方向的分量即为l1、l12、l13,或者说 e1=le1+l12e2+l13e3 同理,e2在x中的方向余弦为l(=1,2,3) e′在x中的方向余弦为 (i=1,2,3) 并且有 e3= 3个式子可用一个筒洁式子表示,即 l有9个元素,写成矩阵形式为 I11 I12 113 T (1.1) 称为坐标转换矩阵。 将式1.1代入b式可知 (1.2a) 写成矩阵形式为 J11 122 I I21 I22 12 (1.2b) Is1 132 1s 这样我们可以给出向量的解析定义为:向量由3个分量 所确定,在坐标转动时,其分量之间的关系服从坐标转轴公 式1.2。这一定义当然不如通常给出的定义直观明了,但对 于引出张量的定义很有用。向量就是1阶张量。下面推广到 2阶
3 设在坐标系x中有一量具有9个分量a(这可以想象为3 个互相垂直面上各有1个向量,每一向量有3个分量),当 坐标轴转动后为新坐标系x,该量的9个分量变为a′。若这 些分量满足下列转换关系 a=an"始iJn了 则这9个分量构成一个2阶张量。式中L,l是x′的坐标轴 在x坐标系中的方向余弦。 当然,我们还可以推广到3阶(有27个分量)或更高阶 的张量。但在力学分析中常用的是1阶(向量)和2阶张量。 下一节我们将要说明,物体内一点的应力状态,可用2阶张 量来表示。 张量a,若其分量满足a=a则称该张量为对称向量。 下一节将会看到,应力张量、应变张量都是对称张量。 张量a,若其分量满足an=-am,则称为反对称张量。 显然,在反对称2阶张量中必有a1=a22=a3=0。 般张量a为非对称张量,若有另一张量ar,其分量 满足a:!=a,也即a与a;/所对应的矩阵互为转置,则这张 量a;′称为张量a的共轭张量。 1.1.2张量的蔷本运算 (1)张量相等 设张量a与张量b,其对应的分量一一相等。 be 13) 则称两张量相等。 2)张量的加法 张量a;与张量b;将其相应的分量相加或相减,可得到 个新的张量,称为两张量的和或差。 c=a±b; (1.4)
3)张量的数乘 张量a:用一标量a乘其各分量,得同阶张量b 15) (4)矢量的并乘,张量的升阶 矢量a与b的并乘用a表示,它定义为 (1.6) 用矩阵的形式表示则为 ab=a2|〔b1b2b3 62 a262 036 (17) a262 矢量并乘后得一个2阶张量。它和矢量的点积和矢积都 不同,点积结果为一个数,矢积结果为一向量。 矢量是一阶张量,并乘后升阶为2阶张量(1+1=2)。 这种运算可以推广到2阶和高阶张量,张量的并乘也称为张 量的外积。设有m阶和n阶两个张量并乘,结果得一新的张 量,其阶数等于原两张量阶数之和,即等于m+n。例如: a、c;为2阶张量,b为一阶张量(矢量),则 为3阶张量, 为4阶张量。这种过程也可称为张量的升阶。 (5)张量的缩并和张量的点积 如果上述张量并乘运算式中,取任意两个标号重复,则 可以得到(m+n-2)阶新帐量,m、n为原来两个张量的阶 数。例如a、b为1阶张量(矢量),则 g:6 的阶数为1+1-2=0,即c为0阶张量,也就是一个标量
5 这和两矢量的点积运算一样。这一点可推广到高阶张量。如 a、b;为2阶张量,则 c铲- CooK 的阶数为2+2-2=2,即c为2阶张量。这种过程又称张量 的降价。与矢量点积相类似,我们定义2阶张量的点积为 两个2阶张量的点积仍为2阶张量。 对2阶张量,还有一个2阶张量的数量积,它用双点号表 示,即 26=a, b 2阶张量的双点积为一个标量,故又称为数量积。例如线弹 性的应变比能可以用应力张量o和应变张量e的双点积表 示,即 张量分析在推导公式中书写方便,表达简洁,因而在力 学中的应用日益广泛。 1.2应力分析 1.2.1一点应力状态的表示法 般情况下,截面上各点的应力不一定相同。此外,即 使对物体内同一点,其截面方向不同时,其应力的大小和方 向也会不同。为了分析这一点的应力状态,即分析同一点不 同方向截面上的应力大小和方向,我们在物体内部取出包括 该点在内的一个微小的正六面体,其各面与相应的坐标面相 乎行,乎行于坐标轴的各棱边之长分别为x、团y和Az, 见图1-2。将每一面上的应力分解为1个正应力和2个剪应
23a 图1-2 力,每一个应力有两个下标,第一个下标表示作用在哪一个 面,后一个下标表示应力平行于哪一个坐标轴,例如σxy x。我们称截面外法线方向与某一坐标轴方向一致的面为 正面,正面上的应力分量以沿坐标轴正方向的为正,反之为 负。相反,若某一截面的外法线方向与坐标轴方向相反,称 为负面,负面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正,沿坐 标轴正方向的为负。图1—2中所示的应力分量全是正方向 的。 六面体的两两对面,即平行于同一坐标面的两个面在棱 长趋于零时,变为同一截面,但外法线方向相反,因而这两 面上的应力或应力分量必然大小相等,方向相反。故此 点的应力状态可用3个相邻面上的9个应力分量来表示。下 面将表明这9个应力分量附合张量的定义,即一点的应力状 态可用一个2阶张量表示。 这9个应力分量中6个剪应力分量有互等关系。例郊,以 六面体前后两面中心的连线为轴,列出力矩平衡方程,得