复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 这里所有的材料都不归属于我,除了键盘敲击所花的功夫。你可以为了学习目的 对下面的资料做任何的修改和编辑,只要你正确标出她的来源。 无名氏 第一章拉姆齐模型 Frank Plumpton Ramsey Frank Plumpton Ramsey(1903-1930), British mathematician and philosopher best known remarkable contributions to epistemology semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, probability and decision theory, economics and metaphysics 第一节社会计划者解 代表性行为人 假设经济中存在无限期生存的一个代表性家庭,人口出生率为n>0。假定在 时间t=0,人口被标准化为1,那么t期人口L()=e 生产 假定存在不变规模收益生产函数 Y()=F(K(1),A()L() (1.1 技术进步由A()=e给定 总资本积累方程如下 K()=F(K(1),4(1)L()-6k()-C(1) 定义c()=C(O),k(O)=(为人均消费和人均资本,c:(0=C(0)为每有 A(OL() 该讲义参考了 Blanchard和 Fischer(1989),Baro和Sala-l- Martin(1995), Zilibotti和 Dirk kruger的 讲义新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化 行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭,在跨期预算约束下,选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效 用函数。这归功于 Ramsey(1928),Cass(1965)和 Koopman(1965)。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗 斯旺模型中的无效的过度储蓄问题
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 这里所有的材料都不归属于我，除了键盘敲击所花的功夫。你可以为了学习目的 对下面的资料做任何的修改和编辑，只要你正确标出她的来源。 ———— 无名氏 第一章 拉姆齐模型1 Frank Plumpton Ramsey Frank Plumpton Ramsey (1903-1930), British mathematician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, probability and decision theory, economics and metaphysics. 第一节 社会计划者解 代表性行为人 假设经济中存在无限期生存的一个代表性家庭，人口出生率为 。假定在 时间 ，人口被标准化为 1，那么 期人口 n > 0 t = 0 t ( ) nt L t = e 。 生产 假定存在不变规模收益生产函数： Y t( ) = F(K(t), A( )t L( )t ) (1.1) 技术进步由 ( ) gt A t = e 给定 总资本积累方程如下： (1.2) . K t( ) = F(K(t), A( )t L( )t ) −δ K(t) −C(t) 定义 ( ) ( ) ( ) C t L t c t = ， ( ) ( ) ( ) K t L t k t = 为人均消费和人均资本， ( ) ( ) ( ) ( ) e C t A t L t c t = 为每有 该讲义参考了 Blanchard 和 Fischer（1989），Barro 和 Sala-I-Martin（1995），Zilibotti 和 Dirk,kruger 的 讲义.新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化 行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭，在跨期预算约束下，选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效 用函数。这归功于 Ramsey (1928)，Cass（1965）和 Koopmas（1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗 －斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。 1
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 效劳动单位人均消费,k()=k(为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程 A() 可变为: (n+8+gk(o) 代表性行为人的最大化问题 U(c(o)dt sk=(D)=f(k2(m)-c2(1)-(n+6+g)k(1) 给定k(0)=k0 转化:假定效用函数为CRRA,例如 6≠1 n(c),b=1 其中θ是相对风险系数,即边际效用弹性的负数。 那么e"U()=e-m() 1-sea(c(t)lex)-° P--)U(c(D) 定义y=(p-(1-0)g)为有效贴现率,因此上述最大化问题可以重新表述 为: max e-U(c(O)dt c2()2k2() D)=f(k2(1)-c(1)-(n+o+g)k2( 给定k(O)=k0 显然为了使目标函数存在最大值,必须有y>0 社会计划者解 第一步:构造现值汉密尔顿函数2 H(ce,k,;l)=eU(c2(1)+()f(k(1)-c(1)-(m++gk()(1.5) 第二步:最大值的三个必要条件 1.关于控制变量c(l) 2汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导,见附录
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 效劳动单位人均消费， ( ) ( ) ( ) e k t A t = ( )) ( ) e e = − k t c t ( ), ( ) 0 max t c t k t ∞ − ∫ ρ . .ke ( )t f (k (0) 0 e e = k t 为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程 可变为： 1 1 ( ) ln( ), c c θ θ θ θ − − = k t (1.3) . e ( ) ( ( ) ( ) e f − n +δ + g k t 代表性行为人的最大化问题 e U(c(t))dt . ( )) ( ) ( ) ( ) e e e s t = − t c t − n +δ + g k t 给定k k 转化：假定效用函数为 CRRA，例如 , 1 1 U c ≠ = 其中θ 是相对风险系数，即边际效用弹性的负数。 那么 1 1 ( (1 ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ( )) 1 1 gt t t t e g t e c t c t e c t e e e U c t θ θ ρ ρ ρ ρ θ θ θ − − − − − − − − = = = − − e U (1.4) 定义γ = − ( ( ρ 1−θ )g) 为有效贴现率，因此上述最大化问题可以重新表述 为： ( ), ( ) 0 max ( ( )) e e t e c t k t e U c t dt ∞ − ∫ γ . . . e ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) e e e s t k t = − f k t c t − n +δ + g k t 给定k k (0) 0 e e = 显然为了使目标函数存在最大值，必须有γ > 0 社会计划者解 第一步：构造现值汉密尔顿函数2 ( , , ; ) ( ( )) ( )[ ( ( )) ( ) ( ) ( )] (1.5) t e e H e e e c k λ λ t e U c t t f k t c t n δ g k t − = + − − + + γ e 第二步 ：最大值的三个必要条件： 1．关于控制变量c ( ) e t 2 汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导，见附录。 2
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 aH(ce, ke, a; 1) (16) 2.关于状态变量 (0=-2(c26c2 3.关于乘子(也是资本的现值影子价格),横截性条件(TVC)。 (1)k()=0 (1.8) 将上述一阶条件展开,可得: e"U'(c2()=(1) (1.9) A(t)A(1)=f(k2(1)-(n++g) (110) lim()k(1)=0 (1.11) 第三步:化简 1.利用(19)和(110)消除A(t) 首先在(19)两边对t求导: a(0=e U(c()ce(0-yeU(c(o) (1.12) 再次利用(19),可得 (1)U"(c(D)c(D) ()U(c()y 最后,利用(110)消除A(t) Uvc2(1)c2(1) y=ff(k,(D)-(n+8+g) (1.14) 我们将(1.14)变换,表示为跨其替代弹性和真实利率的关系: Ce(ac(t)o(c( Uc()=-c:(OUf(k()-(n++g+y)(1.15) 根据定义,相对风险厌恶系数=-(c(),而跨其替代弹性σ=1日。 U'(c() 一个相关的概念是跨期替代弹性: Cs/cr d[u'(cs)/u(cn)] 跨期替代弹性是c/c比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 ( , , ; ) 0 e e e H c k t c ∂ λ = ∂ (1.6) 2．关于状态变量 . ( , , ; ) ( ) e e e H c k t t k λ λ ∂ = − ∂ (1.7) 3．关于乘子（也是资本的现值影子价格），横截性条件（TVC）。 lim ( ) ( ) 0 e t λ t k t →∞ = (1.8) 将上述一阶条件展开，可得： '( ( )) ( ) t e e U c t t γ λ − = (1.9) . ( )/ ( ) '( ( )) ( ) e λ λ t t = f k t − +n δ + g (1.10) lim ( ) ( ) 0 e t λ t k t →∞ = (1.11) 第三步：化简 1．利用(1.9)和(1.10)消除λ(t) 首先 在(1.9)两边对t 求导: . . ( ) ''( ( )) ( ) '( ( )) t e e t e U c t c t e U c t γ γ λ γ − − = − t e (1.12) 再次利用（1.9），可得 . . ( ) ''( ( )) ( ) ( ) '( ( )) e e e t U c t c t t U c t λ γ λ = − (1.13) 最后，利用（1.10）消除λ(t) . ''( ( )) ( ) [ ( ( )) ( )] '( ( )) e e e e U c t c t f k t n g U c t − = γ − − + + δ (1.14) 我们将（1.14）变换，表示为跨其替代弹性和真实利率的关系： . ( ) ''( ( )) ( ) ( )[ '( ( )) ( )] '( ( )) e e e e e e c t U c t c t c t f k t n g U c t = − − +δ + + γ (1.15) 根据定义，相对风险厌恶系数 ( ) ''( ( )) '( ( )) e e e c t U c t U c t θ = − ，而跨其替代弹性σ =1/θ 。 一个相关的概念是跨期替代弹性： 1 / [ '( )/ '( )] [ '( )/ '( ) ( / ) s t s t s t s t c c d u c u c u c u c d c c σ ] − = − (1.16) 跨期替代弹性是cs / ct 比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当 3
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 s→t时,σ u(c) cYc)’因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。因此可 将(1.15)变为 (0)sc()f(k(1)-(m+6+g+y) (1.17) c2() 其中x(1)是t期的消费增长率。 2.重新表述关于(c2k)的非线性差分方程 x(0 c( )f(k(1)-(n+d+g+y) (1.18) k(1)=f(k(m)-(n++g)k2(1)-c(1)=0 稳态的描述 稳态可以表示为 closer (t (1)-(n+δ+g+y) 0 (1.20) k(1)=f(k(1)-(n++g+y)k2()=0 (1.21) 或者表示为 f"(k2()=n+6+g+y (1.22) c(D)=f(k2(1)-(n+6+g)k() (1.23)
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 s → t 时，σ = '( ) ''( ) u c cu c − ，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。因此可 将（1.15）变为 ( ) c χ t . ( )t k t( ) '( (e f k c t( ) . ( ) '( ( )) ( ) ( ) ( ) e e c e c t f k t n g t c t δ γ χ θ − + + + = = (1.17) 其中 是t 期的消费增长率。 2．重新表述关于( , c k e e ) 的非线性差分方程 . ( ) '( ( )) ( ) ( ) ( ) e e c e c t f k t n g t c t δ γ χ θ − + + + = = (1.18) e ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 e e k t = − f k t n +δ + g k t − c t e = (1.19) 稳态的描述 稳态可以表示为： . ( ) '( ( )) ( ) 0 ( ) e e c e c t f k t n g c t δ γ χ σ − + + + = = = . e ( ( )) ( ) ( ) 0 e = − f k t n +δ γ + g + k t = (1.20) (1.21) e 或者表示为： t)) = n + + δ g + γ (1.22) ( ( )) ( ) ( ) e e f k t n g k t e = − +δ + (1.23) 4
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 B k=0 图1-2拉姆齐模型中的相位图 第二节市场分散解 注意,第一节和第二节在使用符号上的区别 第一节 第二节 有效变量 c2(t),k() c(t),k(t) 技术增长率 g y 时间 c(t)k(1) 请原谅,并避免混淆,因为两节的制作时间不同 1.效用函数 拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少,即资源的跨期最佳分配。假定 人口M增长率为n,劳动力L等于人口数。假定初始人口为1,因此 L 假定C是t期的总消费,因此人均消费为c(r)=C()/L()
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 ' e c 0 e c '' 0 c 0 e k * e k gold e k ** e k . 0 e k = . ce = 0 e c e k DD B 图 1－2 拉姆齐模型中的相位图 第二节 市场分散解 注意，第一节和第二节在使用符号上的区别 第一节 第二节 有效变量 ( ) e c t , ( ) e k t ^ c t( ), ^ k t( ) 技术增长率 g γ 时间 c t( ), k t( ) t c , t k 请原谅，并避免混淆，因为两节的制作时间不同。 1．效用函数 拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。假定 人口 Nt 增长率为n ，劳动力 Lt 等于人口数。假定初始人口为 1，因此 nt Lt = e 2－1 假定 Ct 是t 期的总消费，因此人均消费为c t( ) = C( )t / L t( ) 。 5