了拟合精度 2-39双圆弧逼近法的优缺点是什么? 答:双圆弧逼近法是在两个型值点之间用两个相切的圆弧拟合工作廓形曲线。其优点 是 (1)每段圆弧的圆心和半径是几何不变量,它的形状不随坐标选择而变。 (2)使用双圆弧逼近法以后,可直接用于零件的编程计算,不需要进行二次拟合。 (3)计算方法比三次样条法简单、准确 (4)可以拟合大挠度曲线 主要缺点是:要先建立局部坐标,再进行坐标变换,多一道步骤 2-40为什么在双圆弧逼近计算时采用局部坐标,而在计算完毕后,还要将计算结果 转换回原来曲线的坐标系中? 答:双圆弧逼近计算时,首先要建立局部坐系,即以相邻的两个型值点联线为横坐标 U,通过前一个型值点并与U轴垂直的线为纵坐标V,在每一个局部坐标系中有两段圆弧 相切,需求出这两段圆弧的半径和圆心。采用局部坐标系有以下好处 (1)计算简单方便; (2)可以解决大挠度曲线 (3)采用局部坐标系后,双圆弧可具有较好的保凸性。 但是在插补编程时,需要知道圆心在整体坐标系OXY中的坐标值,故还要将计算结 果转换回原来曲线的坐标系中 241用三次样条函数插值法拟合n个型值点,有条三次样条曲线表示该点列: 如用双圆弧逼近法拟合n个型值点,需建立个局部坐标系,由段圆弧拟合该点 列。 2(n-1) 12
12 曲线上都很光滑，并且具有连续曲率。另外，由于三次样条函数是建立在材料力学弹性梁 变形的理论基础上，故只能应用于小挠度的情况，即工件廓形曲线斜率变化不大的场合。 2-38 三次样条曲线插值教育处有什么优缺点？ 答：用三次样条函数分段拟合列表线时计算程序简单、方便、拟合效果好，可保证一 阶、二阶导数连续。但是有以下缺点： （1）拟合后的图形不具备几何不变性。即当坐标系变化后，三次样条函数随之变化。 虽然仍通过这些型值点，但与原来的样条函数不完全重合。 （2）现在的数控机床上广泛使用直线插补器或圆弧插补器，故插值出来的三次样条 函数尚需用直线或圆弧作第二次拟合，将三次样条曲线变成分段的圆弧或直线，增加了计 算量并降低了拟合精度。 2-39 双圆弧逼近法的优缺点是什么？ 答：双圆弧逼近法是在两个型值点之间用两个相切的圆弧拟合工作廓形曲线。其优点 是： （1）每段圆弧的圆心和半径是几何不变量，它的形状不随坐标选择而变。 （2）使用双圆弧逼近法以后，可直接用于零件的编程计算，不需要进行二次拟合。 （3）计算方法比三次样条法简单、准确。 （4）可以拟合大挠度曲线。 主要缺点是：要先建立局部坐标，再进行坐标变换，多一道步骤。 2-40 为什么在双圆弧逼近计算时采用局部坐标，而在计算完毕后，还要将计算结果 转换回原来曲线的坐标系中？ 答：双圆弧逼近计算时，首先要建立局部坐系，即以相邻的两个型值点联线为横坐标 U，通过前一个型值点并与 U 轴垂直的线为纵坐标 V，在每一个局部坐标系中有两段圆弧 相切，需求出这两段圆弧的半径和圆心。采用局部坐标系有以下好处： （1）计算简单方便； （2）可以解决大挠度曲线； （3）采用局部坐标系后，双圆弧可具有较好的保凸性。 但是在插补编程时，需要知道圆心在整体坐标系 OXY 中的坐标值，故还要将计算结 果转换回原来曲线的坐标系中。 2-41 用三次样条函数插值法拟合 n 个型值点，有 条三次样条曲线表示该点列： 如用双圆弧逼近法拟合 n 个型值点，需建立 个局部坐标系，由 段圆弧拟合该点 列。 答：n-1 n-1 2(n-1)