《结构化学基础》课程PPT教学课件：第二章 原子的结构和性质

a 00a ar 2 r-=2z=2rcos e az( az Or( az 00(0)ag cOS sin0=(x2+y2+z2)12+ (2z) -3 1-cos 0 sin 6 a0 sin e rcos2b·r 0p=0 p=0 a sin 0 a cOS =cos e (16 r06 M y 2丌( i rsin ecos d sin e sin g a+ cos sin o a+ cos d-rsin 0 in of sin e cosd 0+ cos cosd asing a ae rsin 8 ao r a0 rsin 0 a ih a h210 sin e 20p 4T sin 00 00) sino ag a( a)+r sin e als in e 00)r2sn20a

              +           +           =   z r z z r z 2 2z 2r cos z r r = =   ( ) (2 ) 2 1 sin ( ) 2 2 2 1/ 2 2 2 2 3/ 2 x y z z x y z z z − −  + +      = + + + −   −   r r r r r    2 2 2 2 3 1 cos sin cos 1 = − = −  = − z r  sin  = −   = cos   z r 0 cos 1 2 =   z   = 0   z  (16) sin cos      −   =   z r r           −   = − x y y x ih Mz 2 ˆ                 −   +   −          +   +   = −                      sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin sin 2 r r r r r r r r ih     = − 2 M ˆ z ih          +          = − 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 4 ˆ        h M 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1          +           +           = r r r r r r

●变换为极坐标后的 Schrodinger方程为: 0(.2Ov 10 av8丌 sIn (E-Vl r-sin6 a0 a0) 0 ao h 2数离法 令(rO,)=R)(Oy(,代入上式并乘么rsm2O ROgp sin,orsino a Q 0d8丌 sIn (E-Vrsin 0=0 r a ar o a8 06)Φop2h2 整理得 1aΦsn20a( aR sin 0 a dp 0 00( sin eCO8TUr'sin20(E-v) 00)h 此式左边不含r,0,右边不含φ,要使两边相等,须等于同一常数,设为-m2,则得 d( dr 8T ur r dr( dr h(E-1)= sin e sin Osin 0 de de 设两边等于1(+1),则得 d⊙m2 sIn sin e de +2=1(1+1 do) sin d(,dr 8T R r2 dr( dr (E-1)R=1(1+1)

●变换为极坐标后的Schrödinger方程为： ( ) 0 8 sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − =    +           +                      E V r r r h r r r  =   R       2 2 r sin 令 (r, , ) R(r) ( ) ( ), 代入上式并乘以 2. 变数分离法 ( ) sin 0 1 8 sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 + − =      +            +                   E V r r h R r R r sin ( ) 8 sin 1 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 r E V r h R r R r  − −            −          = −              整理，得 此式左边不含r,，右边不含，要使两边相等，须等于同一常数，设为-m2，则得 = −   2 2 2 m d d           + − = −             d d d m d E V h r dr dR r dr d R sin sin 1 sin ( ) 1 8 2 2 2 2 2 2 设两边等于l(l+1)，则得 = +    +       − ( 1) sin sin sin 1 2 2 l l      m d d d d 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) 1 8 r R E V R dr h dR r dr d r  + − = +      l l  

v经变数分离得到的三个分别只含ψ,0和变量的方程依次称为①方程、⊙方程和 R方程,将Φ方程和⊙方程合并,Y(φ,θ)=(φ)(0),代表波函数的角度部分 ▲解这三个常微分方程,求满足品优条件的解,再将它们乘在一起,便得 Schrodinger方程的解。 3.Φ方程的解 +m2Φ=0此为二阶常系数齐次线性方程,有两个复数形式的独立特解 m=± A可由归一化条件得出: 2丌 dnΦndp=A do= a 2丌 V2I 2丌 Φm应是p的单值函数,φ变化一周,Φ应保持不变,即,Φn()=Φm(+2r) emem(中+27)=emem2即em2x=cosm2n+ -ISIn2=1 m的取值必须为m=0,±1,±2 √2丌 复数形式的Φ函数是角动量z轴分量算符的本征函数,但复数不便于作图,不能 用图形了解原子轨道或电子云的分布,需通过线性组合变为实函数解: cosmo+ 2r sn mg p sin n 2丌

 经变数分离得到的三个分别只含，和r变量的方程依次称为方程、方程和 R方程，将方程和方程合并，Y(，) =()()，代表波函数的角度部分。  解这三个常微分方程，求满足品优条件的解，再将它们乘在一起，便得 Schrödinger方程的解。 3. 方程的解 0 2 2 2 +  =  m d d  此为二阶常系数齐次线性方程，有两个复数形式的独立特解  = m =  m im m Ae A可由归一化条件得出： 1 2 0 2 2 0 2 2 0   = = =    −      d A e e d A  i m i m m m    i m m A e 2 1 2 1 =  = m应是的单值函数，变化一周， m应保持不变，即， m()= m(+2) e im=eim（+2）= eime im2 即 e im2=cosm2+isinm2=1, m的取值必须为m=0, 1, 2, …   im m e 2 1  =  复数形式的函数是角动量z轴分量算符的本征函数，但复数不便于作图，不能 用图形了解原子轨道或电子云的分布，需通过线性组合变为实函数解：       m i e m i m m sin 2 cos 2 1 2 1  = = +       m i e m i m m sin 2 cos 2 1 2 1  = = − − −

2C i2D dS=C(Φn+Φn)= sIn cos m D(Φbm-Φ sin m 由归一化条件可得,C 故 实函数解为:中细m==cosm,①细m sIn 品实函数解不是角动量z轴分量算符的本征函数,但便于作图。 ◆复函数解和实函数解是线性组合关系,彼此之间没有一一对应关系。 复函数解 实函数解 0 1 2 2==cos2中 2 ①=-e-i24 望==sin2中

  m C m C m m cos 2 2 ( ) cos  =  + − =   m i D m D m m sin 2 2 ( ) sin  =  −− = 由归一化条件可得， 故 i 2 1 , D 2 1 C = =     m sin m 1 cos , 1 sin m cos 实函数解为： m =  = 实函数解不是角动量z轴分量算符的本征函数，但便于作图。 复函数解和实函数解是线性组合关系，彼此之间没有一一对应关系。 1 -2 2 -1 0 m 复函数解 实函数解   = 2 1 0   = 2 1 0    = i 1 e 2 1        =    =   cos 1 sin 1 cos 1 sin 1 −  −   = i 1 e 2 1    = i2 2 e 2 1 −  −   = i2 2 e 2 1        =    =   cos2 1 sin2 1 cos 2 sin 2

4.单电子原子的波函数 ●解⊙方程和R方程比较复杂,只将解得的一些波函数列于表2.2。 ●v由n,m所规定,可用vnm表示: Vnhm=Rn(r)⑨m(O)dbm(φ)=Rn(r)Ym(O, 主量子数n=1,2,3,…,n;角量子数=0,1,2,…,n-1;磁量子数m=0,±1,±2,…,士 ●Φ,O,R,Y,v都要归一化,极坐标的微体积元dτ=r2 2sinedrdedd: ΦΦd=1 EOsin ed0=1,R*R2d=1 2丌 r sin dedo=1 Jo Jo Jo y yr sin Odrdadg=1 ●由角量子数规定的波函数通常用s,p,d,f,g,h,…依次代表 =0,1,2,3,4,5,…的状态 ●原子轨道的名称与波函数的角度部分直接相关 3 inosine 4丌 0.0 cos e 4丌 4丌 1,±1 Px-4兀 sinicus o 习题P1051,2

4. 单电子原子的波函数 1; sin 1; R 1 2 0 0 2 0   =   = =        d d Rr dr           = = 0 0 2 0 2 0 2 0 sin 1; sin 1     Y Y dd  r drdd 4 1 Y0,0 = s = ●解方程和R方程比较复杂，只将解得的一些波函数列于表2.2。 ●由n,l,m所规定，可用nlm表示： nlm=Rnl(r)lm()m()=Rnl(r)Ylm(,) 主量子数n=1,2,3,…,n; 角量子数l=0,1,2,…,n-1; 磁量子数m=0,1,2,…,l ●,,R,Y,都要归一化，极坐标的微体积元d=r2sindrdd: ●由角量子数规定的波函数通常用s，p，d，f，g，h，…依次代表 l=0,1,2,3,4,5,…的状态 ●原子轨道的名称与波函数的角度部分直接相关：   cos 4 3 Y1,0 = pz =     = = =        sin sin 4 3 sin cos 4 1, 1 3 y x p p Y 习题P105 1,2