由唯一性得(T(X)=h(T(X),a.e.Pa故有 Dg(G(T(X)≤Da(p(X),一切8∈6， 所以g(T(X)为g(O)的UMVUE,且唯一. 推论设样本X=(X1,·,Xn)的分布为指数族 fx,60)=C(0)ep{∑6，T(x)}h(x,0=(0,…,s)∈6. =1 令T(X)=(T1(X),·,Tk(X),若自然参数空间日作为Rk的子集有内点，且h(T(X)为g()的无 偏估计，则h(T(X)为g(0)的唯一的JMVUE. 证在推论的条件下，由指数族的性质可知T(X)为充分完全统计量.故由Lehmann- Scheffe定理（简记为L-S定理），得知h(T(X)为g()的唯一的UMVUE. 例证明两点分布的p的无偏估计g(X)=T/n=X为p的UMVUE. 证由因子分解定理可知T(X)=上X:为两点分布(1，p)中参数即的充分统计量， 由例2.8.1知T(X)也是完全统计量，故(X)=T/m=是充分完全统计量T(X)的函数， 且Epg(X)=p,对0<p<1.因此由L-S定理可知g(X)为p的唯一的JMVUE. 在上例中，已知T=∑X:服从二项分布m,p叭，且TX)为充分完全统计量，求g回 p(1-p)的JMVUE. 解设6(T)为g(p)=p(1-p)的一个无偏估计，要导出(T)的表达式.按无偏估计的定义 及T~b(n,p),可得 三（份0u-=-队-0<p<1 令p=p/(1-p故有p=p/(1+p),1-p=1/1+p),将它们代入上式得 2()0p=AI+p-?0<ps 将1+p)n-2展开得a1+)=三(0p+1=写（但=，将其代入上式右边得 三（日0t-三(-） ,0<p<o. 上式两边为p的多项式，比较其系数得 6t)=0,当t=0,n @一找， n(n-1)' 当t=1,2,…,n-1. 综合上述两式得 6(T)=I(n-T) n(n-1)' t=0,1,…,n 6
dçò5gˆ(T(X)) = h(T(X)), a.e. Pθk Dθ(ˆg(T(X)) ≤ Dθ(ϕ(X)), òÉ θ ∈ Θ, §±gˆ(T(X)) èg(θ)UMVUE, Öçò. Ìÿ X = (X1, · · · , Xn)©ŸèçÍx f(x, θ) = C(θ) exp nX k j=1 θjTj (x) o h(x), θ = (θ1, · · · , θk) ∈ Θ. -T(X) = (T1(X), · · · , Tk(X)), eg,ÎÍòmΘäèRkf8kS:, Öh(T(X))èg(θ)à †O, Kh(T(X))èg(θ)çòUMVUE. y 3Ìÿ^áe, dçÍx5üåT(X)èø© ⁄O˛. dLehmannScheffe½n ({PèL-S½n), h(T(X))èg(θ)çòUMVUE. ~ y²¸:©ŸpÆOgˆ(X) = T /n = X¯ èpUMVUE. y dœf©)½nåT(X) = Pn i=1 Xiè¸:©Ÿb(1, p)•ÎÍp ø©⁄O˛, d~2.8.1T(X)è¥ ⁄O˛, gˆ(X) = T /n = X¯¥ø© ⁄O˛T(X)ºÍ, ÖEp gˆ(X) = p,È0 < p < 1. œddL-S½någˆ(X)èpçòUMVUE. ~ 3˛~•, ÆT = Pn i=1 Xi—lë©Ÿb(n, p), ÖT(X)èø© ⁄O˛, ¶g(p) = p(1 − p)UMVUE. ) δ(T)èg(p) = p(1 − p)òáÆO, á—δ(T)Là™. UÆO½¬ 9T ∼ b(n, p),å Xn t=0 n t δ(t)p t (1 − p) n−t = p(1 − p), òÉ 0 < p < 1. -ρ = p/(1 − p), kp = ρ/(1 + ρ), 1 − p = 1/(1 + ρ),ÚßÇì\˛™ Xn t=0 n t δ(t)ρ t = ρ(1 + ρ) n−2 , 0 < ρ < ∞. Úρ(1 + ρ) n−2 –mρ(1 + ρ) = nP−2 l=0 n−2 l ρ l+1 = nP−1 t=1 n−2 t−1 ρ t ,ÚŸì\˛™m> Xn t=0 n t δ(t)ρ t = nX−1 t=1 n − 2 t − 1 ρ t , 0 < ρ < ∞. ˛™¸>èρıë™, 'ŸXÍ δ(t) = 0, t = 0, n; δ(t) = n − 2 t − 1 , n t = t(n − t) n(n − 1), t = 1, 2, · · · , n − 1. n‹˛„¸™ δ(T) = T(n − T) n(n − 1) , t = 0, 1, · · · , n 6
为9p)=(1-p)的无偏估计，它又是充分完全统计量T=∑1X,的函数，由L-S定理可 知6(T)为g(p)的JMVUE. 例设X=(X1,·,Xn)为从Poisson分布P()中抽取的简单随机样本，求(1)91()=X (2)92()=X',r>0为自然数：(3)g3(A)=P(X1=x)的JMVUE. 解由$2.7和2.8可知T(X)=∑1X,为关于Poisson分布的充分完全统计量. (1)令1(T)=T(X)/n,E(g1(T)=E()=入，故©1(T)是分完全统计量T的函数，且 是入的无偏估计，故由L-S定理可知g1(T)是入的JMVUE. (2)由于T(X)=∑=1X:~P(n),令6(T)为92()=r的无偏估计，故有E6T)= 92(A),即 gy=x t=0 t! 此式等价于 阳g=e 人0 将上式右边作展开得 将其代入上式右边得 如管-含 1=0 上述等式两边是入的幂级数，比较其系数得 6(t)=0,当t=0,1,…,r-1, nc=-1)…t-r+山 i()=-r)m 当t=r,r+1,… 综合上述两式得 6m）=TT-…(T-r+1, T=0,1,2,… n 为g2()=入'的无偏估计，6(T)是充分完全统计量T的函数，故由L-S定理可知6(T)为g2()的UMVUE. (3)由P(X1=x)=e-入入/x!,可见它是参数入的函数，故可用g3()表示.令(X1)= x=则E(X】=乃(X1=x).因此(X)为g(A)的无偏估计，注意到T=∑=1X:~ P(n)和∑=2X:~P(n-1)),故有 6i(T)=61(T(X))=E((X1)IT=t)=P(X1=.T=t) P(T=t) =B(X1=)P(X2++Xn=t-四=n-1-利 P(X1+…+Xn=t) nt(t-x)!x! -(份a-(0）-.2 d1(T)为g(A)的无偏估计，它又是充分完全统计量T(X)的函数，所以 ax》=(因）（周）(-)
èg(p) = p(1 − p)ÆO, ßq¥ø© ⁄O˛T = Pn i=1 XiºÍ, dL-S½nå δ(T)èg(p)UMVUE. ~ X = (X1, · · · , Xn)èlPoisson©ŸP(λ) •ƒ{¸ëÅ , ¶ (1) g1(λ) = λ; (2) g2(λ) = λ r , r > 0 èg,Í; (3) g3(λ) = Pλ(X1 = x)UMVUE. ) d§2.7⁄§2.8åT(X) = Pn i=1 Xi è'uPoisson©Ÿø© ⁄O˛. (1) -gˆ1(T) = T(X)/n, E(ˆg1(T)) = E(X¯) = λ, gˆ1(T)¥© ⁄O˛TºÍßÖ ¥λÆO,dL-S½någˆ1(T)¥λUMVUE. (2) duT(X) = Pn i=1 Xi ∼ P(nλ),-δ(T)èg2(λ) = λ rÆO, kEλδ(T) = g2(λ),= X∞ t=0 δ(t) e −nλ(nλ) t t! = λ r . d™ du X∞ t=0 δ(t) n tλ t t! = λ r e nλ . Ú˛™m>ä–m λ r e nλ = X∞ l=0 n lλ l+r l! = X∞ t=r n t−rλ t (t − r)!. ÚŸì\˛™m> X∞ t=0 δ(t) n tλ t t! = X∞ t=r n t−rλ t (t − r)!. ˛„ ™¸>¥λò?Í, 'ŸXÍ δ(t) = 0, t = 0, 1, · · · , r − 1, δ(t) = t! n t−r (t − r)!nt = t(t − 1)· · ·(t − r + 1) nr , t = r, r + 1, · · · n‹˛„¸™ δ(T) = T(T − 1)· · ·(T − r + 1) nr , T = 0, 1, 2, · · · èg2(λ) = λ rÆO, δ(T)¥ø© ⁄O˛TºÍ, dL-S½nåδ(T)èg2(λ)UMVUE. (3) dPλ(X1 = x) = e −λλ x x! ,åÑߥÎÍλºÍ,å^g3(λ)L´. -ϕ(X1) = I[X1=x] , KEλ[ϕ(X1)] = Pλ(X1 = x).œdϕ(X1) èg3(λ)ÆO, 5øT = Pn i=1 Xi ∼ P(nλ)⁄ Pn i=2 Xi ∼ P((n − 1)λ),k δ1(T) = δ1(T(X)) = E(ϕ(X1)|T = t) = Pλ(X1 = x, T = t) Pλ(T = t) = Pλ(X1 = x)Pλ(X2 + · · · + Xn = t − x) Pλ(X1 + · · · + Xn = t) = (n − 1)t−x t! nt(t − x)!x! = t x (n − 1)t−x nt = t x 1 n x 1 − 1 n t−x , t ≥ x δ1(T)èg3 (λ)ÆO, ßq¥ø© ⁄O˛T(X)ºÍ, §± δ1(T(X)) = T x 1 n 1 − 1 n T −x 7