志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课后·训练提升 基础巩固 1下面的椭圆中，与椭圆号+片-1有相同离心率的是(） A号+号1 B+芳 c希+芸到 D元+品1 答案：A 解析椭圆号+华1与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等，因此两精圆的形状、大小完全一样，只 是焦点所在坐标轴不同，故两个椭圆的离心率相同 2.设线段AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA=45°，若AB=4,BC=V2,则椭圆的焦距等于 () A.43 B26 3 3 CNE D兴 答案：C 解析：不妨设椭圆方程为号 =l(a>b>0),1为长轴的左端点，B为长轴的右端点，因为∠ CBA=45°，h1-41Bq=反，所以2a=4,且C1,于是+-1解得号则c-4写=乎故狼矩为 43 3已知椭圆后+片-1o>60)的离心率为号则() A.a2=2b2 B.3a2=4b2 C.a=2b D.3a=4b 答案：B 解析：由题意可得e=总二克则3如=4，故造B (c2=a2-b2, 1
1 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课后· 基础巩固 1.下面的椭圆中,与椭圆𝑥 2 9 + 𝑦 2 4 =1 有相同离心率的是( ) A. 𝑦 2 9 + 𝑥 2 4 =1 B. 𝑥 2 36 + 𝑦 2 25=1 C. 𝑦 2 36 + 𝑥 2 25=1 D. 𝑥 2 36 + 𝑦 2 11=1 答案:A 解析:椭圆𝑦 2 9 + 𝑥 2 4 =1 与已知椭圆的长轴长和短轴长分别相等,因此两椭圆的形状、大小完全一样,只 是焦点所在坐标轴不同,故两个椭圆的离心率相同. 2.设线段 AB 是椭圆的长轴,点 C 在椭圆上,且∠CBA=45°,若|AB|=4,|BC|=√2,则椭圆的焦距等于 ( ) A. 4√3 3 B. 2√6 3 C. 4√6 3 D. 2√3 3 答案:C 解析:不妨设椭圆方程为𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0),A 为长轴的左端点,B 为长轴的右端点,因为∠ CBA=45°,|AB|=4,|BC|=√2,所以 2a=4,且 C(1,1),于是1 4 + 1 𝑏 2=1,解得 b 2= 4 3 ,则 c=√4- 4 3 = 2√6 3 ,故焦距为 4√6 3 . 3.已知椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的离心率为1 2 ,则( ) A.a 2=2b 2 B.3a 2=4b 2 C.a=2b D.3a=4b 答案:B 解析:由题意可得{ 𝑒 = 𝑐 𝑎 = 1 2 , 𝑐 2 = 𝑎 2 -𝑏 2 , 则 3a 2=4b 2 ,故选 B
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 4直线)k+1与椭圆号+兰1的位置关系为( 4 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案：A 解析：由题意得，直线1-)恒过定点(1,1，而点(，1)在精圆号+兰-1的内部，所以直线与精圆相交 5.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是() A号+-1 B号+后-1 c号+片1 +片1 答案：C 解析：设裤圆方程为行+。 y2 (x2 -l(a>1, 云=1，得(2a-1)2+6dx10a2-d)=0,由4≥0，得 (x-y+3=0, ≥5，所以片=≤票即椭圆的高心率最大为气此时a5桶国方程为号+片-1 aa 5 6已知椭圆爱+5- -I(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,过F的直线与椭圆交于AB两点，若△F14B 是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) 号 B.2-V3 C.V5-2 D.V6-√3 答案D 解析：设4F=x,则4B=x,BF=VZx,于是x+x+VZx=4a,解得x=(4-2V2)a,于是4F2=2a-(4 2V2a-(2v2-2a,由勾股定理得4-22aP+2v2.2aj-(2c,整理得e2三9-62，所以 e=√9-6√2=√9-21⑧=V6-√3 7.有两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.己知大椭圆的长轴长为40cm,短轴长为20cm,小椭圆的短 轴长为10cm,则小椭圆的长轴长等于() A.10cm B.20cm C.10y3 cm D.20v3cm 答案B 解析：两个椭圆扁平程度相同，则其离心率相等.大椭圆长轴长2a1=40,短轴长2b1=20,则a1=20,b1=10, 于是a---10v.因此离心率兴= 2 2
2 4.直线 y=kx-k+1 与椭圆𝑥 2 9 + 𝑦 2 4 =1 的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 答案:A 解析:由题意得,直线 y-1=k(x-1)恒过定点(1,1),而点(1,1)在椭圆𝑥 2 9 + 𝑦 2 4 =1 的内部,所以直线与椭圆相交. 5.以 F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线 x-y+3=0 有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是( ) A. 𝑥 2 20 + 𝑦 2 19=1 B. 𝑥 2 9 + 𝑦 2 8 =1 C. 𝑥 2 5 + 𝑦 2 4 =1 D. 𝑥 2 3 + 𝑦 2 2 =1 答案:C 解析:设椭圆方程为𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑎2-1 =1(a>1),由{ 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑎2-1 = 1, 𝑥-𝑦 + 3 = 0, 得(2a 2 -1)x 2+6a 2 x+(10a 2 -a 4 )=0,由 Δ≥0,得 a≥√5,所以 e= 𝑐 𝑎 = 1 𝑎 ≤ √5 5 ,即椭圆的离心率最大为√5 5 ,此时 a=√5,椭圆方程为𝑥 2 5 + 𝑦 2 4 =1. 6.已知椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) A. √2 2 B.2-√3 C.√5-2 D.√6 − √3 答案:D 解析:设|AF1|=x,则|AB|=x,|BF1|=√2x,于是 x+x+√2x=4a,解得 x=(4-2√2)a,于是|AF2|=2a-(4- 2√2)a=(2√2-2)a,由勾股定理得[(4-2√2)·a] 2+[(2√2-2)a] 2=(2c) 2 ,整理得 e 2= 𝑐 2 𝑎2=9-6√2,所以 e=√9-6√2 = √9-2√18 = √6 − √3. 7.有两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为 40 cm,短轴长为 20 cm,小椭圆的短 轴长为 10 cm,则小椭圆的长轴长等于( ) A.10 cm B.20 cm C.10√3 cm D.20√3 cm 答案:B 解析:两个椭圆扁平程度相同,则其离心率相等.大椭圆长轴长 2a1=40,短轴长 2b1=20,则 a1=20,b1=10, 于是 c1=√𝑎1 2 -𝑏1 2=10√3,因此离心率 e1= 10√3 20 = √3 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 因为小椭圆的短轴长2b2=10,所以b2=5, 所以e2 好喝 225 a2 a2 a2 2 解得a2=10, 故小椭圆的长轴长为20cm. 8已知点P在椭圆C号+2=1上，直线1x少+m-0,则m=3V5是点P到直线1的距离的最小值是 √1而的( A必要不充分条件 B.充分不必要条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B 解析：设直线1x-y+n=0, 联立三+y2=1些理得5+8+4.40 (x-y+n=0, 令4-0，即642-20(4r-4)=0,解得n=±V5,若m=3V5,则直线1与椭圆的切线xy+V5-0之间的距离 dB55=V,此时椭圆上的动点P到直线1的距离的最小值是V而.故当m=35或-3W5时，点P到 直线I的距离的最小值是√1而.故选B. 9椭圆学+片1的离心率为则m 答案3或号 解析：由题意可得m>0.当焦点在x轴上时，有严=解得m=3,符合题意：当焦点在y轴上时，有 2 Vm-4 √m =》解得m兰符合题意。 综上，m=3或m=9 10.已知椭圆C +-1a>6-0的右焦点为F1,0离心率为号 (1)求椭圆C的方程； (2)设点A为椭圆C的上顶点，点B在椭圆上且位于第一象限，且∠AFB=90°，求△AFB的面积 解：(1)依题意c=1,= 21 3
3 因为小椭圆的短轴长 2b2=10,所以 b2=5, 所以 e2= 𝑐2 𝑎2 = √𝑎2 2 -𝑏2 2 𝑎2 = √𝑎2 2 -25 𝑎2 = √3 2 , 解得 a2=10, 故小椭圆的长轴长为 20 cm. 8.已知点 P 在椭圆 C: 𝑥 2 4 +y2=1 上,直线 l:x-y+m=0,则“m=3√5”是“点 P 到直线 l 的距离的最小值是 √10”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:设直线 l1:x-y+n=0, 联立{ 𝑥 2 4 + 𝑦 2 = 1, 𝑥-𝑦 + 𝑛 = 0, 整理得 5x 2+8nx+4n 2 -4=0, 令 Δ=0,即 64n 2 -20(4n 2 -4)=0,解得 n=±√5,若 m=3√5,则直线 l与椭圆的切线 x-y+√5=0 之间的距离 d=|3√5-√5| √2 = √10,此时椭圆上的动点 P 到直线 l 的距离的最小值是√10.故当 m=3√5或-3√5时,点 P 到 直线 l 的距离的最小值是√10.故选 B. 9.椭圆𝑥 2 4 + 𝑦 2 𝑚 =1 的离心率为1 2 ,则 m= . 答案:3 或 16 3 解析:由题意可得 m>0.当焦点在 x 轴上时,有 √4-𝑚 2 = 1 2 ,解得 m=3,符合题意;当焦点在 y 轴上时,有 √𝑚-4 √𝑚 = 1 2 ,解得 m= 16 3 ,符合题意. 综上,m=3 或 m= 16 3 . 10.已知椭圆 C: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),离心率为√2 2 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 A 为椭圆 C 的上顶点,点 B 在椭圆上且位于第一象限,且∠AFB=90°,求△AFB 的面积. 解:(1)依题意 c=1,𝑐 𝑎 = √2 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 则a=Z,b=√a2-c2-1 故精国C的方程为号 (2)设点B(x0o),因为点B在椭圆上， 所以受+好=1.回 设直线FA,FB的斜率分别为kFA,kFR 因为∠AFB=90°，所以kEA kFBT=-1, 则h=1.② x0-1 由①②消去0，得3x行-4x0=0, 解得00含去)，或0号 代入方程②得0号所以B作》 所以BF-号又MFZ 所以△FB的面积S字AF-18F-×2x号-专 拓展提高 1已知椭圆影+片=a>b0的一个焦点是圆+-6+80的圆心，且短箱长为8则椭圆的左项点为 () A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0) 答案D 解析：圆x2+2-6x+8=0的圆心为(3,0)，则椭圆的半焦距c=3,又2b=8,所以b=4,a=√b2+c2-5,故左顶 点为(-5,0). 2.已知集合A={(x,y)x+y=2;,集合B={(x,y)x2+22=2},则AnB中元素的个数为() A.4 B.2 C.1 D.0 答案D 解折联化+2子-2消去得3驴20，白于4上80所以直气2与稀国+22花有 公共点，故A∩B=O 4
4 则 a=√2,b=√𝑎 2-𝑐 2=1, 故椭圆 C 的方程为𝑥 2 2 +y2=1. (2)设点 B(x0,y0),因为点 B 在椭圆上, 所以𝑥0 2 2 + 𝑦0 2=1.① 设直线 FA,FB 的斜率分别为 kFA,kFB. 因为∠AFB=90°,所以 kFA·kFB=-1, 则 𝑦 0 𝑥0-1 =1.② 由①②消去 y0,得 3𝑥0 2 -4x0=0, 解得 x0=0(舍去),或 x0= 4 3 , 代入方程②得 y0= 1 3 ,所以 B( 4 3 , 1 3 ), 所以|BF|=√2 3 ,又|AF|=√2, 所以△AFB 的面积 S=1 2 ×|AF|×|BF|=1 2 × √2 × √2 3 = 1 3 . 拓展提高 1.已知椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的一个焦点是圆 x 2+y2 -6x+8=0 的圆心,且短轴长为 8,则椭圆的左顶点为 ( ) A.(-3,0) B.(-4,0) C.(-10,0) D.(-5,0) 答案:D 解析:圆 x 2+y2 -6x+8=0 的圆心为(3,0),则椭圆的半焦距 c=3,又 2b=8,所以 b=4,a=√𝑏 2 + 𝑐 2=5,故左顶 点为(-5,0). 2.已知集合 A={(x,y)|x+y=2},集合 B={(x,y)|x2+2y 2=2},则 A∩B 中元素的个数为( ) A.4 B.2 C.1 D.0 答案:D 解析:联立{ 𝑥 + 𝑦 = 2, 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 2 消去 x,得 3y 2 -4y+2=0,由于 Δ=-8<0,所以直线 x+y=2 与椭圆 x 2+2y 2=2 没有 公共点,故 A∩B=⌀
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 3(多选题)尼知曲线C莞+号-1与曲线G点+先-1k<9)关于G和G,下列说法正确的是 () A两条曲线都表示焦点在x轴上的椭圆 B.它们的焦距相等 C它们有相同的焦点 D.它们的离心率相等 答案：ABC 解析：可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确：曲线C1的焦距为2V25-9=8,曲线C2的焦 距为2√25-k-9-)=8,故B,C正确；曲线G的离心率1号曲线G的离心率e22故D不正确 4椭圆C号+为-1(o>b0)的左、右焦点分别为A,A,过点F作垂直于x轴的直线交椭圆C于AB 两点，若△AFB为等边三角形，则椭圆C的离心率为() A月 B吗 c 答案D 解析由随意可得，4B-2公 因为△AFB为等边三角形， 所以FF2l=4Fsin时-AB卧sin 即2-号x2g所以2ac-3职， 即2ac=V3(ad2-c2),所以V3e2+2e-V3=0, 解得e或e-V3(含去】 5经过椭圆号+=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线1交椭圆于A,B两点设0为坐标原点则0. 0丽的值等于( ) A月 B明 c D时 答案：C 5
5 3.(多选题)已知曲线 C1: 𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 与曲线 C2: 𝑥 2 25-𝑘 + 𝑦 2 9-𝑘 =1(k<9),关于 C1 和 C2,下列说法正确的是 ( ) A.两条曲线都表示焦点在 x 轴上的椭圆 B.它们的焦距相等 C.它们有相同的焦点 D.它们的离心率相等 答案:ABC 解析:可知两个方程均表示焦点在 x 轴上的椭圆,故 A 正确;曲线 C1 的焦距为 2√25-9=8,曲线 C2 的焦 距为 2√(25-𝑘)-(9-𝑘)=8,故 B,C 正确;曲线 C1 的离心率 e1= 4 5 ,曲线 C2 的离心率 e2= 4 √25-𝑘 ,故 D 不正确. 4.椭圆 C: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F2 作垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,若△AF1B 为等边三角形,则椭圆 C 的离心率为( ) A. 1 2 B. √3 2 C. 1 3 D. √3 3 答案:D 解析:由题意可得,|AB|=2𝑏 2 𝑎 , 因为△AF1B 为等边三角形, 所以|F1F2|=|AF1|·sinπ 3 =|AB|·sinπ 3 , 即 2c= √3 2 × 2𝑏 2 𝑎 ,所以 2ac=√3b 2 , 即 2ac=√3(a 2 -c 2 ),所以√3e 2+2e-√3=0, 解得 e= √3 3 或 e=-√3(舍去). 5.经过椭圆𝑥 2 2 +y2=1 的一个焦点作倾斜角为 45°的直线 l,交椭圆于 A,B 两点.设 O 为坐标原点,则𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 的值等于( ) A.- 5 3 B. 5 3 C.- 1 3 D. 1 3 答案:C