世纪的中国有这样惊人的创造。具有巨大生命力的发明涅没于历史积坐中,而 传到欧洲的火药和指南针“应用在枪炮和航海上,给本师吃了许多亏”。这确实 是值得深省的历史现象。 (三)数学的世界性贡献及其缺陷 数学曾被称作“科学的女王”,它对科技其他侧面的发展有不可估量的影响。 中国曾经产生过世界第一流的数学成果。从公元前二世纪直到十四世纪,中国的 数学研究从未间断。特别是从一二四七年到一三0三年间的五十多年问,涌现出 批划时代的人物,如秦九韶、李治、杨辉、郭守敬、朱世杰等。他们的工作使 “天元术”飞速地发展,成绩之突出是史无前例的。中国数学卓有成就之时,正 值欧洲的中世纪,基督教神学和经院哲学的权威与教条统治全社会,障碍了人们 思想的自由发展,在东方(中亚细亚地区使用阿拉伯文的各民族)学术输入之前 数学水平很难说已经超过公元前六世纪的埃及,和我国相比,更是相形见绌。 1十进位位置值制记数法 我国古代数学对世界文化的重大贡献首推“十进位值制记数法 古今中外的记数法,可以分为两类,一类是位值制,一类是非位值制 前者以现行的阿拉伯数码记数法为代表,后者以罗马记数法为代表。所谓位值制, 就是一个数码表示什么数,要看它所在的位置而定。如23中的2表示20,32 中的2表示2,等等。非位值制与此不同,每一个较高的单位是用特殊的符号采 表示。例如3888,罗马记数法要写成 MMMDCCCLXXXVⅢl。采用这种记数法, 不利于思维过程的表达,用它作加减运算非常因难。这种笨拙的记数法在十二世 纪以前盛行于欧洲,不难想象当时数学的落后情形 我国用筹记数,早就使用十进位值制。加2656写成量“=TxT”,3888 写成““”,和现代相比,只是符号不同罢了。中美洲的玛雅人虽然懂得位值的 道理,但用的是20进位值,巴比伦人也知道位值制,但用的是60进位制。印度 到六世纪末才有十进位值制记数法。使用位值制而又是十进位的,以中国人为最 早。故李约瑟指出:“在西方后来所习见的印度数字’的背后,位值制早已在中 国存在两千年了”,“中国的计算人员和星官为印度人发展只需要九个符号的计算 方法开辟了道路”。他高度评价说;“如果没有这种十进位制,就几乎不可能出现 我们现在这个统一化的世界了。” 2简捷的四则运算 有了先进的记效法,简捷的四则运算就不难得到。再加上广泛地使用了口诀, 于是能够“运筹如飞”。在这个基础上又出现了开平方、开立方的法则,这在世 界上也是最早的。三千多年以前,埃及纸草书虽然已有分数,但所有分数都化为 单分子分数,计算非常复杂。巴比他人用60进分数,运算也颇麻烦。欧几里得 《几何原本》经到分数,但没有提出运算方法。欧洲直到十五世纪以后才逐渐有 现代分数算法,晚于我国一千多年。 3.圆周率 有了一整套简捷的运算方法,就得以对某些问题建立优良的解法,取得卓有 成效的结果。例如,在被称为“各个时代的数学才能的量度”的圆周率研究领域 中国古代数学家便成果斐然 首先在圆周率研究上取得重大突破的是魏晋时期的刘徽。他在为数学名著 《九章算术》作注时,正确指出,“周三径一”不是圆周率值,实际上是圆内接
6 一世纪的中国有这样惊人的创造。具有巨大生命力的发明涅没于历史积坐中，而 传到欧洲的火药和指南针“应用在枪炮和航海上，给本师吃了许多亏”。这确实 是值得深省的历史现象。 （三）数学的世界性贡献及其缺陷 数学曾被称作“科学的女王”，它对科技其他侧面的发展有不可估量的影响。。 中国曾经产生过世界第一流的数学成果。从公元前二世纪直到十四世纪，中国的 数学研究从未间断。特别是从一二四七年到一三 0 三年间的五十多年问，涌现出 一批划时代的人物，如秦九韶、李治、杨辉、郭守敬、朱世杰等。他们的工作使 “天元术”飞速地发展，成绩之突出是史无前例的。中国数学卓有成就之时，正 值欧洲的中世纪，基督教神学和经院哲学的权威与教条统治全社会，障碍了人们 思想的自由发展，在东方(中亚细亚地区使用阿拉伯文的各民族)学术输入之前， 数学水平很难说已经超过公元前六世纪的埃及，和我国相比，更是相形见绌。 1.十进位位置值制记数法 我国古代数学对世界文化的重大贡献首推“十进位值制记数法”。 古今中外的记数法，可以分为两类，一类是位值制，一类是非位值制。 前者以现行的阿拉伯数码记数法为代表，后者以罗马记数法为代表。所谓位值制， 就是一个数码表示什么数，要看它所在的位置而定。如 23 中的 2 表示 20，32 中的 2 表示 2，等等。非位值制与此不同，每一个较高的单位是用特殊的符号采 表示。例如 3888，罗马记数法要写成 MMMDCCCLXXXVlll。采用这种记数法， 不利于思维过程的表达，用它作加减运算非常因难。这种笨拙的记数法在十二世 纪以前盛行于欧洲，不难想象当时数学的落后情形。 我国用筹记数，早就使用十进位值制。加 2656 写成量“=T x T”， 3888 写成““”， 和现代相比，只是符号不同罢了。中美洲的玛雅人虽然懂得位值的 道理，但用的是 20 进位值，巴比伦人也知道位值制，但用的是 60 进位制。印度 到六世纪末才有十进位值制记数法。使用位值制而又是十进位的，以中国人为最 早。故李约瑟指出；“在西方后来所习见的印度数字’的背后，位值制早已在中 国存在两千年了”，“中国的计算人员和星官为印度人发展只需要九个符号的计算 方法开辟了道路”。他高度评价说；“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现 我们现在这个统一化的世界了。” 2.简捷的四则运算 有了先进的记效法，简捷的四则运算就不难得到。再加上广泛地使用了口诀， 于是能够“运筹如飞”。在这个基础上又出现了开平方、开立方的法则，这在世 界上也是最早的。三千多年以前，埃及纸草书虽然已有分数，但所有分数都化为 单分子分数，计算非常复杂。巴比他人用 60 进分数，运算也颇麻烦。欧几里得 《几何原本》经到分数，但没有提出运算方法。欧洲直到十五世纪以后才逐渐有 现代分数算法，晚于我国一千多年。 3.圆周率 有了一整套简捷的运算方法，就得以对某些问题建立优良的解法，取得卓有 成效的结果。例如，在被称为“各个时代的数学才能的量度”的圆周率研究领域， 中国古代数学家便成果斐然。 首先在圆周率研究上取得重大突破的是魏晋时期的刘徽。他在为数学名著 《九章算术》作注时，正确指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接
正六边形周长和直径的比值。经过深入研究,他发现圆内按正多边形边数无限增 加的时候,多边形周长无限迫近圆周长,从而创立割圆术。刘徽根据割圆术从圆 内接正六边形算起,边数逐步加倍,相继算出正12边形、正24边形,…以至 于正96边形每边的长。当他其到192边形的面积时,得出: S192=3.1424/625I=3.141240 他又继续割圆,计算了固内接正3072边形面积,得出了更为精确的∏值, ∏=3.1416。这两个∏值的精度已超过古希腊学者阿基米德和托勒密取得的成 果。其计算方法只用圆内接多边形面积而无须外切多边形面积,这比阿基米德圆 内接和外切正多边形计算,在程序上要简便得多。刘徽提出的方法,如果有必要, 还可以继续“割创”下去,就是在现代,仍具有实用意义 继刘徽之后,南北朝的祖冲之把圆周率推算到更加精密的程度。祖冲之应用 割圆术,在刘徽的计算基础上继续推算,求出了精确到第七位有效数字的圆周率 3.1415936<∏I<3.1415927。其精确度走在世界前列。李约瑟曾将与祖冲之同 时代的世界上其它学者对圆周率研究的成果加以比较:“与祖冲之和祖恒同时代 的圣使满足于3.1416,一个世纪以后的梵藏则采用3.162。在欧洲,与沈括同 属十一世纪的列日的弗兰科得出一个很可怜的数值324”,直到一千年后,十五 世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西于公无一四二七年著《算术之钥》和十六世纪法国 数学家维叶特于公元一五四O和一六O三年才求出更精确的数值。祖冲之的时 代,小数点后的数一般都用分数表示。祖冲之对圆周率确定了两个值。一个是约 率,∏=227;另一个叫密率,∏=355/133,这一密率值是世界上第一次提出。 在欧洲,十六世纪的鄂图和荷兰人安托尼兹才得到这个数值。因此,有人建议 把∏=355/13称为“祖率”以纪念这位杰出的数学家。这是有充足理由的。 4.多项数学成就世界领先 中国古代对一次同余式的研究也在世界数坛七一直遥遥领先,独占熬头。公 元十三世纪的大数学家秦九韶提出的“大衍求一术”,便是中国古代数学家对这 一问题研究的结晶。在欧洲最早接触一次同余式的,是和泰九韶同时代的意大利 数学家斐波那契,但其研究水平远远低于秦九韶。直到十八、九世纪,大数学家 欧拉(公元1743年)和高斯(公元职01年)对一般一次同余式进行了详细研究,才 重新获得和秦九韶“大衍求一术”相同的定理。但是却晚了五百多年。因此,秦 九韶的“大衍求一术”传到西方后,受到西方学者的高度评价。德国著名数学史 家康托称誉秦九韶为“最幸运的天才”。美国科学史家萨顿在评价秦九韶的贡献 时称他为“他那个民族、他那个时代,并且确实也是所有时代最伟大的数学家之 ”。在世界数学界,“大衍求一术”获得“中国剩余定理”之称 处于世界前列的中国古代数学成就还有多项 数学名著《九章算术》记载了负数概念和正负数的加减法运算法则,这在 世界数学史上是第一陕。同书所记载的关于联立一次方程解法,要比欧洲同类算 法早出一千五百多年 南北朝时祖冲之之子祖恒所提出的关于球体体积的“祖恒公理”,直到约 千年后的十七世纪才以卡瓦利里原理形式重现,成为微积分得以创立的关键 步 十一世纪上半叶数学家贾宪所提出的“开方作法本源图”(“贾宪三角”) 比欧洲巴斯加(公元1654年)提出同样成果早六百多年。 由北宋贾宪首先提出,南宋秦九韶最后完成的“秦九韶程序”一一增乘开元 法,把我国的高次方程数值解法推进到一个新的阶段。在欧洲,直到一八一九年
7 正六边形周长和直径的比值。经过深入研究，他发现圆内按正多边形边数无限增 加的时候，多边形周长无限迫近圆周长，从而创立割圆术。刘徽根据割圆术从圆 内接正六边形算起，边数逐步加倍，相继算出正 12 边形、正 24 边形，……以至 于正 96 边形每边的长。当他其到 192 边形的面积时，得出： S192=3.14 24/625 ∏＝3．141240 他又继续割圆，计算了固内接正 3072 边形面积，得出了更为精确的∏值， ∏＝3．1416。这两个∏值的精度已超过古希腊学者阿基米德和托勒密取得的成 果。其计算方法只用圆内接多边形面积而无须外切多边形面积，这比阿基米德圆 内接和外切正多边形计算，在程序上要简便得多。刘徽提出的方法，如果有必要， 还可以继续“割创”下去，就是在现代，仍具有实用意义。 继刘徽之后，南北朝的祖冲之把圆周率推算到更加精密的程度。祖冲之应用 割圆术，在刘徽的计算基础上继续推算，求出了精确到第七位有效数字的圆周率 3．1415936＜∏＜3．1415927。其精确度走在世界前列。李约瑟曾将与祖冲之同 时代的世界上其它学者对圆周率研究的成果加以比较：“与祖冲之和祖恒同时代 的圣使满足于 3．1416，一个世纪以后的梵藏则采用 3．162。在欧洲，与沈括同 属十一世纪的列日的弗兰科得出一个很可怜的数值 3.24”，直到一千年后，十五 世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西于公无一四二七年著《算术之钥》和十六世纪法国 数学家维叶特于公元一五四 O 和一六 O 三年才求出更精确的数值。祖冲之的时 代，小数点后的数一般都用分数表示。祖冲之对圆周率确定了两个值。一个是约 率，∏＝22/7；另一个叫密率，∏=355/133，这一密率值是世界上第一次提出。 在欧洲，十六世纪的鄂图和荷兰人安托尼兹才得到这个数值。因此，有人建议， 把∏=355/133 称为“祖率”以纪念这位杰出的数学家。这是有充足理由的。 4.多项数学成就世界领先 中国古代对一次同余式的研究也在世界数坛七一直遥遥领先，独占熬头。公 元十三世纪的大数学家秦九韶提出的“大衍求一术”，便是中国古代数学家对这 一问题研究的结晶。在欧洲最早接触一次同余式的，是和泰九韶同时代的意大利 数学家斐波那契，但其研究水平远远低于秦九韶。直到十八、九世纪，大数学家 欧拉(公元 1743 年)和高斯(公元职 01 年)对一般一次同余式进行了详细研究，才 重新获得和秦九韶“大衍求一术”相同的定理。但是却晚了五百多年。因此，秦 九韶的“大衍求一术”传到西方后，受到西方学者的高度评价。德国著名数学史 家康托称誉秦九韶为“最幸运的天才”。美国科学史家萨顿在评价秦九韶的贡献 时称他为“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之 一”。在世界数学界，“大衍求一术”获得“中国剩余定理”之称。 处于世界前列的中国古代数学成就还有多项。 数学名著《九章算术》记载了负数概念和正负数的加减法运算法则，这在 世界数学史上是第一陕。同书所记载的关于联立一次方程解法，要比欧洲同类算 法早出一千五百多年。 南北朝时祖冲之之子祖恒所提出的关于球体体积的“祖恒公理”，直到约一 千年后的十七世纪才以卡瓦利里原理形式重现，成为微积分得以创立的关键一 步。 十一世纪上半叶数学家贾宪所提出的“开方作法本源图” (“贾宪三角”)， 比欧洲巴斯加(公元 1654 年)提出同样成果早六百多年。 由北宋贾宪首先提出，南宋秦九韶最后完成的“秦九韶程序”——增乘开元 法，把我国的高次方程数值解法推进到一个新的阶段。在欧洲，直到一八一九年
英国人霍纳才创造了类似的方法,比秦九韶晚五百七十二年,而比贾宪晚七百多 年。 我国早在两汉时期就能解一次联立方程组。把“天元术”(即根据问题所给 已知条件列写包含所设未知数的方程的普遍方法)应用于联立方程组,先后产生 二元术、三元术和四元术,这是十三世纪到十四世纪初我国数学家的又一辉煌成 就。在欧洲,解联立一次方程开始于十六世纪。 5中国古代数学的缺陷 中国古代数学本身也存在固有缺陷。数学是思维方式的一面镜子。中国传统 数学以实用、经验为基本前提,是讲究实用价值的思维方式的产物,因而重于计 算,轻于逻辑。古埃及、巴比伦的几何学和古代中国的情形一样,以实用为主, 但是,这些数学成就转移到希腊以后,便从实用折入演绎推理的研究轨道,古希 腊的数学家泰利斯、毕达哥拉斯、拍拉图、亚里士多德、欧儿里得,无一不是哲 学家或教师,他们把数学发展成纯理论性的独立科学。但中国的情形迥然相异 古代的数学家是掌天文的畴人和计吏。由于未经哲学逻辑思辩的洗礼,古代数学 只是天文、农业、赋税、商业的附庸,没有形成一个严密的演绎体系。此外,数 学进一步发展,要求以抽象的符号形式来表示数学中各种量,量的关系,量的变 化以及在量之间进行推导和运算。但是,传统的筹算和珠算制度只能借助文字来 叙述其各种运算,妨碍了数学语言的抽象化,四元术之所以成为我国古代方程式 发展的极限,关键原因也正在于筹算法所能提供的天地过于狭小。日本学者上野 清认为,“西洋算学与时俱进,中国从来不再进一步,其一原因,即在斯也”。十 四世纪以后,中国数学停滞不前,除社会原因外,与中国数学自身的短缺也直接 相关。 (四)天文学的成就与功能 “遂古之初,谁传道之? 上下未形,何由考之? 冥昭瞢暗,谁能极之? 冯翼惟象,何以识之? 明明暗暗,惟时何为? 阴阳三合,何本何化? 圜则九重,孰营度之? 惟兹何功,孰初作之? 屈原《天问》 战国时期的伟大诗人屈原对日月出没、星转斗移等天文现象提出的一系列疑 问,正是中国古人探索宇宙之谜的积极思维的艺木表现。如同埃及人在观察天狼 星和尼罗河泛滥的实践中建立起古埃及天文学体系一样,中国人观察北斗相的旋 转和参商星的出没,形成了自有特色的古代天文学系统,并取得具有世界意义的 丰硕成果 1.多种天象观测世界最早 在世界天文学史上,中国古代天文学以对多种天象的最早观测记录著称于 世,其连续性、完备性、淮确性亦为世上所罕见 我国古文献中,有世界上最早、最丰富的太阳黑子记录。《汉书·五行志》 中永光元年(公元前43年严四月的“日黑居仄,大如弹丸”的记载与河平元年(公 元前28年)三月的“日出黄,有黑气,大如钱,居日中”的太阳黑子记录,都要
8 英国人霍纳才创造了类似的方法，比秦九韶晚五百七十二年，而比贾宪晚七百多 年。 我国早在两汉时期就能解一次联立方程组。把“天元术”(即根据问题所给 已知条件列写包含所设未知数的方程的普遍方法)应用于联立方程组，先后产生 二元术、三元术和四元术，这是十三世纪到十四世纪初我国数学家的又一辉煌成 就。在欧洲，解联立一次方程开始于十六世纪。 5.中国古代数学的缺陷 中国古代数学本身也存在固有缺陷。数学是思维方式的一面镜子。中国传统 数学以实用、经验为基本前提，是讲究实用价值的思维方式的产物，因而重于计 算，轻于逻辑。古埃及、巴比伦的几何学和古代中国的情形一样，以实用为主， 但是，这些数学成就转移到希腊以后，便从实用折入演绎推理的研究轨道，古希 腊的数学家泰利斯、毕达哥拉斯、拍拉图、亚里士多德、欧儿里得，无一不是哲 学家或教师，他们把数学发展成纯理论性的独立科学。但中国的情形迥然相异， 古代的数学家是掌天文的畴人和计吏。由于未经哲学逻辑思辩的洗礼，古代数学 只是天文、农业、赋税、商业的附庸，没有形成一个严密的演绎体系。此外，数 学进一步发展，要求以抽象的符号形式来表示数学中各种量，量的关系，量的变 化以及在量之间进行推导和运算。但是，传统的筹算和珠算制度只能借助文字来 叙述其各种运算，妨碍了数学语言的抽象化，四元术之所以成为我国古代方程式 发展的极限，关键原因也正在于筹算法所能提供的天地过于狭小。日本学者上野 清认为，“西洋算学与时俱进，中国从来不再进一步，其一原因，即在斯也”。十 四世纪以后，中国数学停滞不前，除社会原因外，与中国数学自身的短缺也直接 相关。 （四）天文学的成就与功能 “遂古之初，谁传道之? 上下未形，何由考之? 冥昭瞢暗，谁能极之? 冯翼惟象，何以识之? 明明暗暗，惟时何为? 阴阳三合，何本何化? 圜则九重，孰营度之? 惟兹何功，孰初作之? ——屈原《天问》 战国时期的伟大诗人屈原对日月出没、星转斗移等天文现象提出的一系列疑 问，正是中国古人探索宇宙之谜的积极思维的艺木表现。如同埃及人在观察天狼 星和尼罗河泛滥的实践中建立起古埃及天文学体系一样，中国人观察北斗相的旋 转和参商星的出没，形成了自有特色的古代天文学系统，并取得具有世界意义的 丰硕成果。 1.多种天象观测世界最早 在世界天文学史上，中国古代天文学以对多种天象的最早观测记录著称于 世，其连续性、完备性、淮确性亦为世上所罕见。 我国古文献中，有世界上最早、最丰富的太阳黑子记录。《汉书·五行志》 中永光元年(公元前 43 年)四月的“日黑居仄，大如弹丸”的记载与河平元年(公 元前 28 年)三月的“日出黄，有黑气，大如钱，居日中”的太阳黑子记录，都要