Q:+Q(E-8al(R≤R) 4πER4π86Ro Q (R>Ro) 4πER 4.均匀带电体（电容率￡1）的中心置一电偶极子P,球外充满了另一种电介质（电 容率62)，求空间各点的电势和极化电荷的分布。 解：如上题，设91=p+ PR 4密R’0满足拉普拉斯方程。 由题意得定解条件 72p= 0 (1) V2p2= 0 (2) ilR-0= 有限值 (3) P2R= 0 (4) 91= P2 R-Ro (5) aol. o02 (6) 由(1)(2)解得 -2aR+品e C.R 由(3)(4)解得 -aR- 由(5)(6)解得 (7) 0R0 0含a成小宫毫n (8)
6 = f f 0 0 0 0 f 0 ) 0 Q Q ( ) (R R ) 4 R 4 R Q (R R 4 R − + 4. 均匀带电体（电容率 1）的中心置一电偶极子 f p ，球外充满了另一种电介质（电 容率 2），求空间各点的电势和极化电荷的分布。 解：如上题，设 1 1 3 1 p R 4 R f = + ，1 满足拉普拉斯方程。 由题意得定解条件 0 0 0 2 1 2 2 1 R 0 2 R 1 2 R R 1 2 1 R R 2 R R 0 (1) 0 (2) (3) 0 (4) (5) (6) R R → → = = = = = = = = = 有限值 由（1）（2）解得 n n 1 n n n+1 n 0 b (a R )P R = = + n n 2 n n n+1 n 0 d (c R )P R = = + 由（3）（4）解得 n 1 n n n 0 a R P = = n 2 n n+1 n 0 d P R = = 由（5）（6）解得 f 0 n 3 n 0 n 1 0 n 0 p R a R p 4 R = + = n n 1 n n 0 0 d P R + = （7） f 0 n n 1 1 n 0 n 2 n 3 n+2 1 0 0 n 0 n 0 ˆ 2p R d a nR p (n 1) p 4 R R − = = − + = − + f 0 n-1 3 1 n 0 n 0 n 0 ˆ p R a nR p 2 R = − + = n 2 n 2 n 0 0 d (n 1) R + = − + n p （8）
对(7)(8)式， 当n=0时解得 a=d=0 当n=1时 PrRo+aRo= 4πE,R -P5ta6=-28 d 2πR R 解得 Pr(6-62) a1= 2π6，R(262+6) 3P d=4π26，+) 对n>l时解得 an=0 n>1) b.=0 m原 4红2G,+)Rcos0= 3pa 3· P2 (R<R) 4π(262+6)R 3p,·R ∴.0= 42a,+R(R>R) pR(G-62)p· 4πER28,R(2E2+G) (R<R) 球面上的极化电荷密度o。=-i(-)=-i(D-D)+i(E2-E) 球面上无自由电荷，故 o=i(D2-D,)=0 4,-店-)-（股+0） 350(6-52)PIcose 2πE(61+262)R
7 对（7）（8）式， 当 n=0 时解得 0 0 a d = = 0 当 n=1 时 0 1 3 2 1 0 1 0 0 1 3 3 1 1 2 0 0 4 2 2 f f p R d a R R R p d a R R + = − + = − 解得 1 2 1 3 1 0 2 1 1 2 1 ( ) 2 (2 ) 3 4 (2 ) f f p a R P d − = + = + 对 n>1 时解得 n n a 0 (n 1) b 0 = = 1 2 f 1 3 0 2 1 ( )p R 2 R (2 ) − = + f 2 2 1 3p 4 (2 ) = + 2 1 cos R = f 3 2 1 3p R 4 (2 )R + （R<R 0 ） 3 0 2 1 1 2 3 3 0 1 1 0 2 1 3 ( ) 4 (2 ) ( ) ( ) 4 2 (2 ) f f f p R R R R p R p R R R R R + = − + + 球面上的极化电荷密度 p 2 1 2 1 0 2 1 = − − = − − + − n P P n D D n E E ( ) ( ) ( ) 球面上无自由电荷，故 f 2 1 = − = n D D ( ) 0 ( ) 0 2 1 p 0 2 1 0 R R n E E R R = = − = − + 0 1 2 3 1 1 2 0 3 ( ) cos 2 2 ) f p R − = （ +
5.空心带电体球壳内外半径为R1和R,球中心置一偶极子p,球壳带电Q,求空间各点 电势和电荷分布。 _p-R-+0(R<R) 解：由题意得定解条件，设0=4G,R p.R P3= 476R+(R>) 72p=0 (1) v2p=0 (2) pR0=有限 (3) 3R=0 (4) 0R=R=R=R,=(待定) (5) es-5.3服 ds=2(6) 由(1)(2)解得 网-2a,R+是n n=0 由(3)(4)解得 o-ZaR'p. n=0 网-品R 将上式代入p,p2再由(5)(6)可解得 a0=Po:41=- 4Ra,=0n≠0,1） d=R0o,d=- ,d.=0n0,0 4π80 于是 8
8 5. 空心带电体球壳内外半径为 R1和 R2，球中心置一偶极子 p ，球壳带电 Q，求空间各点 电势和电荷分布。 解 ： 由 题 意 得 定 解 条 件 , 设 ( ) 1 1 1 3 0 4 p R R R R = + ( ) 3 3 2 3 0 4 p R R R R = + 1 2 2 1 2 3 1 R 0 3 R 1 R 3 R R 0 0 (1) 0 (2) (3) 0 4 R → → = = = = = = = = 有限 （ ） 2 1 2 1 0 R=R R R 0 ( 5 Q ds ds (6) R R = − = 待定） （ ） 由（1）（2）解得 n 1 n n 0 (a R = = + n n 1 n b )p R + n 3 n 1 n 0 (c R = = + n n 1 n d )p R + 由（3）（4）解得 n 1 n n n 0 a R p = = n 3 n n 1 n 0 d p R + = = 将上式代入 1 2 ， 再由（5）（6）可解得 0 0 1 3 0 1 0 2 0 1 0 , 0( 0,1) 4 , , 0( 0,1) 4 n n P a a a n R P d R d d n = = − = = = − = ， 于是