V.[E.sin(kr)] =[Vsin(krJE。+sin(kr)7.E。 =[7sin(k(x-x)+k,(y-y)+k(z-z)川E。 =Ek,cos[k,(x-x)+k,(y-y)+k.(=-)] +Ek,cos[k,(x-x)+k,(y-y)+k.(=-=)] +Ek.cos[k,(x-x)+k,(y-y)+k.(-)] =(Eok,+Eo ky +Eak:)cos[k,(x-x)+k,(y-y)+k.(=-2)] =Cos(kr)E。·Z Vx[E。sin(kr] =[V sin(kr)]x E.+sin(kr)Vx E =[k,cos(k-r)e,+k,cos(kr)e,+k.cos(kr)e:]xE. =cos(kr)(k,e,+k,e,+k.e)xE. =cos(kr)k×Ea) 注，这个题出错率比较高，也可以这样证明： V.[E.sin(kr)] =[Vsin(krJE。+sin(kr)7.E。 由于V.E。=O,Vsin(kr)=7(kr)cos(kr),而V(kr)=k ∴.V.[E.sin(kr)】=k·E.cos(kr) Vx[E。sin(kr)] =[Vsin(kr)]xE。+7×E.sin(kr 由于V×E。=O,Vsin(kr)=V(kr)cos(kr)=kcos(kr), .∴V×[E.sin(kr)]=k×E.cos(kr) 4.()应用高斯定理证明 Jdwv×f=∮as×f (2)应用斯托克斯(Stokes)定理证明 [dsxvo=④dip 解：(1)用一非零任意常矢量c点乘原式左边，得 c∫vxf-∫h(Vxf)c
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' [ sin( )] [ sin( )] sin( ) [ sin( ( ) ( ) ( ))] cos[ ( ) ( ) ( )] cos[ ( ) ( ) ( )] cos[ ( ) ( x y z ox x x y z oy y x y z oz z x y E k r k r E k r E k x x k y y k z z E E k k x x k y y k z z E k k x x k y y k z z E k k x x k = + = − + − + − = − + − + − + − + − + − + − + 。 。 。 。 ' ' ' ' ' ) ( )] ( )cos[ ( ) ( ) ( )] cos( ) z ox x oy y oz z x y z y y k z z E k E k E k k x x k y y k z z k r E k − + − = + + − + − + − = 。 [ sin( )] [ sin( )] sin( ) [ cos( ) cos( ) cos( ) ] cos( )( ) cos( )( ) x x y y z z x x y y z z E k r k r E k r E k k r e k k r e k k r e E k r k e k e k e E k r k E = + = + + = + + = 。 。 。 。 。 。 注，这个题出错率比较高，也可以这样证明： [ sin( )] [ sin( )] sin( ) =0 sin( )= ( )cos( ) ( )= [ sin( )] cos( ) [ sin( )] [ sin( E k r k r E k r E E k r k r k r k r k E k r k E k r E k r k = + = = 。 。 。 由于 。 ， ，而 。 。 。 )] sin( ) =0 sin( )= ( )cos( )= cos( ) [ sin( )] cos( ) r E E k r E k r k r k r k k r E k r k E k r + = 。 。 由于 。 ， ， 。 。 4. ⑴ 应用高斯定理证明 V S dV f dS f = ⑵ 应用斯托克斯（Stokes）定理证明 S L d S d L = 解：⑴用一非零任意常矢量 c 点乘原式左边，得 ( ) v v c dv f dv f c =
.7.(fxc)=(V×)c-(V×c.f =(V×f)c (because7×c=O) 所以上式右边= =J,V-(Fxe)dv 应用高斯定理得 =∮(f×c)d 再利用三矢量混合积，得 =∮c-(d×f) =c6 dSxJ 因为c为任意非零常矢量，故 ∴∮×了=∫ndN×f 注，这个题出不会证的同学比例较高，大家也可以试着这样证明： 等式左边的x分量为 e∫avxf=jdre(xf) 利用a-(⑥xd=b-(cxad e(xf）=v(fxe) 所以 ejw(xf)=∫(Txe) 再利用高斯定理，得 e∫(×f)=∮s(fxe) =∮e(×) =e·∮×j 可见，∫dWV×于的x分量与∮压xf的x分量相等。 同理，可证y与z分量都如上所证相等。故 ∫dT×f=∮d压×f （证毕)
( )= - = (because 0) f c f c c f f c c = （ ） （ ） （ ） 所以上式右边= ( ) V = f c dV 应用高斯定理得 ( ) s = f c dS 再利用三矢量混合积，得 ( ) s s c dS f c dS f = = 因为 c 为任意非零常矢量，故 S V = dS f dV f 注，这个题出不会证的同学比例较高，大家也可以试着这样证明： 等式左边的 x 分量为 ( ) x x v v e dv f dve f = 利用 a b c b c a = ( ) ( ) e f f e x x = ( ) ( ) 所以 x x ( ) ( ) v v e dv f dv f e = 再利用高斯定理，得 ( ) ( ) = ( ) = x x v s x s x s e dv f ds f e e ds f e ds f = 可见， V dV f 的 x 分量与 S dS f 的 x 分量相等。 同理，可证 y 与 z 分量都如上所证相等。故 V S dV f dS f = （证毕）