T=X(m的密度函数为 g=ee 故当H成立时，TX)的密度函数为g,(因)=o<,因此有 Ep(X)】= p(dgt)dt= do ntn-1 三一 故得c=0oV1-a,因此 1. o(X) 当Xm)>%1-a 当Xm≤o1-a 为一个水平为a的UMP检验. 由于此检验p(X)与91无关，故它也是 H0:0=00←→H1:0>% 的水平为a的UMP检验， 注5.4.4由上面三个例子可见UMP检验函数(x)皆为充分统计量的函数，这是否具有普 遍意义呢？我们有下列结论： 设r.v.X的密度函数为f(x,),日∈日为未知参数，X=(X1,·,Xn)为自总体X中抽取的 随机样本，T=T(X)为的充分统计量，则由(1.4)和(1.5)定义的检验函数(x)是充分统计量T的 函数 这一结果的证明并不难，只要利用充分统计量的因子分解定理即可证得 定理5.4.1'(NP基本引理的逆)设样本X的分布有概率函数f(x,),参数0只有两个可能 的值0o和01，考虑下列检验问题 H0:0=00←→H1:0=01, (1.7） 则对任给的0<a<1,假设Ho:H1存在一个水平aUMP检验(x),则 (a)必存在一个非负常数c使得 1, 当f(x,0)/f(x,o)>c p(x)= (1.8) 0,当f(x,01)/fx,o)<c (b)若进一步还有Ea,[(X】=∫p(X)f(x,01)dx<1,则必有 E0olp(X)]=a (1.9) 证明由NP引理知存在一个水平aUMP检验满足 1,当f(x,01)/fx,)>c (x) (1.10) 0, 当f(x,01)/f(x,o)<c 6
T = X(n)ó›ºÍè gθ(t) = ntn−1 θ n I[0<t<θ] H0§·û, T(X)ó›ºÍègθ0 (t) = ntn−1 θ n 0 I[0<t<θ0] , œdk Eθ0 [ϕ(X)] = Z 0 ϕ(t)gθ0 (t)dt = Z θ0 c ntn−1 θ n 0 dt = 1 − c n θ n 0 = α c = θ0 √n 1 − α, œd ϕ(X) = ( 1, X(n) > θ0 √n 1 − α; 0, X(n) ≤ θ0 √n 1 − α. èòáY²èαUMPu. duduϕ(X)Üθ1Ã', ßè¥ H0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ > θ0 Y²èαUMPu. 55.4.4 d˛°ná~fåÑUMPuºÍϕ(x)èø©⁄O˛ºÍ, ˘¥ƒ‰k Hø¬Q?·Çke(ÿ: r.v. Xó›ºÍèf(x, θ), θ ∈ Θ èôÎÍ, X = (X1, · · · , Xn)ègoNX•ƒ ëÅ , T = T(X)èθø©⁄O˛, Kd(1.4)⁄(1.5) ½¬uºÍϕ(x)¥ø©⁄O˛T ºÍ. ˘ò(Jy²øÿJ, êá|^ø©⁄O˛œf©)½n=åy. ½n5.4.1’ (NPƒ ⁄n_) X©ŸkV«ºÍf(x, θ), ÎÍθêk¸áåU äθ0⁄θ1, ƒeuØK H0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ = θ1, (1.7) KÈ?â0 < α < 1, bH0 ↔ H13òáY²α UMPuϕ(x), K (a)73òáöK~Íc¶ ϕ(x) = 1, f(x, θ1)/f(x, θ0) > c 0, f(x, θ1)/f(x, θ0) < c (1.8) (b) e?ò⁄ÑkEθ1 [ϕ(X)] = R ϕ(X)f(x, θ1)dx < 1, K7k Eθ0 [ϕ(X)] = α (1.9) y² dNP⁄n3òáY²α UMPuϕ˜˜v ϕ˜(x) = 1, f(x, θ1)/f(x, θ0) > c 0, f(x, θ1)/f(x, θ0) < c (1.10) 6
记S+={x:(x)>p(x)},S-={x:(x)<p(x)}以及S=(S+US-)∩{x: f(x,8)/fx,o)≠c},则在S上有 ((x)-p(x)(f(x,9)-cf(x,o)>0 从而如果P(S)>0,将有 ((x)-p(x))(f(x.0)-cf(x.0)dx= ((x)-(x))(f(x,01)-cf(x,0))dx >0 因此 ((x)-p(x))f(x,01)>cla-Eoop(x)0. Jx 此即B(01)>Be(01),这与p为水平aUMP矛盾.因此有P(S)=0,即⊙和p在{x:f(x,a1)/f(x,o)≠ c}上以概率1相等.于是(a)得证. 对(b),如果E。(X)<a,则令 (x)=min{1,(x)+a-Eoo(X)} 则E(X)≤a,即φ为水平α检验.另一方面对所有x,有(x)≥p(x)且等式成立当且仅 当p(x)=1.由于Ep(X)<1,故P(p(X)=1)<1,这将得出E01p(X)<E6,(X)与为水 平aUMP矛盾，因此必有E。p(X)=a. 例5.4.4 设X=(X1,…,Xn)为自正态总体N(4,1)中抽取的随机样本，其中u未知，证明 假设检验问题 H0:4=0←→H1:4≠0 不存在水平为a的UMP检验. 三、利用NP引理求UMP检验 NP引理的作用主要不在于求象检验问题(1.2)那样的UMP检验，因为实际应用中象(1.2)那 样的检验问题是不常见的.一般情形是零假设和对立假设都是复合的情形.NP引理的主要 作用是在于它是求更复杂情形下UMP检验的工具.在前面的例5.4.1、例5.4.2和例5.4.3这三个 例子中已经将检验问题推广到对立假设是复合的情形.更一般的假设检验问题如(1.1)所示， 即Ho:0∈日o←→H1:0∈日1，其中日0和日1皆为复合情形（即其中包含参数空间日中的点不 止一个).寻找这类检验问题的UMP检验的一般想法是：在Θ0中挑一个o尽可能与日1接近，再 在O1中挑一个01，用NP引理做出如(1.4)和(1.5)的UMP检验P9·一般当0在日1中变动时，P0,不 随01的变化而变化，即不论01在日1中如何变化，P8,=p与9无关，则p也是H0:0=0←→H1: 0∈日1的UMP检验.因此，更进一步若能证明：此检验对任何0∈日o皆有检验水平α，则p也 是Ho:0∈⊙o←→H1:9∈日1的水平为a的UMP检验. 此法要行得通也不容易.只有在参数空间为一维欧氏空间R或其一区间，而检验的假设是 单边的，即为Ho:0≤0o←H1:日>o或者H0:日≥0←→H1:0<时，且对样本分布 有一定要求时，上述方法才可行.特别当样本分布具有单调似然比性质时，上述两类单边检验 的UMP检验是存在的.下面就来讨论之. 7
PS + = {x : ˜ϕ(x) > ϕ(x)} ,S − = {x : ˜ϕ(x) < ϕ(x)}±9S = (S + S S −) T {x : f(x, θ1)/f(x, θ0) 6= c}, K3S˛k ( ˜ϕ(x) − ϕ(x))(f(x, θ1) − cf(x, θ0)) > 0 l XJP(S) > 0, Úk Z χ ( ˜ϕ(x) − ϕ(x))(f(x, θ1) − cf(x, θ0))dx = Z S ( ˜ϕ(x) − ϕ(x))(f(x, θ1) − cf(x, θ0))dx > 0 œd Z χ ( ˜ϕ(x) − ϕ(x))f(x, θ1) > c[α − Eθ0 ϕ(x) ≥ 0. d=βϕ˜(θ1) > βϕ(θ1), ˘ÜϕèY²α UMPgÒ. œdkP(S) = 0, =ϕ˜⁄ϕ3{x : f(x, θ1)/f(x, θ0) 6= c}˛±V«1É . u¥(a)y. È(b), XJEθ0 ϕ(X) < α,K- φ(x) = min{1, ϕ(x) + α − Eθ0 ϕ(X)} KEθ0 φ(X) ≤ α, =φèY²αu. ,òê°È§kx, kφ(x) ≥ ϕ(x) Ö ™§·Ö= ϕ(x) = 1. duEθ1 ϕ(X) < 1, Pθ1 (ϕ(X) = 1) < 1, ˘Ú—Eθ1 ϕ(X) < Eθ1 φ(X)Üϕ˜èY ²αUMPgÒ, œd7kEθ0 ϕ(X) = α. ~5.4.4 X = (X1, · · · , Xn)ègoNN(µ, 1)•ƒëÅ , Ÿ•µô, y² buØK H0 : µ = 0 ←→ H1 : µ 6= 0 ÿ3Y²èαUMPu. n!|^NP⁄n¶UMPu NP⁄nä^Ãáÿ3u¶ñuØK(1.2)@UMPu, œè¢SA^•ñ(1.2) @ uØK¥ÿ~Ñ. òÑú/¥"b⁄È·b—¥E‹ú/. NP⁄nÃá ä^¥3uߥ¶çE,ú/eUMPuÛ‰. 3c°~5.4.1!~5.4.2⁄~5.4.3˘ná ~f•Æ²ÚuØKÌ2È·b¥E‹ú/. çòÑbuØKX(1.1)§´, =H0 : θ ∈ Θ0 ←→ H1 : θ ∈ Θ1, Ÿ•Θ0⁄Θ1èE‹ú/(=Ÿ•ù¹ÎÍòmΘ •:ÿ éòá) . œÈ˘auØKUMPuòÑé{¥: 3Θ0 •]òáθ0¶åUÜΘ1C, 2 3Θ1•]òáθ1, ^NP⁄nâ—X(1.4)⁄(1.5)UMPuϕθ1 . òÑθ13Θ1•Cƒû, ϕθ1ÿ ëθ1Cz Cz, =ÿÿθ1 3Θ1•X¤Cz, ϕθ1 = ϕÜθ1Ã', Kϕè¥H0 : θ = θ0 ←→ H1 : θ ∈ Θ1UMPu. œd, ç?ò⁄eUy²: duÈ?¤θ ∈ Θ0kuY²α, Kϕè ¥H0 : θ ∈ Θ0 ←→ H1 : θ ∈ Θ1Y²èαUMPu. d{á1œèÿN¥. êk3ÎÍòmèòëÓºòmR1½Ÿò´m, ub¥ ¸>, =èH0 : θ ≤ θ0 ←→ H1 : θ > θ0½ˆH0 : θ ≥ θ0 ←→ H1 : θ < θ0û, ÖÈ ©Ÿ kò½á¶û, ˛„ê{‚å1. AO ©Ÿ‰k¸Nq,'5üû, ˛„¸a¸>u UMPu¥3. e°“5?ÿÉ. 7
定义(MLR)称随机变量X的分布f(x,)具有单调似然比性质，如果存在一个实值函 数T(z),使得对任意的0<， (1)分布f(x,)与f(x,)是不相同的： (2)比值f(x,)/f(x,)为T(x)的非降函数. 当样本分布具有MLR性质时，对如下单边检验问题 H0:0≤90←→H1:0>00 (1.11) 有下列结论： 定理5.4.2设样本X=(X1,·,Xn)的分布具有MLR性质，参数空间日为R1=(-o,+o∞)的 一 有限或无限区间，o为Θ的一个内点，则检验问题(1.11)的水平为a的UMP检验存在(0<a< 1),且有形式 1 当T(x)>c Pa(x) 当T(x)=c (1.12) 0, 当T(x)<c 其中c和r(0≤r≤1)满足条件： Poo(T(X)>c)+r.Poo(T(X)=c)=a (1.13) 证 任取01>o,首先考虑检验问题 H%:0=00←→H1:9=9 (1.14) 有似然比 A(x)=f8) f(x,o) 由MLR性质，λ(x)为T(x)的非降函数因此由NP引理可知检验问题(1.14)的UMP检验函数为 1,当λ(x)>c 1,当T(x)>c o(x) T, 当λ(x)=C (x) T, 当T(x)=c 0,当A(x)<c 0,当T(x)<c 其中常数c和r满足下式 E0o[(X)]=P0o(T(X)>c)+rP0o(T(X)=c)=a 由于c和r与01无关，故由(1.12)和(1.13)确定的检验函数p(x)也是下述检验问题 H6:0=00←→H1:0>o 的水平为a的UMP检验. 我们只要证明p(x)作为检验问题(1.11)的检验，具有水平α，即可完成证明.为此我们只需证 明(x)的功效函数3，()是的单调增函数即可.下面我们来证明这一事实. 8
½¬ (MLR) °ëÅC˛X©Ÿf(x, θ)‰k¸Nq,'5ü, XJ3òá¢äº ÍT(x), ¶È?øθ < θ0 , (1) ©Ÿf(x, θ)Üf(x, θ0 )¥ÿÉ”; (2) 'äf(x, θ0 )/f(x, θ)èT(x)ö¸ºÍ. ©Ÿ‰kMLR5üû,ÈXe¸>uØK H0 : θ ≤ θ0 ←→ H1 : θ > θ0 (1.11) ke(ÿ: ½n5.4.2 X = (X1, · · · , Xn)©Ÿ‰kMLR5ü, ÎÍòmΘèR1 = (−∞, +∞) òkŽÃÅ´m, θ0èΘòáS:, KuØK(1.11)Y²èαUMPu3(0 < α < 1), Ök/™ ϕα(x) = 1, T(x) > c r, T(x) = c 0, T(x) < c (1.12) Ÿ•c⁄r (0 ≤ r ≤ 1)˜v^á: Pθ0 (T(X) > c) + r · Pθ0 (T(X) = c) = α (1.13) y ?θ1 > θ0, ƒkƒuØK H0 o : θ = θ0 ←→ H0 1 : θ = θ1 (1.14) kq,' λ(x) = f(x, θ1) f(x, θ0) . dMLR5ü,λ(x)èT(x)ö¸ºÍœddNP⁄nåuØK(1.14)UMPuºÍè ϕ(x) = 1, λ(x) > c0 r, λ(x) = c 0 0, λ(x) < c0 ⇐⇒ ϕ(x) = 1, T(x) > c r, T(x) = c 0, T(x) < c, Ÿ•~Íc⁄r˜ve™ Eθ0 [ϕ(X)] = Pθ0 (T(X) > c) + rPθ0 (T(X) = c) = α duc⁄rÜθ1Ã', d(1.12)⁄(1.13)(½uºÍϕ(x) è¥e„uØK H0 0 : θ = θ0 ←→ H0 1 : θ > θ0 Y²èαUMPu. ·Çêáy²ϕ(x)äèuØK(1.11)u, ‰kY²α, =å§y². èd·ÇêIy ²ϕ(x)ıºÍβϕ(θ)¥θ¸NOºÍ=å. e°·Ç5y²˘òØ¢. 8