志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 综合测评(A) (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.已知在等比数列{am}中，a+as=l0,a4+as-5则该数列的公比g为() A.2 B.1 c D吃 答案：D 解析：在等比数列{an}中， ,a1+a3=10, ∴a4+a6-a1tas)g-5 “q得“q之故选D 2.已知正弦曲线y=six上有一点P,在点P处的切线为直线1，则直线1的倾斜角的取值范围是(） .. B.[0,π) c Do,u别 答案：A 解析：，y=(sinx)'=cosx, .直线I的斜率=cosx,-1≤k≤1 故直线1的倾斜角的取值范围是[0，习引U 故选A 3已知等比数列{a}的前n项和为S,且am+a号a+a-导则2) an A4- B.4-1 C.2m- D.2-1 y
1 综合测评(A) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知在等比数列{an}中,a1+a3=10,a4+a6= 5 4 ,则该数列的公比 q 为( ) A.2 B.1 C. 1 4 D. 1 2 答案:D 解析:在等比数列{an}中, ∵a1+a3=10, ∴a4+a6=(a1+a3)q 3= 5 4 , ∴q 3= 1 8 ,∴q= 1 2 .故选 D. 2.已知正弦曲线 y=sin x 上有一点 P,在点 P 处的切线为直线 l,则直线 l的倾斜角的取值范围是( ) A.[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π) B.[0,π) C. π 4 , 3π 4 D.[0, π 4 ] ∪ [ π 2 , 3π 4 ] 答案:A 解析:∵y'=(sin x)'=cos x, ∴直线 l 的斜率 kl=cos x,∴-1≤kl≤1. 故直线 l 的倾斜角的取值范围是[0, π 4 ] ∪ [ 3π 4 ,π). 故选 A. 3.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1+a3= 5 2 ,a2+a4= 5 4 ,则 𝑆𝑛 𝑎𝑛 =( ) A.4 n-1 B.4 n -1 C.2 n-1 D.2 n -1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案D 解析设{am的公比为g,则am+aa1tag,即g-之故am+a-a1+ag-0亭即a-2 a1+a3 2×1品 故= 17 an 2201故造D 4.己知定义在R上的函数x)的导函数fx)的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是( 4 A.fb)-fc)-f(d) B.fb)-fa)-fe) Cfc)=Ab)=fa) DAc)-fe)=fd) 答案C 解析：由图可知在区间(-o,c)和(e,+oo)内fx)>0,在区间(c,e)内fx)<0,故x)在区间(-o,c)和(e,+oo)内单 调递增，在区间(c,e)内单调递减。 因为a<b<c,所以a)<b)<c).故选C 5.在等差数列{a}中，若a1,a407是函数x)字3-4r2+6r-1的极值点，则log22o19(） A.2 B.3 C.4 D.5 答案：A 解析：因为fx)=x2-8x+6,且a1,a4037是函数几x)的极值点，所以a,a4037是方程x2-8x+6=0的两个实数 根，所以a1+a4037=8. 又{am}为等差数列，所以2a2019=Q1+a4037=8,即a2019=4. 所以10g2a2019=2.故选A. 6在数学归纳法的递推性证明中，由假设n=k成立推导n=+1成立时m)=1+…增加的项 数是() A.1 B.2+1 C.21 D.2 23
2 答案:D 解析:设{an}的公比为 q,则 a2+a4=(a1+a3)q,即 q= 𝑎2+𝑎4 𝑎1+𝑎3 = 1 2 .故 a1+a3=a1+a1q 2= 5 4 a1= 5 2 ,即 a1=2. 故 𝑆𝑛 𝑎𝑛 = 2×(1- 1 2 𝑛 ) 1- 1 2 2×( 1 2 ) 𝑛-1 =2 n -1.故选 D. 4.已知定义在 R 上的函数 f(x)的导函数 f'(x)的大致图象如图所示,则下列结论一定正确的是( ) A.f(b)>f(c)>f(d) B.f(b)>f(a)>f(e) C.f(c)>f(b)>f(a) D.f(c)>f(e)>f(d) 答案:C 解析:由图可知在区间(-∞,c)和(e,+∞)内 f'(x)>0,在区间(c,e)内 f'(x)<0,故 f(x)在区间(-∞,c)和(e,+∞)内单 调递增,在区间(c,e)内单调递减. 因为 a<b<c,所以 f(a)<f(b)<f(c).故选 C. 5.在等差数列{an}中,若 a1,a4 037 是函数 f(x)= 1 3 x 3 -4x 2+6x-1 的极值点,则 log2a2 019=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:A 解析:因为 f'(x)=x2 -8x+6,且 a1,a4 037 是函数 f(x)的极值点,所以 a1,a4 037 是方程 x 2 -8x+6=0 的两个实数 根,所以 a1+a4 037=8. 又{an}为等差数列,所以 2a2 019=a1+a4 037=8,即 a2 019=4. 所以 log2a2 019=2.故选 A. 6.在数学归纳法的递推性证明中,由假设 n=k 成立推导 n=k+1 成立时,f(n)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑛 -1增加的项 数是( ) A.1 B.2 k+1 C.2 k -1 D.2 k
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案D 解析：肉-1+号…安 +1)1+…2 .从)到fk+1)增加的项数是(211)-(21)=2 7.已知函数x)=2-2cosx则2v2)/og2)1og23)的大小关系是( ) A./log:2)</logz3)-A2V5) B1og12)<2v②)<1og23) C1og23)1og2)f2) Df2v②)flog3)1og2) 答案：A 解析：因为函数fx)=x2-2cosx的定义域为R-x)=(-x)2-2cos(-x)=x2-2cosx=x),所以函数x)为偶函数 又fx)=2r+2sinx>0在区间(0,2π)内恒成立，所以函数x)在区间(0,2π)内单调递增. 又0<|log2|=-log:2<1<1og23<2<2z<2元 所以f1og12)1og23)<2v②).故选A 8已知函数x)2-bxr2+c(b,c为常数)，当x=2时，函数x)取得极值若函数x)只有三个零点，则实数 c的取值范围为( ) A(传+0） B(0) C.(-0,0) D.(0,2) 答案：B 解析x)宁-bx2+c ..f(x)=x2-2bx ,当x=2时，x)取得极值 f2)=22.4b=0,解得b=1 令fx)=0,解得x=0或x=2 3
3 答案:D 解析:∵f(k)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘 -1 , f(k+1)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘+1 -1 . ∴从 f(k)到 f(k+1)增加的项数是(2k+1 -1)-(2k -1)=2 k . 7.已知函数 f(x)=x2 -2cos x,则 f(2 √2 ),f(log1 3 2),f(log23)的大小关系是( ) A.f(log1 3 2)<f(log23)<f(2 √2 ) B.f(log1 3 2)<f(2 √2 )<f(log23) C.f(log23)<f(log1 3 2)<f(2 √2 ) D.f(2 √2 )<f(log23)<f(log1 3 2) 答案:A 解析:因为函数 f(x)=x2 -2cos x 的定义域为 R,f(-x)=(-x) 2 -2cos(-x)=x2 -2cos x=f(x),所以函数 f(x)为偶函数. 又 f'(x)=2x+2sin x>0 在区间(0,2π)内恒成立,所以函数 f(x)在区间(0,2π)内单调递增. 又 0<|log1 3 2|=log32<1<log23<2<2 √2<2π, 所以 f(log1 3 2)<f(log23)<f(2 √2 ).故选 A. 8.已知函数 f(x)= 1 3 x 3 -bx2+c(b,c 为常数),当 x=2 时,函数 f(x)取得极值.若函数 f(x)只有三个零点,则实数 c 的取值范围为( ) A.( 4 3 , + ∞) B.(0, 4 3 ) C.(-∞,0) D.(0,2) 答案:B 解析:∵f(x)= 1 3 x 3 -bx2+c, ∴f'(x)=x2 -2bx. ∵当 x=2 时,f(x)取得极值, ∴f'(2)=2 2 -4b=0,解得 b=1. 令 f'(x)=0,解得 x=0 或 x=2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 故当0<x<2时，x)单调递减，当x<0或x>2时，x)单调递增. 故当x=0时，几x)取得极大值，当x=2时x)取得极小值 由题意，可知x)=0有3个实根， 则ff0=cs0 气f2)=号-4+c<0,解得0<c号故选B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选 对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9.在数列{a}中，若aa出-k为常数)，则称{a}为等差比数列：下列关于“等差比数列的说法正 an+l-an 确的是( A.k不可能为0 B.等差数列一定是等差比数列 C等比数列一定是等差比数列 D.等差比数列中可以有无数项为0 答案：AD 解析：依题意，k不可能为0，故A正确；设an=l,则{an}既是等差数列，也是等比数列，但不是等差比数列， 故B,C错误；数列0,1,0,1,0,1，…是等差比数列，且有无数项为0，故D正确.故选AD 10.已知函数几x)=x3-2x2.4x-7,其导函数为fx),则下列命题为真命题的是() Ax)的单调递减区间是（作，2） Bx)的极小值是-15 C.当a>2时，对任意的x>2,且x≠a,恒有x)>a)tfa)(xa) D.函数x)有且只有一个零点 答案：BCD 解析：由题意可知fx)=3x2-4x-4. 令f)0,解得x=子载x=2 故当x<或x>2时fx)>0,x)单调递增； 当子x<2时/x)<0,x)单调递减 故当x=2时，x)取极小值，极小值为2)=-15 当x=时)取板大值，极大值为人)=盟 4
4 故当 0<x<2 时,f(x)单调递减,当 x<0 或 x>2 时,f(x)单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取得极大值,当 x=2 时,f(x)取得极小值. 由题意,可知 f(x)=0 有 3 个实根, 则{ 𝑓(0) = 𝑐 > 0, 𝑓(2) = 8 3 -4 + 𝑐 < 0, 解得 0<c< 4 3 .故选 B. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选 对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分. 9.在数列{an}中,若 𝑎𝑛+2-𝑎𝑛+1 𝑎𝑛+1-𝑎𝑛 =k(k 为常数),则称{an}为“等差比数列”.下列关于“等差比数列”的说法正 确的是( ) A.k 不可能为 0 B.等差数列一定是等差比数列 C.等比数列一定是等差比数列 D.等差比数列中可以有无数项为 0 答案:AD 解析:依题意,k 不可能为 0,故 A 正确;设 an=1,则{an}既是等差数列,也是等比数列,但不是等差比数列, 故 B,C 错误;数列 0,1,0,1,0,1,…是等差比数列,且有无数项为 0,故 D 正确.故选 AD. 10.已知函数 f(x)=x3 -2x 2 -4x-7,其导函数为 f'(x),则下列命题为真命题的是( ) A.f(x)的单调递减区间是( 2 3 ,2) B.f(x)的极小值是-15 C.当 a>2 时,对任意的 x>2,且 x≠a,恒有 f(x)>f(a)+f'(a)(x-a) D.函数 f(x)有且只有一个零点 答案:BCD 解析:由题意可知 f'(x)=3x 2 -4x-4. 令 f'(x)=0,解得 x=- 2 3或 x=2. 故当 x<- 2 3或 x>2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当- 2 3 <x<2 时,f'(x)<0,f(x)单调递减. 故当 x=2 时,f(x)取极小值,极小值为 f(2)=-15; 当 x=- 2 3 时,f(x)取极大值,极大值为 f(- 2 3 )=- 149 27
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 故x)只有一个零点故A错误，B,D正确 由导数的几何意义，易知当x≥a时，ff@fa,即>+far-a x-a 当2<r<a时，ff@fa,即f>a+fax-a. x-a 故当a>2时，对任意的x>2,且≠a,恒有x)>八a+f(ax-a 故C正确.故选BCD 11.设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-l,am+1=SmSn+1,则(） Aa-月 -1,n=1, Ba点n22 C数列侣}为等差数列 D宁++5050 S100 答案：BCD 解析：因为Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-l,a1=SmSn+l, 所以SS=SS,整理得l. 所以数列侣}是以宁1为首项1为公差的等差数列，所以一1-=nS-号 所以当n≥2时a=Ss启月 又a=1不符合上式， -1.n=1. 所以an= 上n2. -1n m所以+…5-1+2+3…+10-0-5050，故选BcD 因为 S100 2 12.已知函数x)之r2+a)的图象在点Pnm)Xn∈N)处的切线a的斜率为k,直线a分别交x轴、y 轴于点A(xm,0),B0m),且M=-1.以下结论中，正确的有(） Aa=-1 B.设函数gn)=x(n∈N+),则函数gn)先减后增，且最小值为1 C.当n∈N,时，h+k+ln(1+ka)
5 故 f(x)只有一个零点.故 A 错误,B,D 正确. 由导数的几何意义,易知当 x>a 时, 𝑓(𝑥)-𝑓(𝑎) 𝑥-𝑎 >f'(a),即 f(x)>f(x)+f'(a)(x-a); 当 2<x<a 时, 𝑓(𝑥)-𝑓(𝑎) 𝑥-𝑎 <f'(a),即 f(x)>f(a)+f'(a)(x-a). 故当 a>2 时,对任意的 x>2,且 x≠a,恒有 f(x)>f(a)+f'(a)(x-a). 故 C 正确.故选 BCD. 11.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则( ) A.an= 1 𝑛-1 − 1 𝑛 B.an={ -1,𝑛 = 1, 1 𝑛-1 - 1 𝑛 ,𝑛 ≥ 2 C.数列{ 1 𝑆𝑛 }为等差数列 D. 1 𝑆1 + 1 𝑆2 +…+ 1 𝑆100 =-5 050 答案:BCD 解析:因为 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1, 所以 Sn+1-Sn=SnSn+1,整理得 1 𝑆𝑛+1 − 1 𝑆𝑛 =-1. 所以数列{ 1 𝑆𝑛 }是以 1 𝑆1 =-1 为首项,-1 为公差的等差数列,所以 1 𝑆𝑛 =-1-(n-1)=-n,Sn=- 1 𝑛 . 所以当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 𝑛-1 − 1 𝑛 . 又 a1=-1 不符合上式, 所以 an={ -1,𝑛 = 1, 1 𝑛-1 - 1 𝑛 ,𝑛 ≥ 2. 因为 1 𝑆𝑛 =-n,所以 1 𝑆1 + 1 𝑆2 +…+ 1 𝑆100 =-(1+2+3+…+100)=- 100×101 2 =-5 050.故选 BCD. 12.已知函数 f(x)= 1 2 (x 2+a)的图象在点 Pn(n,f(n))(n∈N+)处的切线 ln的斜率为 kn,直线 ln 分别交 x 轴、y 轴于点 An(xn,0),Bn(0,yn),且 y1=-1.以下结论中,正确的有( ) A.a=-1 B.设函数 g(n)=xn(n∈N+),则函数 g(n)先减后增,且最小值为 1 C.当 n∈N+时,yn+kn+ 1 2 <ln(1+kn)